Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales con Valores y vectores propios Maria Fernanda centeno Emanuel Fernandez Oscar Mondragón Ana Irene Villalobos
Valores propios reales y no repetidos Sean l1; l2; ln valores propios reales y distintos de la matriz A de coeficientes del sistema homogéneo y K1; K2; Kn los vectores propios correspondientes. Entonces, la solución general en el intervalo R es X = c1K1el1t + c2K2el2t + + cnKnelnt
Valores propios repetidos si m es un entero positivo y (l l1)m es un factor de la ecuación característica, mientras que (l l1)m+1 no lo es, entonces se dice que l1 es un valor propio de multiplicidad m.
Caso 1 c1K1el1t + c2K2el1t + + cmKmel1t Para algunas matrices A de nxn es posible determinar m vectores propios linealmente independientes, K1; K2; ; Km, correspondientes a un valor propio l1 de multiplicidad mxn. En este caso, la solución general del sistema contiene la combinación lineal c1K1el1t + c2K2el1t + + cmKmel1t
Caso 2 Si sólo hay un vector propio que corresponda al valor propio l1, de multiplicidad m, siempre será posible hallar m soluciones linealmente independientes de la forma
Resuelva el siguiente sistema
Valores complejos Si λ1 = α + βi y λ2 = α – βi , β > 0, i2 = -1 son los valores propios complejos de la matriz A de coeficientes, cabe esperar que sus vectores propios correspondientes también tengan elementos complejos.
Soluciones reales Sean λ1 = α + βi tiene un valor propio complejo de la matriz de coeficientes A en el sistema homogéneo y B1; B2 son los vectores columna definidos. Entonces X1 = [B1 cos βt - B2 sen βt]eat X2 = [B2 cos βt + B1 sen βt]eat son soluciones linealmente independientes en R: Donde B1 = Â(K1) y B2 = Á(K1) dichos vectores corresponden respectivamente a la parte real y la imaginaria del vector propio K1, asociado al valor propio λ1 = α + βi.