Instituto Nacional de Astrofísica, Óptica y Electrónica INAOE
Propedéutico de la coordinación de Óptica
Funciones
Funciones
Las funciones Con las funciones describimos muchos de los aspectos del mundo que nos rodea
El cambio, motor fundamental del Universo La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la posición La inflación: Como cambian los precios con el tiempo El cancer: Cómo crecen los tumores con el tiempo Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos ultracomplejos?
El cambio, motor fundamental del Universo Las funciones “describen” la evolución de las variables dinámicas de los sistemas
Concepto de derivada
Concepto de derivada
Gráfica de una función de R en R
La integral definida Esta área La integral de a a b de la función f, es el área bajo la curva de la gráfica de la función entre a y b
Las funciones de varias variables En el cálculo elemental se estudian funciones de una sola variable. Sin embargo, en la vida real la mayoría de los fenómenos y los procesos dependen de varias variables. Por tanto, son las funciones de varias variables las que, en general, sirven para describir correctamente los procesos de la naturaleza. Por motivos metodológicos las podemos dividir como: Funciones vectoriales Funciones escalares de un vector o campos escalares Funciones vectoriales de un vector o campos vectoriales
Funciones vectoriales
Funciones vectoriales
Funciones vectoriales
Las funciones vectoriales de una variable real
Las funciones vectoriales de una variable real
Las funciones vectoriales de una variable real
Las funciones vectoriales de una variable real
Las funciones vectoriales de una variable real
Las funciones vectoriales de una variable real
Las funciones vectoriales de una variable real
Las funciones reales de un vector o campos escalares
Campos escalares
Campos escalares. Ejemplo 2 x Y f(x,y)=1-x2-y2 1 -1 2 3 -12 -4 5 -40
Gráfica de los campos escalares en el plano
Campos escalares. Ejemplo 2 x Y f(x,y)=1-x2-y2 1 -1 2 3 -12 -4 5 -40 Gráfica
Funciones reales de un vector: Curvas de nivel
Campos escalares en 3D
Campos escalares en 3D
Campos escalares: Superficies de nivel
Campos escalares: Superficies de nivel
Campos escalares: Superficies de nivel Ejemplo
Las funciones vectoriales de un vector o campos vectoriales
Campos vectoriales
Campos vectoriales
Campos vectoriales. Ejemplo 1 x Y x+y y-x 1 -1 2 -2 3 -4
Campos vectoriales. Ejemplo 1 (x,y) F(x,y) (0,0) (1,0) (1,-1) (0,1) (1,1) (2,0) (-1,-1) (-2,0) (-1,1) (0,2) (0,-2) (2,-2) (3,-1) (2,-4)
Campos vectoriales. Ejemplo 1
Campos vectoriales. Ejemplo 2
Campos vectoriales. Líneas de campo
Campos vectoriales. Líneas de campo
Campos vectoriales. Líneas de campo
Resumen de las funciones vectoriales
Funciones vectoriales
Las funciones reales de un vector o campos escalares
Campos escalares
Las derivadas parciales de un campo escalar
Las derivadas parciales de un campo escalar
Las derivadas parciales de un campo escalar
Significado físico de la derivada parcial
Significado físico de la derivada parcial
Significado físico de la derivada parcial
Significado de la derivada elemental
Significado físico de la derivada parcial
Significado físico de la derivada parcial
La derivada direccional
La derivada direccional
La derivada direccional
Ejemplo de la derivada direccional
La derivada direccional y las derivadas parciales
El gradiente
El gradiente
El gradiente. Ejemplo 1
El gradiente. Ejemplo 1
El gradiente. Ejemplo 1
El gradiente. Ejemplo 1
El gradiente. Ejemplo 1
El gradiente. Ejemplo 1
Little Elden mountain San Francisco Peaks Flagstaff, Arizona
El gradiente. Ejemplo 2
El gradiente. Ejemplo 2
El gradiente. Ejemplo 2
El gradiente. Ejemplo 2
El gradiente
El gradiente es perpendicular a las superficies y curvas de nivel Las superficies y curvas de nivel son en las que el campo escalar no cambia, en las que el campo escalar se mantiene constante, por lo tanto es lógico que el gradiente, que indica la dirección de mayor crecimiento de la función, sea perpendicular a ellas
El gradiente. Ejemplo
La derivada direccional y el gradiente
La derivada direccional y el gradiente
Gráficas de intensidad de densidad
El gradiente El campo escalar está en blanco y negro, representando el negro valores mayores. El gradiente está representado por las flechas azules. El gradiente apunta en la dirección de mayor crecimiento del campo escalar
El rotacional (Curl)
El rotacional
El rotacional
El rotacional
El rotacional (Curl) OJO: En inglés se llama “CURL” Equivale a “chinitos”, “rulitos”
El rotacional (Curl)
El rotacional (Curl)
El rotacional (Curl)