MATEMÁTICAS II Tema 3 Determinantes

Determinantes. Determinantes de orden dos y de orden tres. Propiedades de los determinantes. Cálculo del valor de un determinante de cualquier orden por el desarrollo de los elementos de una línea, por el método de Gauss y por el método pivotal. Cálculo de la matriz inversa. Rango de una matriz. 4. DETERMINANTES

DETERMINANTE Determinante de una matriz cuadrada de orden n es el conjunto de nxn números ordenados de igual manera que en la matriz. En cuanto a su notación, sirve cambiar los paréntesis de la matriz por dos rayas verticales que comprendan dicho conjunto de números, ordenados en n filas y en n columnas. E jemplo: |A| = Un determinante de orden 4 (4x4) será |A| = [Cuatro filas x cuatro columnas]

Sea el determinante de orden 2 Habrá únicamente 2 productos posibles: a 11.a 22 y a 12.a 21 El primer producto es positivo y el segundo negativo. El valor del determinante será: |A| = a 11.a 22 - a 12.a 21 Ejemplo |A| = 3 5 |A| = 2.5 – (- 4).3 = 10 – (- 12) = = 22 Determinante de orden 2

Sea el determinante de orden |A| Por la Regla de Sarrus |A| = a 11.a 22.a 33 + a 12.a 23.a 31 + a 21.a 32.a a 13.a 22.a 31 - a 12.a 21.a 33 - a 11.a 23.a 32 |A| = – – – = = – 105 – 72 – 48 = 225 – 225 = 0 Determinante de orden 3

A = a 11 a 12 a 21 a 13 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Guía gráfica de Sarrus A = a 11 a 12 a 21 a 13 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 PRODUCTOS POSITIVOS PRODUCTOS NEGATIVOS

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

PROPIEDADES PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES I.-Si en un determinante intercambiamos filas por columnas, su valor no varia. Sea el| 4 1 3|| 4 2 1| | 2 2 5| =| 1 2 3| | 1 3 2|| 3 5 2| II.-Si todos los elementos de una fila o columna son ceros, su valor es nulo. Sea el| 4 0 3| | 2 0 5| =0 | 1 0 2| III.-Si en un determinante se permutan dos filas o dos columnas, su valor cambia de signo. Sea el| 4 1 3|| 4 3 1| | 2 2 5| = –| 2 5 2| | || 1 2 3|

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES IV.-Si un determinante tiene dos filas o dos columnas iguales o proporcionales, su valor es cero. Sea el| 4 4 3|| 4 1 3| | 2 2 5| =0| 8 2 6| = 0 | 1 1 2|| 1 3 2| V.-Si todos los elementos de una fila o de una columna se multiplican por un número, el valor del determinante queda multiplicado por dicho número. Sea el| 4 1 3| | | | 2 2 5| = – 21 ; x 3  | | = – 63 | 1 3 2| | |

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES VI.-Si todos los elementos de una fila o columna son suma de dos (o más) términos, el determinante es igual a la suma de dos (o más) determinantes. Sea el| 7 1 3|| 4 1 3|| | | | =| 8 2 5| +| | | || 6 3 2|| | VII.-Si todos los elementos de una fila o columna se suman a los correspondientes de otra multiplicados por un número, el valor del determinante no varía. Sea el| || | | | | | =| | = | | | || | | |

ADJUNTOS DE UN DETERMINANTE Sea el desarrollo de un determinante de orden 3: |A| = a 11.a 22.a 33 + a 12.a 23.a 31 + a 21.a 32.a a 13.a 22.a 31 - a 12.a 21.a 33 - a 11.a 23.a 32 Tomando los sumandos de dos en dos y sacando factores comunes, tenemos: |A| = a 11.(a 22.a 33 – a 23.a 32 ) – a 12.(a 23.a 31 – a 21.a 33 ) + a 13.(a 21.a 32 – a 22.a 31 ) Las expresiones entre paréntesis son los adjuntos de los elementos tomados como factores comunes, en este caso de los elementos de la primera fila. De forma semejante podíamos haber tomado como factores comunes los términos de la segunda o tercera fila o columna. Pues bien, las expresiones entre paréntesis son los desarrollos de determinantes de orden dos, de orden inferior al determinante dado, pudiendo poner: a 22 a 23 a 21 a 23 a 21 a 22 |A| = a 11. – a a 13. a 32 a 33 a 31 a 33 a 31 a 32

A = a 11 a 12 a 21 a 13 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Guía gráfica de adjuntos A = + – Adjunto de un elemento Signo de los adjuntos En azul el adjunto de a 21 Será + si la suma de índices es par – –– – – – –

DESARROLLO POR ADJUNTOS Sea el determinante de orden 3: 1 – 2 0 |A| = – Desarrollamos por Sarrus: |A| = a 11.a 22.a 33 + a 12.a 23.a 31 + a 21.a 32.a 13 -a 13.a 22.a 31 - a 12.a 21.a 33 - a 11.a 23.a 32 |A| = (-2).2.(-2) – 0.1.(-2) – (-2).3.4 – = = – 0 – (– 24) – 0 = 36 Desarrollamos por adjuntos de la primera fila: |A| = a 11.A 11 + a 12.A 12 + a 13.A |A| = 1. – (– 2) – 2 4 – 2 0 |A| = (12 + 4) + 0.(0 + 2) = = 36

Sea el determinante de orden 4: No se puede desarrollar por Sarrus. Desarrollamos por adjuntos de la primera fila: |A|=1.(12+2) + 2.( ) – 1.(4 – 4 – 12) = = 126

MATRIZ INVERSA POR DETERMINANTES

MÉTODO DE GAUSS-JORDAN Se coloca la matriz A y a su lado la matriz I separadas por una raya vertical de puntos. A continuación se procede a efectuar sobre las filas de A una serie de operaciones elementales, las mismas y al mismo tiempo que sobre las filas de la matriz I. Cuando, actuando así, hemos logrado transformar la matriz A en la I, la matriz de la derecha, que es la I transformada, será la inversa de A. Es decir: (A | I)  las mismas operaciones en ambas  ( I | A – 1 ) Recordando cálculo matriz inversa

MATRIZ INVERSA Cálculo de la matriz inversa usando determinantes Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aij). Si tenemos una matriz tal que det (A) <> 0, se verifica: Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0 (esto sería el desarrollo de un determinante que tiene dos filas iguales por los adjuntos de una de ellas).

Ejemplo 1 Realizado por Gauss-Jordan: Dada la matriz de orden 2: A =, la inversa es A = 5 6 5/2 -3/2 Veamos por determinantes: |A|= 3.6 – 4.5 = 18 – 20 = – 2 <> 0 La matriz tiene, pues |A|≠0 La matriz de los adjuntos será: 6 -5 t 6 -4 [Adj(A)] =, la traspuesta será [Adj(A)] = Luego la matriz inversa es: 6/(-2) -4/(-2) -3 2 = = -5/(-2) 3/(-2) 5/2 -3/2

Ejemplo 2 Realizado por Gauss-Jordan: Dada la matriz de orden 3: /33 -6/11-1/11 A = , su inversa es A = 7/44 9/22 3/ /12 1/2 1/4 Veamos por determinantes: |A|= 18 – = 46 ≠ 0 La matriz es regular, pues |A|≠0 La matriz de los adjuntos será: t [Adj(A)] = , la traspuesta será [Adj(A)] = Luego la matriz inversa es: 6/46 -24/46 -4/46 = -7/46 18/46 3/46 -5/46 5/46 5/46

RANGO DE UNA MATRIZ

Es el orden del determinante de mayor menor no nulo de dicha matriz. El mayor determinante que podemos formar en de orden 3 (3x3). Como mucho su Rango vale 3 ; Rang0 (A) = 3 Como |A| = 0, su rango no puede ser 3. Tomamos un determinante cualquiera de orden |A| =  |A|= 5 – 8 = – 3 ≠ 0, luego Rango A = Sea la matriz 123 A =

Es el orden del determinante de mayor orden de valor no nulo de dicha matriz. Ejemplo 1 Sea la matriz A = El rango de A no puede ser 4, puesto que no es una matriz cuadrada y el mayor determinante es de orden 3 Veamos si es de rango 3: Todos los determinantes que tomemos tendrán 2 columnas iguales, por lo que su valor es 0. El rango de A no puede ser 3  Rang (A) ≤ 2 Veamos si el rango es 2: = 1 – 0 = 1 ≠ 0  Rango (A) = 2 RANGO DE UNA MATRIZ

Es el orden del determinante de mayor orden de valor no nulo de dicha matriz. Ejemplo 2 Sea la matriz A = Vemos que hay al menos un elemento ( a 11 = 1) que es distinto de 0, luego el RANGO de A es, al menos, igual a 1  Rang (A) ≥ 1 Vemos que hay, al menos, un determinante de orden dos no nulo: = = 1 ≠ 0 Luego el Rango de A es, al menos, igual a 2  Rang (A) ≥ 2

… Ejemplo 2 Veamos si existe algún determinante de orden 3 no nulo: = 3-2-1=0; = – 1 ≠ Luego el Rango de A es, al menos, igual a 3  Rang (A) ≥ 3. Y por último sólo nos queda ver si el Rango de A es 4: Desarrollamos por adjuntos de la primera fila: = A = = 1.(3+3-1) – (-1) – 3 (1) = 5 – 2 – 3 = 0 Luego podemos afirmar que el Rango de la matriz A no vale 4, al ser de valor nulo el único determinante de orden 4 que existe  Rang (A) = 3. Conclusión: Una fila o columna es combinación lineal de otra/s.

RANGO DE UNA MATRIZ Es el orden del determinante de mayor orden de valor no nulo de dicha matriz. Ejemplo 3 Sea la matriz A = Vemos que hay al menos un elemento ( a 11 = 1) que es distinto de 0, luego el RANGO de A es, al menos, igual a 1  Rang (A) ≥ 1 Vemos que hay, al menos, un determinante de orden dos no nulo: = = 1 ≠ 0 Luego el Rango de A es, al menos, igual a 2  Rang (A) ≥ 2 RANGO DE UNA MATRIZ

… Ejemplo 3 Veamos si existe algún determinante de orden 3 no nulo: = – 2 – 1 -0 = - 2 ≠ Luego el Rango de A es, al menos, igual a 3  Rang (A) ≥ 3. Y por último sólo nos queda ver si el Rango de A es 4: Desarrollamos por adjuntos de la primera fila: = = 1.( ) – 0. ( ) + 2. ( ) – 3 ( ) = = 1.0 – 0.(-1) + 2. (-1) – 3.0 = 0 – 0 – 2 – 0 = -2 ≠ 0 Luego podemos afirmar que el Rango de la matriz A vale 4, al ser de valor no nulo el único determinante de orden 4 que existe  Rang (A) = 4. Nota: Podíamos haber comenzado por estudiar si el Rango era 4, luego si era 3, luego si era 2 y por último si era 1. El orden es lo de menos.