FUNCIONES ELEMENTALES U.D. 6 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT FUNCIÓN EXPONENCIAL U.D. 6.8 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT FUNCIÓN EXPONENCIAL Se llama FUNCIÓN EXPONENCIAL a la expresión: f (x) = ex Es decir una potencia donde la base es el número “e” y el exponente la variable “x”. El número “e” es el número irracional de valor e = 2,718281 Funciones exponenciales son también: f(x) = ax , donde a debe ser un número positivo. g(x) = ef(x) , donde el exponente es otra función. h(x) = af(x) , donde a > 0 y el exponente es otra función. En general funciones exponenciales son todas aquellas potencias donde la variable independiente, x, forme parte del exponente. f (x) = k.[g (x)] h(x) se llaman funciones polinómico-exponenciales. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

La función exponencial y Sea y = ex Tabla de valores x y -4 0,018 -3 0,050 -2 0,135 -1 0,368 0 1 1 2,718 2 7,389 3 20,085 Gráfica - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Características de y = ax Sea la función: f(x) = ax Donde siempre a > 0 El eje X es siempre una asíntota horizontal. Corta al eje Y en el punto (0,1). Dom f(x) = R ,, Img f(x) = R+ La diferencia más importante de las funciones con ( 0 < a < 1 ) y a > 1 , es el CRECIMIENTO. Si 0 < a < 1  La función es DECRECIENTE. Si a = 1  f(x) = 1 Si a > 1  La función es CRECIENTE. y f(x) = ax Para (0<a<1) f(x) = ax Para a>1 - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

La función exponencial y=2x Sea y = 2x Donde la base, a, vale 2. Muy importante: Siempre a > 0 Tabla de valores x y - 4 1 / 16 - 3 1 / 8 - 2 1 / 4 - 1 1 / 2 0 1 1 2 2 4 3 8 8 y 4 Gráfica 2 - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

La función exponencial y=2x y la función cuadrática y=x2 Sea la función exponencial f (x) = 2x Está representada en color NEGRO La base es un número y el exponente es la variable independiente. Sea la función polinómica f (x) = x2 Está representada en color ROJO La base es la variable independiente y el exponente es un número. y 9 8 f (x) = x2 f (x) = 2x 4 2 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT -3 -2 -1 0 1 2 3

Apuntes 1º Bachillerato CT La función y = 2-x =(1/2)x 8 y Sea y = (1/2)x Donde la base, a, vale ½ . Muy importante: Siempre a > 0 Tabla de valores x y - 4 16 - 3 8 - 2 4 - 1 2 0 1 1 1/2 2 1/4 3 1/8 4 Gráfica 2 - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Ejercicios de funciones Determinar a y b sabiendo que la gráfica de la función y = a·bx pasa por los puntos A(0, 5) y B(2/3 , 5/4). Calcular x para y=10 y calcular y para x=3/2. Representar gráficamente la función y enunciar sus propiedades. RESOLUCIÓN Por pasar por los puntos A y B cumple el sistema: 5 = a·b0 5/4 = a·b2/3 De la primera: 5 = a·1  a = 5  Sustituyendo en la otra: 5/4 = 5. b2/3  b2/3 = 1/4   b2/3 = 2 – 2 = [ (8)1/3 ] – 2 = (8) – 2 / 3 = (8 – 1 ) 2 / 3  b = 8 – 1 = 1 / 8 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT RESOLUCIÓN La función es y = 5·(1/8)x Para y = 10 10 = 5·(1/8)x  2 = (1/8)x  2 = 2 – 3x  1 = – 3.x  x = – 1/3 Para x = 3/2 y = 5·(1/8)3/2  y = 5.(1/83) 1/2  y = 5. (1/512) 1/2   y = 5. (1/29) 1/2  y = 5.(2 – 9) 1/2  y = 5.(2 – 9/2)   y = 5 / 29/2  y = 5 / 2 4+1/2  y = 5 / 2 4.2 1/2  Y racionalizando el denominador: y = 5. 2 1/2 / 2 4.2  y = (5 / 32).√2 La base es 1/8 < 1  Exponencial Decreciente. Para x = 0  y = 5  Corta al eje Y en el punto Pc(0, 5). El eje X es asíntota horizontal. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT y = 2x y=2x y=2 (x – 1) Sea y = 2x La función y = 2x - 3 será idéntica a y = 2x, aunque trasladada 3 unidades abajo. La función y = – 2(x - 1) será idéntica a y = 2x, aunque trasladada 1 unidad a la derecha e invertidos sus valores. y=2x - 3 y= – 2 (x – 1) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT y = 3x Sea la función: f(x) = 3x-2 Partimos de la función elemental y = 3x En el dibujo, en color rojo. Como x es ahora (x – 2) ello significa simplemente que la función es idéntica a la elemental, pero trasladada 2 unidades a la derecha. El corte con el eje Y será (0, 3-2) Al ser la base a=3 > 1  La función es CRECIENTE. y y = 3x f(x) = 3 x- 2 1 - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT y = 3 – 2 – x f(x) = 2 - x y Partimos de la función y=2–x , que es equivalente a y=(1/2)x Al ser la base 0<1/2<1 la función es decreciente (en rojo). Pero al estar precedida por el signo “–” se vuelve creciente como se aprecia en la gráfica (en azul). Finalmente el 3 sumando hace que tenga un desplazamiento vertical (en negro). f(x) = 3 – 2 - x 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x - 1 f(x) = – 2 - x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT