DISEÑO EXPERIMENTAL Ma44D Mayo 2006

Diseño de muestreo y diseño de experimento Diseño muestral: se usa para describir una población mediante una muestra Diseño experimental: se usa para describir como se relacionan varias variables en un sistema en estudio

Objetivos diseños muestral y experimental Permiten extraer muestras o planificar experimentos de manera rigurosa y eficiente al mínimo costo.

Ejemplos Diseño muestral: Intención de votos de una población; Nivel de vida de los chilenos; ¿Cual es la proporción de hipertensos en la población chilena mayor de 60 años? Diseño experimental: como influye el reactivo o el ph en la recuperación de un mineral en procesos mineros; ¿Cómo influye la droga X sobre la hipertensión?

Tres criterios fundamentales para un diseño muestral o experimental Representatividad Aleatoriedad Realismo

Objetivos del diseño experimental Adquirir conocimientos del sistema en estudio Minimizar el costo (número de experimentos) Proporcionar la mejor precisión de los resultados

Algunas preguntas ¿Cuál estrategia de experimentos se debe usar para llegar rápidamente a los resultados esperados? ¿Hay estrategias mejores que otras? ¿Cuál es el número mínimo de experimentos a realizar para llegar a los resultados esperados? ¿Se puede evitar los experimentos inútiles? ¿Cómo mejorar la precisión de los resultados?

Teoría diseño experimental Permite dar un mejor conocimiento de un sistema observado con un número mínimo de experimentos y la máxima precisión

Comparación del método tradicional y del método de diseño experimental Método diseño experimental

Dos factores

Estrategia I

Estrategia II

La estrategia II es mucho mejor que la estrategia I Se debe a que El efecto del factor A (o del factor B) se mide con las 4 mediciones, por lo tanto los efectos se estiman con mayor precisión. En la estrategia I se mide sobre 2 puntos. Se puede estimar interacciones entre los dos factores, lo que es imposible con la estrategia I.

Algunas definiciones Factor: es una variable, continua o no, que tiene alguna acción sobre el sistema en estudio Factor controlado Factor no controlado Respuesta: es el valor de lo que se mide con el objeto de conocer el efecto de los factores sobre el sistema Niveles del factor: los distintos valores dados al factor

El objetivo del estudio condiciona la estrategia a utilizar en el diseño de experimentos Búsqueda de un extremo Modelación del sistema

Tres principios básicos Control local: Se refiere a cualquier método que reduce la variabilidad natural dentro un grupo que recibió el mismo “tratamiento” Repeticiones: Es imposible evaluar la variabilidad natural con una sola replica del mismo tratamiento Aleatoriedad: Es la única forma de evitar los sesgos.

Ejemplos Estudio Unidades tratamientos Medicina Rendimiento gasolina Agricultura Minería Pacientes Taxis Parcelas Muestras Drogas Gasolina Fertilizantes, pesticidas, variedades Ph, Reactivo

Diseño factorial completo Se realiza las mediciones en todas las combinaciones de los niveles de los factores considerados en el estudio

Diseño factorial completo 2k Se quiere medir el efecto de los dos factores sobre las 4 mediciones: ¿El factor A influye sobre las mediciones? Si el factor A influye ¿cómo influye cada nivel? ¿El factor B influye sobre las mediciones? Si el factor B influye ¿cómo influye cada nivel?

El efecto global de A es igual a +50 El efecto global de B es igual a +100

Calculamos los efectos del Factor A El efecto promedio del factor A es 42.5

Calculamos los efectos del Factor B El efecto promedio del factor B es 32.5

Notación de YATES El efecto promedio del factor A es 42.5

Notación de YATES El efecto promedio del factor A es 32.5

Otro ejemplo El efecto promedio del factor A es 2.5312

Otro más El efecto promedio del factor A es 4.38125

La media general es: M = 49.2563 El efecto de la respuesta de nivel 1 (es decir -1) del factor A es la diferencia de las respuestas de los experimentos con el factor A al nivel 1 y de la media general El efecto de la respuesta de nivel 2 (es decir +1) del factor A es la diferencia de las respuestas de los experimentos con el factor A al nivel 2 y de la media general

Concepto de residuo Hay una diferencia entre la respuesta observada y la respuesta estimada. Es el residuo Estas diferencias tienen varios orígenes: Varianza debida a factores no controlados. Son los factores no incluidos en el modelo. Varianza debida al modelo. El modelo supone que los efectos de los diferentes factores son aditivos. Cabe preguntarse: ¿Los efectos son realmente aditivos?

Se pueden visualizar los efectos de cada factor para interpretarlos

Interacciones

Sin interacción

Con interacciones

Los residuos son las interacciones

Ejercicio Estudie los efectos de los 3 factores y las interacciones y haga los gráficos

Observe

Diseños fraccionarios Permiten reducir el número de experimentos a realizar para estimar los efectos e interacciones. EL problema es que si no se hace de manera correcta, no se podrá separar los efectos de los factores. Se habla de confusión

Diseños fraccionarios El diseño requiere dos condiciones, la condición de ortogonalidad; la condición sobre el número de grados de libertad.

Condición de ortogonalidad diseño completo con n=9 diseño incompleto con n=6 Estimaciones sesgadas diseño incompleto con n=9 Estimaciones sesgadas

Definición Se habla de acción para designar o un factor o una interacción entre factores

Condición de ortogonalidad Dos acciones disjuntas (no tienen factores en común) son ortogonales si en cada nivel de una, todos los niveles de la otra están asociados el mismo número de veces en el diseño.

Cuando el diseño no es ortogonal las estimaciones son sesgadas Para obtener una estimación insesgada del efecto del Factor A en un nivel dado se requiere que en el Factor B este el mismo número de veces en el nivel 1, en el nivel 2 y en el nivel 3. Por lo tanto se requiere un mínimo de 9 observaciones ó un múltiple de 9. Aquí con dos factores se requiere un diseño factorial completo. Pero con más factores, se puede obtener la ortogonalidad sin hacer un diseño completo.

El número mínimo requerido es el Mínimo Común Múltiple (MCM), de todos los productos de los niveles de todos los factores tomados de a dos. Si queremos incluir estimaciones de efectos de interacciones hay que tener más observaciones

Aplicación MCM(9,6,6,18) = 18 Y = M + A + B + C + BC Los factores A y B tienen 3 niveles y C tiene 2; BC tiene 6 A ┴ B multiple de 3 x 3 = 9 A ┴ C multiple de 3 x 2 = 6 C ┴ B multiple de 3 x 2 = 6 A ┴ BC multiple de 3 x 6 = 18 MCM(9,6,6,18) = 18

Esta condición no es suficiente Hay que considerar el número de parámetros a estimar. Vimos que relaciones entre las estimaciones. Por ejemplo Se dice que el factor A tiene dos grados de libertad

Los factores A y B tienen 3 niveles y C tiene 2; BC tiene 6 Tenemos M 1 g.l. A 2 g.l B 2 g.l. C 1 g.l. BC 2 g.l. Total 8 g.l.

Diseño ortogonal mínimo Y = M + A + B + C + BC 2x3x3 = 18 Max(18,7) = 18

3 factores a 2 niveles Y = M + A + B + C => n=4 Y = M + A + B + C + AB + C + BC => n=8 Y = M + A + B + C + AB + C + BC + ABC => n=8

4 factores a 2 niveles

4 factores a 2 niveles Con 4 experimentos, A y BC no son ortogonales: hay confusión

Caso general Para la ortogonalidad, es conveniente tomar un número de niveles no primos; Introducir en el modelo solamente las interacciones necesarias Verificar las confusiones cuando tome un diseño fraccionario

Ejercicio 4 factores a dos niveles: (1) Y = M + A + B + C + D + BC (2) Y = M + A + B + C + D + BC + ABC n=8 n=16

Tres factores a 3 niveles Ortogonalidad sin interacción: 3x3=9 Grados de libertad: 1 + 2 x 3 = 7 g.l.

Tres factores a 4 niveles Ortogonalidad sin interacción: 4x4=16 Grados de libertad: 1 + 3 x 3 = 10 g.l. CUADRADOS LATINOS

Historia de los cuadrados latinos Un problema planteado por EULER (1972): ¿Es posible arreglar 36 oficiales, 6 de diferentes rangos y 6 diferentes regimientos, en 6 filas y columnas de manera que en cada fila y columna se tenga 1 oficial de cada rango y de cada regimiento? Conjetura de Euler: es imposible. Mostrado 118 años más tarde.

4 x 4

Diseño greco-latino δ

5 x 5

Número de diseños 4x4 4 5x5 56 9x9 377.597.570.964.258.816

Diseño balanceado incompleto SO DOKU Diseño balanceado incompleto