Metodos numéricos sin malla (SPH, MPS) Dr. Juan Antonio García Aragón Centro Interamericano de Recursos del Agua

Los métodos Eulerianos con malla estacionaria tienen problemas para modelar la interfase entre dos fases. En cambio los métodos lagrangianos sin malla son capaces de representar las deformaciones y fragmentaciones en la interfase. En estos el comportamiento de las fases proviene de las interacciones de las partículas y la posición de la interfase es casi irrelevante. El método (SPH) Smoothed –Particle Hydroynamics fue inicialmente desarrollado para aplicaciones en astrofísica. Trabaja dividiendo el fluido en un conjunto de elementos discretos, referidos como partículas y las cantidades representadas en integrales y derivadas espaciales. Las partículas poseen propiedades materiales e interactúan entre ellas dentro de un rango controlado por una función de peso o función suavizadora (smoothing).

La discretización de las ecuaciones gobernantes se basa en esas partículas discretas y varias formulaciones permiten calcular densidad local, velocidad y aceleración del fluido. La presión del fluido se calcula con la densidad usando una ecuación de estado, la aceleración es calculada a partir del gradiente de presión y de la densidad. El efecto de la viscosidad física en la aceleración puede ser incluído. Como método Lagrangiano conserva la masa. Si se desplegan las partículas adecuadamente al inicio de la simulación, las superficies libres, interfases y fronteras móviles se calculan adecuadamente. Se adapta computacionalmente mejor que métodos eulerianos a tres dimensiones.

Aproximación SPH de ecuaciones de Navier -Stokes La aproximación para el la derivada espacial de f(x) Usando una función suavizadora W se obtiene N es el numero de partículas en el área de influencia de una particula x, m es la masa

Aproximacion con particulas Cada particula Se asocia con propiedades del campo de flujo Cada particula i se asocia con un Volumen Δi Ese volumen puede Ser representado por mi/ρi ρ es densidad m masa Donde W es la función suavizadora y h la longitud de afectación

Las ecuaciones de Navier Stokes se pueden escribir masa velocidad energia Tensor de esfuerzos Donde α, β representan las coordenadas, las derivadas están sobre el sitema lagrangiano en movimiento Sustituyendo la aproximación SPH donde vij= vi-vj La aproximación Para la densidad F son las fuerzas externas Tasa de deformación por corte

Tipos de funciones de peso La primera usada es la de campana Según sea 1D,2D o 3D Donde R es la distancia relativa entre dos puntos x y x´

Monaghan y Lattanzio proponen Donde en 1D y en 2D y 3D

Morris propone donde En 1D,2D y 3D

Aplicación impacto cilindro Distribución inicial de partículas

El Método MPS El método MPS (moving particle semi-implicit method) esta basado en una expansión de las series de Taylor y en este la aproximación a las derivadas espaciales se basa solo en un proceso de promedio ponderado local sin incorporación del gradiente de un función Kernel. Este método se ha aplicado con éxito al modelado de ruptura de presas, rompimiento de olas y resaltos hidráulicos. Tambien par flujos multifásicos, donde el sistema es tratado como un fluido multi-viscoso, multi-densico y solo se requiere resolver un único conjunto de ecuaciones para todo el campo de flujo.

La densidad de partículas alrededor de una partícula Función de peso (kernel) Partículas localizadas en un radio re de otra particula interactua con esa partícula, re es el radio del área de interacción

Igualmente la divergencia de un vector u es El peso ponderado gradiente del vector de una cantidad p eij es el vector unitario entre i y j, n0 es el valor promedio de la densidad inicial de partículas y d es el numero de dimensiones Igualmente la divergencia de un vector u es Y el Laplaciano El parámetro de corrección

Puesto que la densidad esta relacionada con la presión la aproximación para la presión es El termino es igual a 1 si las partículas son de la misma fase Con esa aproximación se puede expresar la ecuación de conservación de la masa

La viscosidad Diagrama esquemático de interacción entre diferentes fases Media harmónica de viscosidades El termino viscoso en la ecuaci´´on de conservación de masa

Relación esfuerzo deformación El tensor de esfuerzos consta de uno normal y otro de corto E es tasa de deformación Para fluido newtoniano Para no -newtoniano

Aplicación caso de ruptura de presa PEO Solución de Oxido de polietileno Se usaron 71 000 partículas de diámetro 0.001 m

Comparación de resultados numéricos y experimentales

Ruptura de presa con fondo movil Variacion de d arena 1.2 mm<d<2.4 mm Se usaron en la simulación partículas de 0.01 m 20500, se Utilizó un modelo reologico de Bingham y uno GVF de Chen

Comparación de resultados y experimentos para h=0

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Diferentes modelos constitutivos

Ec.B