Transformaciones de Variable Independiente, Señales Periódicas y Señales Pares e Impares

Transformaciones de la Variable Independiente Un concepto central en el análisis de señales y sistemas es el de la transformación de una señal. Ejemplo 1: En el sistema de control de un avión, las señales correspondientes a las acciones del piloto son transformadas mediante sistemas eléctricos y mecánicos en cambios en el empuje del avión o en las posiciones de sus superficies de control, como el timón o los alerones, los cuales a su vez son transformados a través de la dinámica y cinemática del vehículo en cambios de velocidad y dirección del avión. Ejemplo 2: En un sistema de audio de alta fidelidad, una señal de entrada que representa la música grabada en una cinta o en un disco compacto se modifica para enriquecer las características deseables, eliminar el ruido de la grabación o balancear los diversos componentes de la señal (es decir, agudos y graves). Nos enfocaremos en una clase muy limitada, pero importante, de transformaciones de señales elementales que involucran modificaciones sencillas de la variable independiente, es decir, el eje del tiempo. Como veremos, dichas transformaciones de señales nos permiten introducir varias propiedades básicas de las señales y los sistemas.

Transformaciones de la Variable Independiente Transformación 1: Corrimiento o Desplazamiento en el tiempo Un concepto central en el análisis de señales y sistemas es el de la transformación de una señal. Un ejemplo simple y muy importante de transformación de la variable independiente de una señal es un corrimiento de tiempo. En la figura 1.8 se ilustra un corrimiento discreto en el cual tenemos dos señales x[n] y x[n – no] que son idénticas en forma pero están desplazadas una con respecto a la otra. También encontraremos corrimientos continuos, como se ilustra en la figura 1.9, en la cual x(t - to) representa una versión de x(t) retardada.

Transformaciones de la Variable Independiente La transformación de corrimiento tiene el mismo efecto tanto en señales de tiempo continuo x(t) como en señales de tiempo discreto x[n]. Las versiones de las señales desplazadas o corridas en el tiempo, x(t - to) y x[n – no] , respectivamente, serán: Una versión retrasada (desplazada hacia la derecha) de la señal original, si to > 0 o no > 0, es decir, son positivas, como serían los casos x(t - 5) y x[n – 2] . En el caso general, se tiene un retraso cuando el desplazamiento to o no tiene el mismo signo que la variable independiente, como es el caso en x[t – (5)] = x[t - 5] o x[-n – (-5)] = = x[-n + 5] .

Transformaciones de la Variable Independiente Una versión adelantada (desplazada hacia la izquierda) de la señal original, si to < 0 o no < 0, es decir, son negativas, como serían los casos x(t + 5) y x[n + 2] .En el caso general, se tiene un adelanto cuando el desplazamiento to o no tiene signo opuesto al de la variable independiente, como es el caso en x[t – (-5)] = x[t + 5] o x[-n – (5)] = = x[-n - 5] .

Transformaciones de la Variable Independiente

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Transformaciones de la Variable Independiente Las señales que están relacionadas de esta forma se presentan en aplicaciones como el radar, el sonar y el procesamiento de señales sísmicas. en las cuales varios receptores situados en diferentes localizaciones detectan una señal que está siendo transmitida a través de un cierto medio (agua, roca, aire, etc.). En este caso, la diferencia en el tiempo de propagación desde el punto de origen de la señal transmitida a cualquier par de receptores tiene como resultado un corrimiento de tiempo entre las señales obtenidas por los dos receptores.

Transformaciones de la Variable Independiente Transformación 2: Inversión del tiempo o Reflexión en el tiempo Una segunda transformación básica del eje del tiempo es la inversión de tiempo. Por ejemplo, como se ilustra en la figura 1.10, la señal x[- n] se obtiene a partir de la señal x[n] mediante un reflejo respecto a n = 0 (es decir, invirtiendo la señal haciendo rotar 180o el eje vertical del plano cartesiano). De manera similar, como se ilustra en la figura 1.11, x(- t) se obtiene a partir de la señal x(t) mediante el reflejo de t = 0. Esto es, si x(t) representa una señal de audio grabada en una cinta, entonces x(- t) es la misma grabación pero tocada en sentido contrario.

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Transformaciones de la Variable Independiente Transformación 3: Escalamiento del tiempo Otra transformación es la de escalamiento del tiempo. En la figura 1.12 se ilustran tres señales: x(t), x(2t) y x(t/2), que están relacionadas por cambios lineales de escala en la variable independiente. Si pensamos nuevamente en el ejemplo de x(t) como una grabación en cinta, entonces x(2t) es la grabación tocada al doble de la velocidad y x(t/2) es la grabación tocada a media velocidad

Transformaciones de la Variable Independiente En general, en el caso de tiempo continuo, si se tiene una señal x(t) y una constante a > 1 : x(at) es una versión comprimida de x(t). x(t/a) es una versión expandida de x(t).

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Transformaciones de la Variable Independiente La transformación de escalamiento del tiempo en el caso de tiempo discreto, presenta un comportamiento especial. Considérese la secuencia x[n] y una constante a > 1: x[an] es una versión diezmada de x[n], ya que en x[an] solo aparecerán los elementos de x[n] correspondientes a los valores de la variable independiente original, n, que coincidan con el producto an en la señal transformada. x[n/a] es una versión con interpolación de valores 0 de x[n], ya que en x[n/a] aparecerán todos los elementos de x[n] correspondientes a los valores de la variable independiente original, n, en los puntos equivalentes y correspondientes a la transformación n/a; pero, además, se interpolan valores 0 en cada punto en el que n/a de la señal transformada no tenga coincidencia con la n de la señal original (estos puntos corresponden a valores fraccionales de n/a). Nótese que, si Entones,

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Transformaciones de la Variable Independiente Con frecuencia resulta interesante determinar el efecto de transformar la variable independiente de una señal x(t) determinada para obtener una señal de la forma x(αt + β), donde α y β son números dados. Esta transformación de la variable independiente conserva la forma de x(t), excepto que la señal resultante puede ser alargada linealmente (expandida) si |α| < 1, comprimida linealmente si |α| > 1, invertida en tiempo si α < 0, y desplazada en el tiempo si β es diferente de cero. Para llevar a cabo la transformación total de la variable independiente correctamente, es necesario realizar los distintos pasos de transformación de variable independiente en el siguiente orden, ya que, de no hacerlo, se puede obtener un resultado erróneo: Transformación de reflexión Transformación de corrimiento o desplazamiento Transformación de cambio de escala En el caso de tiempo discreto, hay que aplicar el mismo orden de pasos, pero se debe estar pendiente de si la secuencia es diezmada o interpolada.

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Transformaciones de la Variable Independiente Un método de comprobación de la transformación, sería tomar uno o más puntos de referencia en la señal original y después comparer la nueva disposición de esos puntos en la señal con la variable independiente ya transformada. Del ejemplo anterior, dígase que se toman los puntos de x(t) para t = -1 y t = 3, como sigue: Ya que la transformación de la variable independiente es 1 – t/2, se tiene que Se puede observar, por el signo “-” de la variable independiente en la transformación, que hay inversion; el 2 dividiendo a t, dice que hay expansion; el desplazamientocon signo opuesto a t, que hay Adelanto. Punto 1 ( t = -1, en la señal original): Entonces, se iguala la variable transformada al valor -1 (punto en la señal original) 1 – t/2 = -1  despejando, se tiene t = 4. Entonces, el punto 1 aparecera en t=4 en la señal transformada.

Transformaciones de la Variable Independiente Punto 2 ( t = 3, en la señal original): Entonces, se iguala la variable transformada al valor -3 (punto en la señal original) 1 – t/2 = 3  despejando, se tiene t = -4. Entonces, el punto 2 aparecera en t = -4 en la señal transformada.

Transformaciones de la Variable Independiente

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Señales Periódicas Señales Periódicas Una señal periódica continua x(t) tiene la característica de que hay un valor positivo T para el cual para lodos los valores de t. En otras palabras, una señal periódica tiene la propiedad de que no cambia para un corrimiento de tiempo T. En este caso decimos que x(t) es periódica con periodo T y frecuencia f = 1/T, dada en ciclos por segundo o Hertz. Las señales periódicas continuas surgen en una gran variedad de contextos. Por ejemplo, la respuesta natural de sistemas en los cuales se conserva la energía, como los circuitos LC ideales sin disipación de energía resistiva y los sistemas mecánicos ideales sin pérdidas por fricción, son señales periódicas y de hecho, están compuestas de algunas de las señales periódicas básicas que presentaremos posteriormente.

Señales Periódicas En la figura 1.14 se muestra un ejemplo de una señal periódica continua. A partir de la figura o de la ecuación (1.11) podemos deducir fácilmenle que si x(t) es periódica con periodo T, entonces x(t) = x(t + mT) para toda t y para cualquier entero m. Por tanto, x(t) también es periódica con periodos 2T, 3T, 4T, ... El periodo fundamental To de x(t) es el valor positivo más pequeño de T para el cual la ecuación (1.11) se satisface. En consecuencia, la frecuencia fundamental es fo. Esta definición del periodo fundamental es válida excepto cuando x(t) es una constante. En este caso el periodo fundamental es indefinido ya que x(t) es periódica para cualquier valor de T (de manera que no hay un valor positivo más pequeño). Una señal x(t) que es no periódica se conoce como una señal aperiódica.

Señales Periódicas Las señales periódicas discretas son definidas de manera analógica. Específicamente, una señal discreta x[n] es periódica con periodo N, donde N es un entero positivo, si no cambia con un corrimiento de tiempo de N. es decir. Si para todos los valores de n. Si la ecuación (1.12) se satisface, entonces x[n] es también periódica con periodos 2N, 3N, ... El periodo fundamental No es el valor positivo más pequeño de N para el cual la ecuación (1.12) se satisface. En la figura 1.15 se muestra un ejemplo de una señal periódica discreta con periodo fundamental No = 3.

Señales Periódicas

Señales Pares e Impares Otro conjunto de propiedades útiles de las señales está relacionado con la simetría que presentan con la inversión de tiempo. Una señal x(t) o x[n] es conocida como una señal par si es idéntica a su contraparte invertida en el tiempo, es decir. con su reflejo respecto del origen. En tiempo continuo una señal es par si Mientras que una señal en tiempo discreto es par si A una señal se le considera impar si

Señales Pares e Impares Una señal impar debe ser necesariamente 0 en t = 0 o n = 0, ya que las ecuaciones (1.16) y (1.17) requieren que x(0) = - x(0) y x[0] = -x[0]. En la figura 1.17 se muestran ejemplos de señales par e impar continua.

Señales Pares e Impares Un hecho importante es que cualquier señal se puede separar en la suma de dos señales, una de las cuales es par y la otra es impar. Para ver esto, considere la señal la cual corresponde a la parte par de x(t). De manera similar, la parte impar de x(t) está dada por Tarea para el estudiante: verificar que la parte par es de hecho par, que la parte impar es impar y que x(t) es la suma de las dos es un ejercicio simple. Entonces, Definiciones exactamente análogas son válidas en el caso de tiempo discreto. La figura 1.18 proporciona un ejemplo de la descomposición par-impar de una señal discreta.

Señales Pares e Impares