circunferencia

Trazados fundamentales en el plano Dibujo técnico 1.º Bachillerato Circunferencia Definiciones Circunferencia: conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto O Arco: segmento de circunferencia Radio (r): Segmento que une el centro con un punto A cualquiera de la circunferencia O Diámetro (d): Segmento que une dos puntos A y B de la circunferencia y pasa por el centro Cuerda (c): Segmento que une dos puntos D y E cualesquiera sin pasar por el centro Tangente (t): Recta que solo tiene un punto común con la circunferencia Círculo: parte del plano interior a la circunferencia Sector circular: parte del círculo comprendida entre dos radios Segmento circular: parte del círculo comprendida entre una cuerda y su arco

Trazados geométricos TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS CONOCIDO EL RADIO r CONOCIDO EL RADIO A A B C º B O A PARTIR DE TRES PUNTOS DADOS º radio C

POSICIONES RELATIVAS DE 4 Trazados geométricos (repaso) 6 La circunferencia II. Circunferencia POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUFERENCIAS TÉRMINOS RELATIVOS A LA CIRCUNFERENCIA O O’ O O’ A B O O EXTERIORES INTERIORES O O’ P O ARCO SEMICIRCUNFERENCIA O O O TANGENTES EXTERIORES TANGENTES INTERIORES O O’ O O’ CÍRCULO SEMICÍRCULO ÁNGULO CENTRAL SECANTES CONCÉNTRICAS

Ángulos en la circunferencia La medida del arco AB es la del ángulo central AOB. Arco AB = Angulo AOB Ángulo central es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella. Arco AB = Ángulo AOB Esta igualdad nos permite medir en función del ángulo central o arco el resto de ángulos que pueden definirse en la circunferencia. Angulo inscrito es aquel que tiene su vértice en  la circunferencia. El ángulo semiinscrito, (uno de los segmentos secante y el otro tangente) es un caso particular, o caso límite. El ángulo inscrito mide la mitad que el arco que comprende. Ángulo interior, tiene su centro en un punto interior del círculo. La medida del ángulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden él y su opuesto. Ángulo exterior es aquel que tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia, pudiendo ser sus lados, tangentes o secantes a la misma. La medida del ángulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca.

Trazados fundamentales en el plano Dibujo técnico 1.º Bachillerato Circunferencia Ángulos de una circunferencia (I) Ángulo central El vértice es el centro de la circunferencia Ángulo inscrito El vértice es un punto de la circunferencia y los lados son cuerdas

Trazados fundamentales en el plano Dibujo técnico 1.º Bachillerato Circunferencia Ángulos de una circunferencia (II) Ángulo semiinscrito El vértice es un punto de la circunferencia, un lado es secante y el otro tangente Ángulo interior El vértice es un punto interior de la circunferencia

Trazados fundamentales en el plano Dibujo técnico 1.º Bachillerato Circunferencia Ángulos de una circunferencia (III) Ángulo exterior El vértice es un punto exterior de la circunferencia y los lados secantes Ángulo circunscrito El vértice es un punto exterior de la circunferencia y los lados tangentes

Enlace de interés Angulos inscritos 1 Angulos inscritos 2 Cuadrilatero inscrito Angulos inscritos 4 Angulos semiinscritos Angulos interiores a una circunferencia Angulos exteriores a una circunferencia Angulos interiores y exteriores en la circunferencia

Arco Capaz. Recordemos: Lugar geométrico es el conjunto de puntos que cumplen una condición común: La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos La esfera es el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidista de uno fijo lamado centro Se llama Arco Capaz de un ángulo α dado respecto a un segmento también conocido , al lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ve el segmento dado bajo el ángulo α.

Dado el segmento AB y el angulo @. Trazar el Arco Capaz

Por uno de los extremos A del segmento dado, se traza la recta m perpendicular a AB, restando a continuación el angulo @ hasta cortar a la mediatriz en O´ , de tal forma que el ángulo O´AB es de 90-@

Con centro en O´ se traza un arco de circunferencia que pase por Ay B Con centro en O´ se traza un arco de circunferencia que pase por Ay B . Dicho arco es el arco capaz buscado

APLICACIÓN DE UN ARCO CAPAZ EN LA CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO Los datos del triángulo son el lado a Y el ángulo  opuesto al lado a. Se puede obtener el triángulo construyendo el arco capaz del segmento a, bajo el ángulo  son los triángulos ABC en todas sus variantes los cuales se obtienen haciendo centro en C y con radio r cortando el arco capaz, que es la circunferencia de centro O y radio OB = OC

Los datos del triángulo son el lado a (AB) Y el ángulo  opuesto al lado a.

Se puede obtener el triángulo construyendo el arco capaz del segmento a, bajo el ángulo Â

Se puede obtener el triángulo construyendo el arco capaz del segmento a, bajo el ángulo Â

Se puede obtener el triángulo construyendo el arco capaz del segmento a, bajo el ángulo Â

Trazados fundamentales en el plano Hallar los puntos desde donde se ven dos segmentos bajo dos ángulos conocidos Arco capaz (II)‏ Hallar los puntos desde los que se ven dos segmentos bajo dos ángulos dados 1. Se dibuja el arco capaz de  respecto de AB 2. Se dibuja el arco capaz de  respecto de BC 3. Los puntos M y N son los puntos desde los que se ve el segmento AB con un ángulo  y BC con un ángulo 

Trazados fundamentales en el plano 2 Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 8 Rectificación de arcos de circunferencia Rectificación de arcos de circunferencia B A C O E D F Rectificación de un arco de 90º Rectificación de un arco menor de 90º 1. Con centro en los extremos del diámetro AB y radio en O se trazan sendos arcos hasta cortar en C y D a la circunferencia. 1. Se divide el radio OC en 4 partes iguales 2. Tres partes se trasladan sobre la prolongación del diámetro 2. Hallamos E, intersección de dos arcos con centros en A y B y de radio AD=BC 3. Se une el punto D con el B hasta cortar a r en E 3. Con centro en C y radio CE dibujamos un arco hasta cortar en F a la circunferencia 4. El segmento AF es la rectificación de un arco de 90º

Contenido Hagamos una pequeña prueba

Trazados fundamentales en el plano 2 Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 9 Rectificación de la semicircunferencia y la circunferencia Rectificación de circunferencias Rectificación de una semicircunferencia A B 1. Se trazan dos diámetros perpendiculares AB y CD. Con centro en B (radio BO) trazamos un arco hasta cortar en E a la circunferencia. E D C O 2. Con centro en A y radios AC y AE se trazan arcos hasta cortar en F y G a la recta tangente a la circunferencia en el propio punto A F G 3. El segmento FG es la solución buscada Rectificación de una circunferencia 1. Se divide el diámetro AB en 7 partes iguales 2. Sobre una recta r se transporta 3 veces el diámetro, más un séptimo

Potencia de un punto respecto de una circunferencia

Potencia de un punto respecto de una circunferencia Concepto de Potencia  Aparentemente parece no existir ninguna relación entre un punto y una circunferencia (Fig 26)

Potencia de un punto respecto de una circunferencia Si partiendo del punto P se traza un haz de rectas, unas serán secantes, otras tangentes, otras no cortarán a la circunferencia. (Fig. 27)‏

Potencia de un punto respecto de una circunferencia Las rectas que no corten a la circunferencia no tienen ninguna relación con ella, pero las que sean secantes o tangentes determinarán unos puntos intersección con ella y, por tanto, cada recta quedará dividida en magnitudes, segmentos o distancias desde el punto P a los puntos intersección con la circunferencia. El producto de distancias de dicho punto a los pun­tos de la circunferencia, determina una constante PA*PA' = K que es la potencia de un punto respecto de una circunferencia (Fig. 28)

Potencia de un punto respecto de una circunferencia Esta constante K es la misma para todas las rectas que partiendo del punto P sean secantes o tangentes a la circunferencia.

Potencia de un punto respecto de una circunferencia En el caso límite en que una secante se transforme en tangente el punto T es doble pues cumple una doble alineación con P , por tanto, PT = PT' (Fig. 30)

Trazados fundamentales en el plano Potencia de un punto respecto de una circunferencia. Eje radical de dos circunferencias Definición: Potencia de un punto Definición: Eje radical Potencia del punto P respecto de la circunferencia de centro O es el producto de las distancias de P a los dos puntos de intersección de una recta secante Eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos que tienen la misma potencia respecto de ambas p = PA x PB p = MA x MB = MC x MD

EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS Dadas dos circunferencias de centros 01 y O2 (fig. 14), El eje radical es siempre perpendicular a la recta que une los centros de las dos circunferencias.

Trazados fundamentales en el plano Eje radical de dos circunferencias Propiedad: El eje radical es siempre una recta perpendicular a la recta de los centros de las circunferencias e 1 O 2 B A Eje radical de dos circunferencias secantes: es la recta que une los puntos A y B de intersección de las circunferencias e O 1 2 Eje radical de dos circunferencias tangentes: es la recta tangente común a ambas circunferencias A Eje radical de dos circunferencias exteriores: e O 1 2 E 1. Se traza una circunferencia auxiliar de centro O3 que corte a ambas. Se hallan los ejes radicales de esta con las otras dos obteniendo r y s r s B A O D C 2. Se dibuja la recta perpendicular a O1O2 desde E, intersección de r y s

Trazados fundamentales en el plano Centro radical de tres circunferencias Definición: Centro radical Es el punto que tiene la misma potencia respecto de las tres circunferencias 1. Se halla el eje radical de las circunferencias que tienen por centro O1 y O2 2. Se halla el eje radical de las circunferencias que tienen por centro O2 y O3 3. El punto O de intersección de e y e’ es el centro radical

Enlaces web Posiciones relativas de recta y circunferencia Posiciones relativas de 2 circunferencias