INFERENCIA ESTADÍSTICA U.D. 13 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE U.D. 13.5 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA El intervalo de confianza para la media, si la población sigue una distribución N(μ, σ) conocida la desviación típica σ , es: Donde x es la media muestral, σ la desviación típica, n el tamaño de la muestra y Zα/2 el valor crítico que se calcula por la Tabla N(0,1) Ejemplo La estatura de una muestra aleatoria de 49 estudiantes tiene una media de 174 cm y se conoce que la desviación típica es de 7 cm. Calcula un intervalo de confianza del 95% para la estatura media de todos los estudiantes. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

I. DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN Se quiere estudiar la proporción p de una población que tiene una determinada característica. Para ello se eligen k muestras distintas de tamaño n y se obtienen valores para las proporciones muestrales. La media de la distribución de proporciones es p. La desviación típica es √[(p·q)/n], donde q = 1 – p Si el tamaño de la muestra n es grande (n≥30) la distribución se aproxima a una distribución normal, N(p, √[(p·q)/n]) El intervalo de confianza para la proporción p, con un nivel de confianza (1 – α), es: Donde p es la proporción de la muestra, n el tamaño de la muestra, Zα/2 el valor crítico que cumple P(– Zα/2 ≤ Z ≤ Zα/2) = 1 – α @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS Ejemplo Se ha tomado una muestra de 40 pinos y se han contabilizado 18 de ellos enfermos de hongo. Hallar el intervalo de confianza para la proporción de pinos infectados, con un nivel de confianza del 99%. El intervalo de confianza para la proporción p=18/40, con un nivel de confianza (1 – α), es: @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

DISTRIBUCIONES MUESTRALES DE MEDIAS El objetivo de nuestro estudio estadístico es poder extender a la población lo que obtengamos de una muestra. Imagina que de la población formada por todos los alumnos del instituto, extraes aleatoriamente una muestra de 40 alumnos, y les preguntas por su edad, encontrando que la edad media obtenida es de 15,8 años. Pero, ¿qué ocurriría, si extrajéramos otra muestra?. ¿Coincidirían las medias? ¿Y coincidirían con la media de la población?. Aunque no coincidan deberían estar bastante próximas. Pero, ¿cuánto de próximas?. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Imagina que tienes una población con media μ  y desviación típica σ; y que extraes aleatoriamente todas las posibles muestras, todas ellas de tamaño n. Si obtuvieras las medias de todas estas muestras, y las consideras una distribución de datos (la distribución muestral de medias), comprobarías que: a) La media de los datos, es la media μ  de la población , es decir la media de las medias de las muestras, es igual que la media de la población. b) Estas medias se distribuyen alrededor de la media  de la población, con una desviación típica (llamada desviación típica de la media) igual a la de la población dividida por la raíz de n, es decir, la desviación típica de la media es σ / √n c) La distribución de las medias muestrales, es una distribución  de tipo "normal", siempre que la población de procedencia lo sea, o incluso si no lo es, siempre que el tamaño de las muestras sea 30 o mayor. N( μ , σ / √n ) Lo que en definitiva establece el TCL, es que la distribución de la media, o de las sumas, de diferentes valores da como resultado una distribución normal.  @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS EJEMPLO DEL TCL Una compañía aérea sabe que el equipaje de sus pasajeros tiene como media 25 kg. con una d.t. de 6 kg.  Si uno de sus aviones transporta a 50 pasajeros, el peso medio de los equipajes de dicho grupo estará en la distribución muestral de medias La probabilidad de que el peso medio para estos pasajeros sea superior a 26 kg sería: Si el avión no debe cargar más de 1300 kg en sus bodegas, la media del conjunto de los 50 pasajeros no debe superar los En consecuencia en un 11,9% de los casos los aviones de esta compañía superan el margen de seguridad. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS Ejercicio 1 Sabemos que el tiempo medio de espera en las colas del Banco "El interés interesado" es de 15 min. con una desviación típica de 5 minutos. Si tomásemos al azar a un grupo de 35 clientes: a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de espera del grupo fuera menor de 17 minutos? b) ¿Entre qué valores se encontraría el tiempo medio con una seguridad del 95%?. ¿Y del 99%?. RESOLUCIÓN a) Sea N(μ, σ/√n) = N(15, 5/√35) = N(15, 0´845) Z= (X – μ)/σ = (17 – 15) / 0,845 = 2/0,845 = 2,3668 P(Z<=2,3668) = Por Tablas = 0,991050 b) Para el 95% y una distribución N(15, 5), hallar el intervalo. (μ – Zα/2.σ , μ + Zα/2.σ) = (15 – 1,96.5 , 15 + 1,96.5) = = (15 – 9,80, 50 + 9,80) = (5,20, 20,20) Para el 99% y una distribución N(15, 5), hallar el intervalo. (μ – Zα/2.σ , μ + Zα/2.σ) = (15 – 2,575.5 , 15 + 2,575.5) = = (15 – 12,875, 15 + 12,875) = (2,125, 27,875) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS Ejercicio 2 En un almacén se trabaja con bultos de igual volumen, cuyo peso se distribuye según N(250,45) expresados en kg.  Los elevadores encargados de su transporte dentro del almacén, pueden aguantar hasta un peso máximo total de 2000 kg. Si la empresa decide que las carretillas se carguen con 7 bultos cada vez: a) ¿Cuál es la probabilidad de que se supere el peso máximo de seguridad? b) ¿Cuántos bultos de cada vez harían falta para que dicha probabilidad fuera menor del 0,1%? RESOLUCIÓN a) Sea N(μ, σ/√n) = N(250, 45/√7) = N(250, 17) 2000/7 = 285,71 Z= (X – μ)/σ = (285,71 – 250) / 17 = 35,71/17 = 2,1 P(Z>=2,1) = 1 – P(Z<=2,1) = Por Tablas = 1 – 0,9821 = 0,0179 b) P(Z>=Z1) = 1 – PZ<=Z1) = 0,000999 P(Z1) =1 – 0,000999 = 0,999001  Z1 = Por Tablas = 3,08 Z1= (X – μ)/σ = (X – 250) / 17  X = 17.3´08 + 250 = 302,36 N= 2000 / 302,36 = 6,61  6 bultos @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS Ejercicio 3 En unos grandes almacenes, la media de los salarios es de 630 €, con una d.t. de 150 €. Si preguntáramos a 36 empleados elegidos aleatoriamente, por su sueldo, ¿cuál es la probabilidad de que la media correspondiente a los 36 fuera inferior a 600 €?   ¿Cuál sería el intervalo de confianza para la media de la población, con un nivel de confianza del 95%? RESOLUCIÓN a) Sea N(μ, σ/√n) = N(630, 150/√36) = N(630, 25) Z= (X – μ)/σ = (600 – 630) / 25 = – 30 /25 = – 1,02 P(Z<= – 1,02) = P(Z >= 1,02) = 1 – P(Z<= 1,02) = Por Tablas = 1 – 0,8461 = 0,1539 b) Para el 95% y una distribución N(630, 150), hallar el intervalo. (μ – Zα/2.σ , μ + Zα/2.σ) = (630 – 1,96.150 , 630 + 1,96.150) = = (630 – 296, 630 + 296) = (334, 926) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS