El poder generalizador de los SIMBOLOS Álgebra y El poder generalizador de los SIMBOLOS

Veamos la siguiente situación: “La edad de mi padre equivale a tres veces, mi edad aumentada en 5 años” ¿Cómo se puede escribir matemáticamente esta situación?

¿Cómo se resuelve correctamente? “La edad P de mi padre equivale a tres veces, mi edad x aumentada en 5 años” se puede expresar como Sea: P: edad de mi padre x: mi edad Luego, el enunciado se puede expresar como P = 3x+ 5

OBJETIVOS Conocer conceptos básicos de algebra: Término Algebraico: Coeficiente Numérico Factor Literal Grado Signo Expresión Algebraica Clasificar expresiones algebraicas Operar con expresiones algebraicas

Contenidos Definiciones 2. Operaciones algebraicas 1.1 Término algebraico 1.2 Expresión algebraica 1.3 Clasificación de las expresiones algebraicas 1.4 Términos semejantes 2. Operaciones algebraicas 2.1 Adición y sustracción (Reducción de Términos Semejantes) 2.2 Multiplicación de expresiones algebraicas. 3. Productos notables 4. Factorizaciones

1. Definiciones 1.1 Término Algebraico Factor Literal Es la relación entre números y letras donde intervienen operaciones como la multiplicación, división, potencias y/o raíces. Consta de un “Coeficiente numérico”, un “factor literal” y el “grado”. Coeficiente Grado Numérico 23x5y8 Factor Literal 5 + 8 = 13

Ejercicios: Identifica las partes de cada término algebraico 2q 5p, mn3p, 3a4b, 7ab

1.2 Expresión algebraica Es la relación entre términos algebraicos, separados solo por la adición y/o sustracción. Ejemplos: 1) 9x7 – 4 5y 2) 5m2 + 2ab3 – 4p + 3q 3) 6x4y5 + 3pq – 7m 2

Expresión algebraica que consta de un término algebraico. 1.3 Clasificación: 1) Monomio Expresión algebraica que consta de un término algebraico. Ejemplos: 1) 36x5, 2) 8ab3, 3) 73p4q2

2) Binomio: Expresión algebraica que consta de dos términos. Ejemplo: 2m3n4 + 7ab 3) Trinomio: Expresión algebraica que consta de tres términos algebraicos. Ejemplo: 3a6b2 + 8ab – 5a7 4) Polinomio : : Expresión algebraica que consta de más de tres términos algebraicos. Ejemplo: 3x – 2y + 3yx – 4z + 6

1.4 Términos Semejantes Son aquellos términos algebraicos, o monomios que tienen los mismos factores literales. Ejemplo: - Los términos 7m3n y 2m3n son semejantes. - Los términos 3p2 y 9p5 NO son semejantes.

2. Operaciones algebraicas 2.1 Adición y Sustracción Sólo pueden ser sumados o restados los coeficientes numéricos de los términos semejantes, es decir, se reducen sólo los coeficientes numéricos, el factor literal permanece igual. Ejemplo: mn5p + 4mn5p – 8mn5p = (1 + 4 – 8) mn5p = – 3mn5p

Ejercitemos lo aprendido: Reducir los términos semejantes: 1) 4x + 3x2 + 2x2 + 7x = 2) 3(x + 7) + 2(x + 3) =

2.2 Multiplicación: Monomio por monomio: El producto se hace término a término (coeficiente con coeficiente y factor literal con factor literal, sumando exponente de las variables iguales) Monomio por monomio: Se multiplican los coeficientes numéricos y los factores literales entre sí. Ejemplo: 6a ∙ 3ab = 18a2b Monomio por polinomio: Se multiplica el monomio por cada término del polinomio. Ejemplo: 5pq3 (2p3q + 4pq5 – 6pq) = 10p4q4 + 20p2q8 – 30p2q4

Polinomio por Polinomio: Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio. Coeficiente con coeficiente y factor literal con factor literal y sumando exponente de las variables iguales. Ejemplo: (2x + y)(3x + 2y) = 6x2 + 4xy + 3xy + 2y2 = 6x2 + 7xy + 2y2

Ejemplo: ¿Cómo se resuelve correctamente? (x + 7)(x + 3) =x² + 3x + 7x +21 1. =x² + 10x + 21 (Reduciendo términos semejantes)

(y - 4)∙(y + 2) = y2 + (-4 + 2)y - 4∙2 = y2 – 2y - 8 Ejemplo 2: Aplicando la fórmula... (y - 4)∙(y + 2) = y2 + (-4 + 2)y - 4∙2 Desarrollando... = y2 – 2y - 8

2.1 Productos Notables Cuadrado de Binomio: (a +b)2 = a2 + 2ab + b2 Son aquellos productos cuyos factores cumplen con ciertas características que permiten llegar al resultado, sin realizar todos los pasos de la multiplicación. Cuadrado de Binomio: (a +b)2 = a2 + 2ab + b2 (x - 2)2 = x2 – 2*2*x + 4 = x2 _ 4x +4

a b b a (5x – 3y)2 = (5x)2 - 2(5x∙3y) + (3y)2 = 25x2 - 30xy + 9y2 Ejemplo: (5x – 3y)2 = (5x)2 - 2(5x∙3y) + (3y)2 = 25x2 - 30xy + 9y2 La fórmula del Cuadrado de Binomio se puede obtener geométricamente: a b b a 2

Suma por su diferencia: (a + b)∙(a – b) = a2 – b2 Ejemplo: Aplicando la fórmula... (5x + 6y)∙(5x – 6y) = (5x)2 – (6y)2 = 25x2 – 36y2

Producto de binomio con factor común: (ax + b)∙(ax +c) = (ax)2 + (b + c)∙ax + b∙c Ejemplo 1: Aplicando la fórmula... (3x + 4)∙(3x + 2) = (3x)2 + (4 + 2)∙3x + 4∙2 Desarrollando... = 9x2 + 18x + 8 Esta propiedad sólo se cumple cuando los binomios tienen un término en común.

Cubo de binomio: (a + b)3 = a3 + 3*a2*b + 3*a*b2 + b3 (x - y)3 = x3 – 3*x2*y + 3*x*y2 - y3

(3x)3 – 3∙(3x)2∙2y + 3∙(3x)∙(2y)2 – (2y)3 Ejemplo: Aplicando la fórmula... (3x – 2y)3 = (3x)3 – 3∙(3x)2∙2y + 3∙(3x)∙(2y)2 – (2y)3 Desarrollando potencias... = 27x3 – 3∙(9x2)∙2y + 3∙(3x )∙(4y2)– 8y3 Multiplicando... = 27x3 – 54x2y + 36xy2– 8y3

2.4 Factorización Factor común: 2∙x∙y + 2∙2∙x∙y∙y – 2∙3∙x∙x∙y Consiste en escribir una expresión algebraica en forma de multiplicación. Factor común: Este es el primer caso, y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos). Ejemplo: Al descomponer... 2xy + 4xy2 – 6x2y = 2∙x∙y + 2∙2∙x∙y∙y – 2∙3∙x∙x∙y (El factor común es : 2xy) = 2xy(1 + 2y – 3x)

Algunos Ejercicios: Factor común monomio: 3m + 15mn -45mp= 4xy -12xyz + 20xy= 6abc -3ab + 2bc = 5mn -15mp +25 pmn=

Volvemos a factorizar, ahora por (z+w)... Factor común compuesto: Cuando en una expresión algebraica, no todos los términos tienen un factor común, se agrupan convenientemente obteniendo factores comunes en cada grupo. Ejemplo: xz + xw + yz + yw = Factorizar: Agrupando... = (xz + xw) + (yz + yw) Factorizando por partes... = x(z + w) + y(z + w) Volvemos a factorizar, ahora por (z+w)... = (z + w)(x + y)

Algunos Ejercicios:

Casos para Trinomios Explicación: Trinomio cuadrado perfecto: Este nombre es otorgado a los trinomios que cumplen con las siguientes características: El primer y tercer término se tiene raíz cuadrada exacta y son positivos. El segundo término es igual a dos veces el producto de las raíces cuadradas y puede ser positivo o negativo. y se factoriza como una suma o diferencia, dependiendo del segundo término, elevado al cuadrado, se factoriza así: Casos de factorización.

Ejemplos: x2 + 8x + 16 = (x + 4)2 9x2 + 42x + 49 = (3x + 7)2 Aquí tienes algunos ejemplos aclaratorios!!

Algunos ejercicios: x2 + x + ¼ = a2 + 8a + 16 = 4b2 – 4b + 1 = z2 + 12z + 36 = 25m2 + 90m + 81 = n2 + 14n + 49 = Casos para Trinomios.

Diferencia de cuadrados Explicación: Para esto debemos tener en cuenta que un binomio es una diferencia de cuadrados siempre y cuando los términos que la componen tengan diferentes signos y ambos términos tengan raíz cuadrada exacta. Ejemplo: Casos de factorización.

Algunos Ejercicios: 36m2n2 - 25 = 121x2 - 144k2 = 3x2 - 12 = 5 - 180f2 = Diferencia de cuadrados.

Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción Explicación: En este caso se intenta transformar una expresión (binomio o trinomio), en otra igual en la que se pueda aplicar trinomio cuadrado perfecto. Ejercicio: Casos de factorización.

Ejemplos: 4b2 + 4b + 1 = (2b + 1)2 1 + 6x + 9x2 = (1 + 3x)2 16m2 – 40mn + 25n2 = (4m – 5n)2 (4m )( 2) ( 5n) = 40 mn 4b2 + 4b + 1 = (2b + 1)2 (2b) (2) ( 1) = 4b 1 + 6x + 9x2 = (1 + 3x)2 (1) ( 2 ) (3x) = 6x

Algunos ejercicios: x2 + 6x + 9 = 16x2 + 8x + 1 = y2 + 10y + 25 = 81z2+ 108zw + 36w2 = 49x2 + 112x + 64 = 4y2 - 24y + 36 = Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción.

Trinomio cuadrado de la forma   Explicación: Este trinomio debe cumplir con las siguientes características: El primer término debe ser positivo y tener raíz cuadrada exacta, ya que va en cada binomio buscado. EL segundo término debe ser la suma o diferencia entre los números buscados El tercer término es la multiplicación de los números buscados. Ej:  

x2 + 6x + 8 = (x + 4) (x + 2) x2 – 11x – 26 = (x – 13) (x + 2) Ejemplos: x2 + 6x + 8 = (x + 4) (x + 2) 4 x 2 = 8 Multiplicados dan 8 4 + 2 = 6 Sumados dan 6 x2 – 11x – 26 = (x – 13) (x + 2) -13 x 2 = -26 Multiplicados dan -26 -13 + 2= -11 Sumados dan -11 x2 -17x + 30 = (x – 15) (x – 2) -15 x -2 = 30 Multiplicados dan 30 -15 + -2 = -17 Sumados dan -17

Algunos Ejercicios: x2 + 12x + 6 = a2 – 24a + 15 = f2 – 15f + 18= r2 – 12r + 27= m2 + 19m + 48= w2 + 20w – 6= Trinomio cuadrado de la forma:

Reconocer productos notables: Ejemplos: 1) 36a2 – 81y2 = (6a + 9y)(6a – 9y) Ambos términos son cuadrados perfectos, corresponde a una suma por diferencia. 2) x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) Corresponde a un producto de binomios con un término común..

4. Máximo común divisor (M.C.D.) Entre monomios: Corresponde a los factores comunes con su menor exponente. Ejemplo 1: El M.C.D. entre: 3x5y2, 18x2yz6 y 9y3 es: 3y Ejemplo 2: El M.C.D. entre: a4b2, a5bc y a6b3c2 es: a4b

Entre polinomios: x2 + x x2 + 2x +1 x(x +1) (x +1)2 (x +1) El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente. Ejemplo: Determinar el M.C.D. entre: x2 + x x2 + 2x +1 y Factorizando... x(x +1) (x +1)2 (x +1) M.C.D. :