Área y Volumen de Cuerpos Geométricos

Objetivos: Conocer los diferentes cuerpos geométricos. Calcular área y volumen de cuerpos geométricos.

Esquema de los Cuerpos geométricos Cuerpo Geométrico Geométrico  Poliedro  Cuerpo Redondo  Regulares  Irregulares  Cilindro  Cono TTronco  Esfera Cubo o Hexaedro Dodecaedro Icosaedro Tetraedro Octaedro Prisma Recto Prisma Inclinado Pirámide

Cuerpos Geométricos Los cuerpos geométricos pueden ser de dos clases: o formados por caras planas (poliedros), o teniendo alguna o todas sus caras curvas (cuerpos redondos). Un cuerpo geométrico o sólido es todo lo que ocupa lugar en el espacio. Ejemplos:

Cada cuerpo geométrico o sólido tiene volumen y área. Volumen : lugar que ocupa en el espacio. (Capacidad) Área Total : superficie de cada figura que forma el cuerpo geométrico.

Poliedros Cuerpo tridimensional delimitado por caras poligonales planas. vértice arista cara Al punto en el que coinciden tres o más caras se le llama vértice, y a la línea en la que coinciden dos caras se le llama arista.

Los poliedros se clasifican en: - Prismas (2 caras basales) y “n” paralelogramos laterales (bases iguales) o trapecios laterales (bases distintas ), de acuerdo al número de lados de la base. - Pirámides (1 cara basal) y “n” triángulos laterales, que por lo general son isósceles. Poseen un vértice común llamado cúspide. Prisma recto: Poliedro que posee 2 caras basales iguales y cuatro laterales.

Cubo o Hexaedro Poliedro formado por 6 caras cuadradas congruentes. Cubo o Hexaedro Nº de caras Nº de vértices Nº de aristas Área = 6a 2 Volumen = a 3 arista (a)

Ejemplo: A = 6∙(3) 2 V = Determinar el área y volumen de un cubo cuya arista mide 3 cm. A = 54 cm 2 V = 27 cm 3 A = 6a 2 V = a 3

Paralelepípedo Poliedro formado por 6 caras que son paralelógramos. Largo (l) alto (h) ancho (a) Volumen = l · a · h Área = 2( a·l + a·h + l·h ) Estas caras son paralelas e iguales dos a dos.

Ejemplo: Determinar la capacidad de una piscina cuyo largo, ancho y alto miden 3, 2 y 2,5 metros respectivamente. Solución: Volumen = l · a · h Volumen = 3 · 2 · 2,5 Volumen = 15 m 3

Pirámide Poliedro que posee un área basal (polígono regular) y un vértice común llamado cúspide.

Ejemplo: Determinar área y volumen de la pirámide de apotema basal de 3cm, y altura de 12cm.

Cuerpos redondos Se generan por la rotación de 360º indefinida de una figura plana alrededor de su eje. Son aquellos cuerpos o sólidos geométricos formados por regiones curvas, o regiones planas y curvas. ConoEsferaCilindro

Corresponde al cuerpo generado por la rotación indefinida de un rectángulo alrededor de uno de sus lados. h r Las bases del cilindro son 2 circunferencias iguales y la distancia entre las bases se llama altura.

Volumen = r 2 · h Área = 2r · h + 2r 2 h r

Cono Corresponde al cuerpo generado por la rotación indefinida de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. La base del cono es una circunferencia; el vértice superior del triángulo es el vértice del cono; la distancia entre la base y el vértice es la altura; y la hipotenusa del triángulo es la generatriz. vértice del cono Generatriz (g) h Altura (h)

Volumen = r 2 · h 3 Área =  · r · g + r 2 h r

Área lateral: Área Total: Volumen: Tronco de Cono: Se forma por la rotación indefinida de un trapecio rectángulo en torno al lado que es perpendicular a las bases.

Esfera Corresponde al cuerpo generado por la rotación indefinida de un semicírculo alrededor de su diámetro. Volumen = 4 r 3 3 Área = 4r 2 (r : radio)

EJEMPLO PSU-1 : En un motor la relación entre el volumen V del cilindro, el diámetro D del pistón y la longitud L del desplazamiento de ese pistón es : Si el diámetro es 10 cm y la longitud del desplazamiento también es 10 cm, ¿cuál es el volumen del cilindro? A) cm 3 B) 790 cm 3 C) 79 cm 3 D) 7,9 cm 3 E) 0,79 cm 3

EJEMPLO PSU-2: Un cuadrado de lado 2 metros, se traslada 2 metros, apoyado sobre uno de sus lados en un plano perpendicular a él, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el volumen del cuerpo generado? A) 4 m 3 B) 6 m 3 C) 8 m 3 D) 16 m 3 E) 24 m 3

EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál es el volumen del cilindro que se genera al rotar indefinidamente el rectángulo ABCD de la figura, en torno al lado BC? A) 30  cm 3 B) 45  cm 3 C) 75  cm 3 D) 180  cm 3 E) 300  cm 3