DISTRIBUCIONES DE Probabilidad Por Jorge Sánchez

X E R 1-VARIABLE ALEATORIA Es una función que asocia cada elemento del espacio muestral con un número real. Ejemplo: Se lanzan dos dados y se asocia la suma de los puntos. X Tipos: E R Discretas 3 Continuas 7 11

2-DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA Función de probabilidad: asocia a cada valor de la variable aleatoria su probabilidad. Media: Varianza: Desviación típica: Ejemplo: ¿Cuál es la media y la desviación típica al sumar los puntos en el lanzamiento de dos dados?

Ejemplo: ¿Cuál es la media y la desviación típica al sumar los puntos en el lanzamiento de dos dados?

Media: Varianza: Desviación típica:

3-DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Número de éxitos al realizar un experimento n veces cuya probabilidad de éxito es p. Se expresa B(n,p). Función de probabilidad: P(éxito)=p P(fracaso)=1-p. Si se obtienen k éxitos pueden estar ordenados de formas y las probabilidades se multiplican por ser independientes los sucesos. Media: Varianza: Desviación típica:

Ejemplo: Al lanzar un dado 5 veces, ¿cuántas veces sale 6?

4-DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CONTINUA Función de probabilidad: no tiene sentido pues hay infinitos p(Xi)=0. Función de densidad: f(x) que cumple: f(x)0 El área bajo la curva f(x) es 1 p(x1Xx2) es el área bajo la curva y entre las rectas x=x1 y x=x2. p(Xx1) es el área bajo la curva y a la izquierda de x=x1. Ejemplo: Halla p(1x2)

5-DISTRIBUCIÓN NORMAL Se expresa N(,). Función de densidad: Distribución normal estándar: N(0,1). Se consulta la tabla.

5-DISTRIBUCIÓN NORMAL Se expresa N(,). Función de densidad: Distribución normal estándar: N(0,1). Se consulta la tabla. Tipificación de la variable: Ejemplo: En una distribución normal N(20,4) calcula p(X15)

5-DISTRIBUCIÓN NORMAL Se expresa N(,). Función de densidad: Distribución normal estándar: N(0,1). Se consulta la tabla. Tipificación de la variable: Ejemplo: En una distribución normal N(20,4) calcula p(X15)

5-DISTRIBUCIÓN NORMAL Se expresa N(,). Función de densidad: Distribución normal estándar: N(0,1). Se consulta la tabla. Tipificación de la variable: Ejemplo: En una distribución normal N(20,4) calcula p(X15)

6-PROBLEMA 1 (Quincux o tablero de Galton) Se va a la izquierdaX=0 Se va a la derechaX=1 Halla probabilidad de que caiga en el centro. Centro2 izda+2dcha (no importa orden).

7-PROBLEMA 2 (Notas de examen) En una cierta asignatura la media de las notas es 6,6 y la desviación típica 2,5. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar apruebe?

8-APROXIMACIÓN DE BINOMIAL A NORMAL Si tenemos una binomial se aproxima con normal

9-INTERVALOS CARACTERÍSTICOS Es un intervalo (-k,k) que encierra un área igual a p. k se llama valor crítico. P=1- se llama nivel de confianza. Ejemplo: Hallar el intervalo característico para el 90% en una N(50,5) Si XN(,) el intervalo característico es (-z/2·, +z/2·)

10-TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Dada una población de media  y desviación típica , si se extraen muestras de tamaño n, la distribución de las medias de todas las muestras, denominada distribución de las medias muestrales, verifica: La media es . La desviación típica es Si n>30 se aproxima a una distribución normal. El intervalo de confianza será

11-PROBLEMA 3 Las medidas de los diámetros de una muestra tomada al azar de 200 cojinetes de bolas, fabricados por una determinada máquina, dieron una media de 2 cm. y una desviación típica de 0’1 cm. Hallar el intervalo de confianza del 88%.

12-PROBLEMA 4 La duración de las turbinas de una presa sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica de 50 meses. Hallad el tamaño de la muestra para que, con un nivel de confianza del 95% se consiga un error en la estimación inferior a 10 meses. La duración de las turbinas sigue una distribución normal La duración media seguirá una distribución normal seguirá una distribución normal N(0,1) El intervalo de confianza será Solución: 97 turbinas

13-CONTRASTE DE HIPÓTESIS H0: hipótesis nula. Que admitimos como válida. H1: hipótesis alternativa. Será válida si rechazamos la anterior. Se acepta H0 si la discrepancia entre la hipótesis y la información muestral es menor de  (nivel de significación). (1- )·100 es el nivel de confianza. Región de aceptación Región de rechazo

14-PROBLEMA 5 Al lanzar 200 veces un dado sale el seis 43 veces. ¿Está el dado trucado? H0: El dado es correcto. H1: El dado está trucado. Un lanzamiento 200 lanzamientos El intervalo de confianza será Nivel de confianza ha de ser mayor del 93’35%