Geometría Espacial II

Geometría Tridimensional o Espacial Los conceptos dados en geometría plana son aplicables de cierto modo en la geometría espacial. Por lo tanto, las ideas de punto, recta y plano se analizarán desde la óptica espacial, pues si bien en la geometría plana puntos y rectas se hallan dentro del plano, en la geometría espacial no sucede así: en este caso los puntos y las rectas pueden ser exteriores a él. Plano tridimensional En este sistema los ejes son: Eje “x”: Eje de las abscisas Eje “y”: Eje de ordenadas Eje “z”: Eje de cotas. 2

Distancia entre dos Puntos en el Espacio En la figura 1 observamos tres ejes X, Y, Z mutuamente perpendiculares que generan también tres planos perpendiculares XY, XZ, y el YZ.

Ecuación Vectorial de la recta en el espacio Para definir una recta bastan dos puntos o un punto y un vector director. Sean los puntos 𝑃 0 ( 𝑋 0 , 𝑌 0, 𝑍 0 ) y 𝑃 1 ( 𝑋 1 , 𝑌 1, 𝑍 1 ). La recta que pasa por ambos puntos se puede determinar mediante la siguiente ecuación vectorial: Dados los puntos 𝑃 0 ( 𝑋 0 , 𝑌 0, 𝑍 0 ) y 𝑃 1 𝑋 1 , 𝑌 1, 𝑍 1 la dirección de la recta que para por dichos puntos queda determinada por un vector director: Para todo punto P(x,y,z) que pertenece a la recta, existe un número real 𝜆 tal que:

Cuerpos geométricos Los cuerpos geométricos son objetos de tres dimensiones limitados por caras o superficies finitas. Si las caras son polígonos, los cuerpos se denominan poliedros. Si tienen al menos una cara curva entonces los cuerpos de denominan cuerpos redondos. Poliedros ejemplos: Cubo Paralelepípedo Prisma Pirámide

Cuadro resumen de áreas y Volúmenes de cuerpos geométricos

Cuerpos redondos Son aquellos cuerpos que tienen al menos una cara curva. El cilindro, el cono y la esfera son ejemplos de cuerpos redondos. Una característica en común de estos cuerpos redondos es que se pueden obtener como rotación en 360 de una figura plana con respecto a un eje de rotación . Cilindro El cilindro se puede obtener mediante una rotación de un rectángulo en 360 con respecto a uno de sus lados.

Cono Generatriz (g): es el segmento recto que une el vértice con un punto de la circunferencia basal. El radio, la altura y la generatriz del cono forman un triángulo rectángulo, siendo la generatriz la hipotenusa del triángulo. Luego, se puede aplicar el teorema de Pitágoras:

Esfera La esfera se puede obtener mediante rotación de un semicírculo en 360 en torno al diámetro de la circunferencia al rotar un semicírculo de centro O en 360 torno al diámetro AB.

Posiciones de dos rectas en el espacio Teoremas y propiedades relativas a rectas y planos en el espacio Rectas paralelas: Dos rectas paralelas siempre están contenidas en un mismo plano. Rectas alabeadas: Dos rectas alabeadas no se interceptan y no existe un plano que las contenga.

Posiciones de dos planos en el espacio Rectas secantes: Dos rectas secantes son siempre coplanares (están en un mismo plano). Posiciones de dos planos en el espacio Planos paralelos: Dos planos paralelos no tienen un punto en común.

Planos y rectas perpendiculares Planos secantes: Dos planos secantes se interceptan en una línea recta. Planos y rectas perpendiculares Dos rectas perpendiculares son secantes y se interceptan formando ángulos rectos.

Recta perpendicular a un plano: Una recta es perpendicular a un plano si todas las rectas del plano que pasan por el punto de intersección de la recta con el plano son perpendiculares a ella. En la figura, todas las rectas del plano que pasan por el punto de intersección de L con el plano son perpendiculares a ella. Planos perpendiculares: Dos planos son perpendiculares si uno de ellos contiene una recta perpendicular al otro plano.

FIN