República Bolivariana de Venezuela Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño" Estadísticas I - OV Estadística Profesor : Bachiller: Pedro Beltrán Kevin Pérez CI:

Medidas de dispersión Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.

Características Las medidas de dispersión nos sirven para cuantificar la separación de los valores de una distribución. Llamaremos DISPERSIÓN O VARIABILIDAD, a la mayor o menor separación de los valores de la muestra, respecto de las medidas de centralización que hayamos calculado. Al calcular una medida de centralización como es la media aritmética, resulta necesario acompañarla de otra medida que indique el grado de dispersión, del resto de valores de la distribución, respecto de esta media.

Utilidad Se utiliza como indicador de la variabilidad de los datos, muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la media.

Rango o recorrido El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución estadística. Requisitos del rango Ordenamos los números según su tamaño. Restamos el valor mínimo del valor máximo Rango = {(Max - Min)}

Ejemplo Para la muestra (8, 7, 6, 9, 4, 5), el dato menor es 4 y el dato mayor es 9. Sus valores se encuentran en un rango de: Rango = (9-4) = 5

Desviaciones típicas La desviación típica o standard, es la raíz cuadrada, con signo positivo, de la varianza. Se representa por S, y tiene la siguiente expresión: Si operamos, podemos obtener la siguiente expresión, que es mucho más sencilla de operar, y obtenemos menos error de redondeo:

Características La desviación típica es siempre un valor no negativo S será siempre  0 por definición. Cuando S = 0  X = xi (para todo i). Es la medida de dispersión óptima por ser la más pequeña. Si a todos los valores de la variable se le suma una misma constante la desviación típica no varía. Si a todos los valores de la variable se multiplican por una misma constante, la desviación típica queda multiplicada por el valor absoluto de dicha constante.

Utilidad de la desviación típica Determinar el promedio aritmético de fluctuación de los datos respecto a su punto central o media. La desviación estándar nos da como resultado un valor numérico que representa el promedio de diferencia que hay entre los datos y la media. Para calcular la desviación estándar basta con hallar la raíz cuadrada de la varianza, por lo tanto su ecuación sería:

Ejemplo: El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto varían los pesos de los empaques (en gramos), de uno de sus productos; por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos. Los productos tienen los siguientes pesos (490, 500, 510, 515 y 520) gramos respectivamente. Por lo que su media es:

Varianza Mide la distancia existente entre los valores de la serie y la media. Se calcula como sumatorio de las diferencias al cuadrado entre cada valor y la media, multiplicadas por el número de veces que se ha repetido cada valor. El sumatorio obtenido se divide por el tamaño de la muestra. La varianza siempre será mayor que cero. Mientras más se aproxima a cero, más concentrados están los valores de la serie alrededor de la media. Por el contrario, mientras mayor sea la varianza, más dispersos están.

Características de la varianza Es siempre un valor no negativo, que puede ser igual o distinta de 0. Será 0 solamente cuando La varianza es la medida de dispersión cuadrática optima por ser la menor de todas. Si a todos los valores de la variable se le suma una constante la varianza no se modifica. Veámoslo: Si a xi le sumamos una constante xi’ = xi + k tendremos (sabiendo que ) Si todos los valores de la variable se multiplican por una constante la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicha constante.

Utilidad de la varianza Nos permite saber y determinar qué es normal, qué es grande, qué es pequeño, aquello que es extra grande o bien aquello que es extra pequeño.

Ejercicio Calcular la varianza de la distribución: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18. X = ( )/ 8 = = (9-9) + (3-9) + (8-9) + (8-9) + (9-9) + (18-9)/ 8 =15

Coeficiente de variación Las medidas absolutas de dispersión, al no tomar en cuenta el orden de magnitud de los datos, no proporcionan una información completa sobre su variabilidad, pues no es lo mismo por ejemplo, una desviación típica de 100 en unos datos que sean del orden de cientos, que esa misma desviación típica de 100 en unos datos que sean del orden de millones, Resulta obvio que en el primer caso no existe una variabilidad mucho mayor que en el segundo, a pesar de que el valor absoluto de dispersión es el de las unidades, pues esto no impide hacer comparaciones entre conjuntos de datos que tengan diferente naturaleza. Para solucionar los inconvenientes que presentan las medidas absolutas de dispersión, se utiliza al coeficiente de variacion o dispersión relativa, definido por:

Características Es un porcentaje de razón entre la desviación típica y la media, de manera que representa cuantas veces es la desviación típica con relación a la media. Así por ejemplo, un C.V= 50% significa que la desviación típica es la mitad de la media, lo que revela una alta variabilidad El C.V es un numero abstracto, es decir sin unidades, pues tanto S como X vienen en las mismas unidades de los datos, y al hacer la división se simplifican. El C.V no se altera cuando los datos son multiplicados por una constante, pues en virtud de las propiedades de X y de S ambos quedan multiplicados por esa constante, sin alterar el cociente.

Utilidad Su utilidad radica en que podemos determinar que tanta variabilidad existe entre dos muestra en las que inclusive la información no tienen las mismas unidades o se trata de datos diferentes. En el siguiente ejemplo se muestra la utilidad del coeficiente de variación

Ejemplo: Dos profesores que imparten diferentes materias a un mismo grupo deciden investigar como es el coeficiente de variación de en una y otra materia, para lo cual se obtiene la media y la desviación estándar respectivamente, por lo que: Resultados de la materia A: X =6.3 ; S A = 1.2 C.V = 1.2 / 6.3 = 0,190 Resultado de la materia B: X = 8 ; S A = 3 C.V = 3 / 8 = 0,375