MATRICES Y DETERMINANTES.

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1 MATRICES Y DETERMINANTES

2 MATRICES Una matriz numérica es un conjunto de números ordenados en filas (horizontales) y columnas (verticales), siguiendo una formación rectangular: Para nombrar las matrices se suelen usar letras mayúsculas: A Y sus elementos, con letras minúsculas seguidas de dos subíndices, el primero indica la fila en que está y el segundo la columna: el elemento aij está situado en la fila i y en la columna j. Se llama dimensión de la matriz el número de filas y columnas que tiene. Así, la matriz de la figura se dice que es de dimensión m x n porque tiene m filas y n columnas. En el caso en que m = n, la matriz es cuadrada de orden n Los elementos de la matriz se escriben entre paréntesis ( ) o corchetes [ ]. Hablamos de línea cuando nos referimos, indistintamente, a una fila o a una columna.

3 MATRICES EJEMPLOS Matriz rectangular 2X3: Matriz rectangular 3X2:
DIAGONAL PRINCIPAL Matriz cuadrada 2X2: Matriz cuadrada 3X3: DIAGONAL SECUNDARIA Matriz columna 2X1: Matriz fila 1X3: Matriz triangular inferior: Matriz triangular superior: Matriz nula: Matriz diagonal: Matriz unidad:

4 MATRICES OPERACIONES COMPARACIÓN: Para comparar matrices, tienen que ser de la misma dimensión. Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan igual posición en cada matriz son iguales: A = B  (aij = bij) i=1, …,m,  j=1, …, n SUMA (RESTA): Para sumar (restar) matrices, tienen que ser de la misma dimensión. A  B = C; (cij) = (aij  bij) i=1, …,m, j=1, …, n Ejemplo: 1 3 4 (-1) 7 + + + 2 -1 1 (-1) (-6) + + + PRODUCTO POR UN ESCALAR. Para multiplicar un escalar por una matriz, se multiplica el escalar por cada elemento de la matriz: ·A = (·aij) i=1, …,m, j=1, …, n . Ejemplo:

5 MATRICES EL ESPACIO VECTORIAL DE LAS MATRICES DEL MISMO ORDEN
Se dice que un determinado conjunto tiene estructura de espacio vectorial si hay definidas dos operaciones, una interna (suma) y otra externa (producto por un escalar) que cumplen las siguientes propiedades: A los elementos de un espacio vectorial se les denomina vectores.

6 MATRICES MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
Para que dos matrices sean multiplicables, el número de columnas de la primera ha de ser igual al número de filas de la segunda: Amp  Bpn = Cmn Ejemplo: 1+ - 1+ 0+ x = = 3+ 0+ 2 - 5 1 1

7 A·B  B·A (De hecho, puede ocurrir que A·B sea posible y NO B·A)
MATRICES MULTIPLICACIÓN DE MATRICES PROPIEDADES: La condición de multiplicabilidad nos indica que NO es CONMUTATIVA, en general: A·B  B·A (De hecho, puede ocurrir que A·B sea posible y NO B·A) Matrices CUADRADAS: Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz inversa de A, y se escribe A-1, una matriz, también de orden n, tal que: A·A-1 = A-1·A = In (matriz unidad de orden n) Si una matriz cuadrada A, tiene matriz inversa, se dice que es invertible o REGULAR. En caso contrario, se dice que A es una matriz SINGULAR. EJEMPLO

8 MATRICES TRASPOSICIÓN DE MATRICES
At es la matriz TRASPUESTA de A si sus columnas son las filas de A y viceversa. Una matriz A se llama SIMÉTRICA si: A = At Una matriz A es ANTISIMÉTRICA si: A = -At

9 MATRICES RANGO DE UNA MATRIZ
COMBINACIÓN LINEAL de filas (columnas): fila (columna) que se obtiene de sumar otras previamente multiplicadas por sendos números. es una combinación lineal de las filas de ya que DEPENDENCIA LINEAL de filas (columnas): Un conjunto de filas (columnas) se dice linealmente dependientes, si una de ellas se puede expresar como combinación lineal de las demás. INDEPENDENCIA LINEAL de filas (columnas): Un conjunto de filas (columnas) se dice linealmente independientes, si NO es posible expresar una de ellas como combinación lineal de las demás. RANGO de una matriz es el mayor número de sus filas (columnas) linealmente independientes. EJEMPLOS rango de O = r(O) = 0 F2 = 2·F1  r(A) = 1 F1 y F2 no proporcionales r(B) = 2

10 MATRICES RANGO DE UNA MATRIZ: MATRICES EQUIVALENTES
Se dice que dos matrices A y B son equivalentes si tienen la misma dimensión y una se obtiene de la otra mediante transformaciones elementales (no cambian el rango de una matriz). Son transformaciones elementales: Intercambiar entre sí dos líneas. Multiplicar una línea por un escalar no nulo. Sumar a una línea una combinación lineal de las otras. Suprimir una línea cuyos elementos son todos nulos. Suprimir una línea que es proporcional a otra. Suprimir una línea que es combinación lineal de otras. Un procedimiento para averiguar el rango de una matriz consiste obtener otra equivalente en la que sea más fácil observar el rango. Uno de los métodos más utilizados es el método de triangularización de Gauss: Triangularizada la matriz, el rango es el número de filas (columnas) no nulas

11 MATRICES      CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ: MÉTODO DE GAUSS
(F2 – 3F1) (F3 – 2F1) Suprimir F2   F2  F3 (F3 – 7F2) Finalizado el proceso de triangularización, el rango es el número de filas no nulas. rango = 3.

12 MATRICES CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ: MÉTODO DE GAUSS-JORDAN Calcularemos la inversa de la matriz Adosamos a la derecha la matriz unidad. Luego aplicamos transformaciones elementales con el objetivo de hacer que la matriz unidad aparezca en la mitad izquierda.    (F2 – 3F1) (F3 – 5F1) (F3 –2F2)    La matriz inversa es A-1 =

13 MATRICES ALGUNAS APLICACIONES DE LAS MATRICES
GRAFOS: EXPRESIÓN MEDIANTE MATRICES La traducción del grafo a forma matricial permite operar y estudiar distintas opciones MOVIMIENTOS EN EL PLANO Traslación de vector (a, b): Giro de centro O y ángulo : Homotecia de centro O y razón k:

14 DETERMINANTES EJEMPLO: Calcularemos el determinante de la matriz
El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene de sumar todos los posibles productos formados al tomar un factor de cada fila y cada columna, sin repetir fila ni columna, y afectados de un signo positivo si el número de inversiones en el orden de las filas respecto del de las columnas es par y negativo si es impar. EJEMPLO: Calcularemos el determinante de la matriz 1·0·(-1)  0 (-1)·2·5  -10 0·3·1  0 FILAS: 123 COLS: 123 INVERSIONES: 0 FILAS: 123 COLS: 231 INVERSIONES: 2 FILAS: 123 COLS: 312 INVERSIONES: 2 1·2·1  -2 (-1)·3·(-1)  -3 0·0·5  0 FILAS: 123 COLS: 132 INVERSIONES: 1 FILAS: 123 COLS: 213 INVERSIONES: 1 FILAS: 123 COLS: 321 INVERSIONES: 3 Por tanto det(A) = 0 + (-10) (-2) + (-3) + 0 = -15  ¡Ojo! Los determinantes se escriben con barras

15 DETERMINANTES CÁLCULO DE DETERMINANTES DETERMINANTES DE ORDEN 2
Ejemplos:

16 DETERMINANTES CÁLCULO DE DETERMINANTES
DETERMINANTES DE ORDEN 3: Regla de Sarrus (I)  (a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a21·a32·a13)  (a13·a22·a31 + a11·a23·a32 + a21·a12·a33) = (a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a21·a32·a13) – (a13·a22·a31 + a11·a23·a32 + a21·a12·a33) Ejemplo: [1·3·(-1) + (-1)·2·5 + (-3)·0·0] – [0·3·5 + 1·2·0 + (-3)·(-1)·(-1)] = = [ ] – [ ] = = -10

17 _ + DETERMINANTES CÁLCULO DE DETERMINANTES
DETERMINANTES DE ORDEN 3: Regla de Sarrus (II) a13·a22·a31 _ a11·a23·a32 (a13·a22·a31 + a11·a23·a32 + a21·a12·a33) a21·a12·a33 a11·a22·a33 a21·a32·a13 (a11·a22·a33 + a21·a32·a13 + a12·a23·a31) + a12·a23·a31 Ejemplo: 4 -3 -7 -6 -8 -2

18 DETERMINANTES CÁLCULO DE UN DETERMINANTE POR LOS ADJUNTOS DE UNA LÍNEA
Se llama adjunto Aij = Adj(aij) del elemento aij al determinante que se obtiene de eliminar en |A|, la fila i y la columna j, multiplicado por (-1)i+j Ejemplo: Dada una matriz cuadrada de orden n, se puede obtener su determinante a partir de los adjuntos de su fila i-ésima, de la siguiente forma: detA = ai1·Ai1+ai2·Ai2+ ai3·Ai3 + ··· ··· + ain·Ain Dada una matriz cuadrada de orden n, se puede obtener su determinante a partir de los adjuntos de su columna j-ésima, de la siguiente forma: detA = a1j·A1j+a2j·A2j+ a3j·A3j + ··· ··· + anj·Anj

19 DETERMINANTES CÁLCULO DE UN DETERMINANTE POR LOS ADJUNTOS DE UNA LÍNEA
Ejemplo: Cálculo del determinante REGLA PRÁCTICA PARA LOS SIGNOS DE LOS ADJUNTOS Desarrollaremos por los adjuntos de la fila 2. Desarrollaremos por los adjuntos de la columna 1.

20 DETERMINANTES CÁLCULO DE UN DETERMINANTE POR LOS ADJUNTOS DE UNA LÍNEA
OBSERVACIONES: El desarrollo de un determinante por los adjuntos de una línea cobra más sentido cuando la regla de Sarrus no es aplicable, es decir, cuando el orden es mayor que tres. Al desarrollar un determinante de orden n por los adjuntos de una línea, éstos adjuntos son de orden n-1. El cálculo de un determinante de orden n podría conllevar el desarrollo de n determinantes de orden n-1 Por cada cero que haya en la línea, nos ahorramos tener que calcular su adjunto, puesto que el producto por cero será cero. Así pues, conviene revisar las propiedades de los determinantes antes de comenzar con su desarrollo

21 det(F1, F2, …, k·Fi, …, Fn) = k·det(F1, F2, …, Fi, …, Fn)
DETERMINANTES PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1. Si todos los elementos de una línea de una matriz cuadrada de orden n se descomponen en suma de dos sumandos, su determinante es igual a la suma de los determinantes que tienen esa línea el primero y segundo sumandos, respectivamente, y en las demás los mismos elementos que el determinante inicial: det(F1, F2, …, Fi + F’i, …, Fn) = det(F1, F2, …, Fi, …, Fn) + det(F1, F2, …, F’i, …, Fn) Ejemplo: 2. Si se multiplican todos los elementos una línea de una matriz cuadrada de orden n por un número k, su determinante queda multiplicado por dicho número: det(F1, F2, …, k·Fi, …, Fn) = k·det(F1, F2, …, Fi, …, Fn) Ejemplo: 3. Si A y B son matrices cuadradas, entonces det(A·B) = det(A) · det(B) Ejemplo:

22 det(F1, F2, …, Fi , …, Fk, …, Fn) = det(F1, F2, …,Fk, …, Fi, …, Fn)
DETERMINANTES PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 4. Si cambiamos entre sí dos líneas de una matriz cuadrada de orden n, su determinante cambia de signo: det(F1, F2, …, Fi , …, Fk, …, Fn) = det(F1, F2, …,Fk, …, Fi, …, Fn) Ejemplo: 5. Si una matriz cuadrada de orden n tiene una línea con todos sus elementos ceros, su determinante es cero: det(F1, F2, …, 0 , …, Fn) = 0 Ejemplo: 6. Si una matriz cuadrada de orden n tiene dos líneas iguales, su determinante es cero: det(F1, F2, …,Fi , …,Fi, …, Fn) = 0 Ejemplo: 7. Si una matriz cuadrada de orden n tiene dos líneas proporcionales, su determinante es cero: det(F1, F2, …,Fi , …,k·Fi, …, Fn) = 0 Ejemplo: 8. Si una matriz cuadrada de orden n tiene una línea que es combinación lineal de las restantes, su determinante es cero.

23 DETERMINANTES PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
Las propiedades 5, 6, 7 y 8 nos permiten afirmar que: El determinante de una matriz cuadrada es nulo si, y sólo si, sus filas (columnas) son linealmente dependientes. Las propiedades de los determinantes nos permitiran realizar cambios en sus líneas de manera que alguna de ellas tenga todos sus elementos nulos salvo, a lo máximo, uno. De esta forma, el cálculo de un determinante se podrá ir reduciendo sucesivamente al de otro de un orden inferior si utilizamos el desarrollo por los adjuntos.

24 DETERMINANTES CÁLCULO DE UN DETERMINANTE POR UN ELEMENTO Y SU ADJUNTO
Buscamos ceros en la fila o columna que más nos interese. Lo haremos en la primera columna = F2 – 2F1 F3 + F1 F4 – F1 Ahora, puede continuarse aplicando la regla de Sarrus O bien, desarrollando por la última fila. CÁLCULO DE UN DETERMINANTE POR EL MÉTODO DE GAUSS Se trata de triangularizar el determinante. Su valor será el producto de los elementos de la diagonal = F2 + F1 F3 + F1 F4 + F1 = (x + 1)3 VANDERMONDE = (b – a)·(c – b)·(c – a)·(d – c)·(d – b)·(d – a)

25 Matriz adjunta-traspuesta de A
DETERMINANTES CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR DETERMINANTES Se llama matriz adjunta Adj(A) de una matriz cuadrada A a la que se obtiene de sustituir cada elemento aij por su adjunto Aij. Ejemplo: Se llama matriz traspuesta At de A a la matriz que tiene por filas las columnas de A Ejemplo: = [Adj(A)]t = Adj(At) Matriz adjunta-traspuesta de A

26 DETERMINANTES CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ POR DETERMINANTES
MÉTODO DE LOS MENORES ORLADOS Dada una matriz A, un menor de orden k es un determinante de orden k formado por elementos de la matriz respetando su situación en la misma. Orlar un menor de orden k es añadirle una fila y una columna de manera que obtengamos otro menor de orden k+1. El rango de una matriz es el mayor orden posible de un menor no nulo Ejemplo: Elegimos un elemento de la matriz que no sea nulo, es decir, un menor de orden 1 no nulo -1  0  r(A)  1 Orlamos con la siguiente fila y siguiente columna:  r(A)  2 Orlamos con la siguiente fila y siguiente columna: No aporta nada Como no hay más filas, orlamos con la siguiente columna: No aporta nada Volvemos a orlar con la siguiente columna:  r(A)  3  r(A) = 3

27 DETERMINANTES CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ POR DETERMINANTES
Muchas veces resulta más práctico seguir el orden inverso de los menores, y comenzar por los de mayor orden posible. Ejemplo: Este menor no nos garantiza rango 4. Probamos otro. Suprimimos la tercera columna, que nos ha salido proporcional a la primera = F3 – 2 F1 F4 – F1 = F3 – 2 F1 F4 – F1 Por tanto, rango = 4

28   MATRICES DEPENDIENTES DE PARÁMETROS
Calcular, en función de los valores del parámetro m, el rango de Utilizaremos el método de Gauss: Si m  6  r(A) = 3. Si m = 6  r(A) = 2.  F3 – 2 F1  F3 + 3 F2 a) Calcula el rango de A según los valores del parámetro m. b) ¿Para que valores del parámetro tiene inversa la matriz A? Dada la matriz: = 2m – m2 = m(2 – m) det(A) = 0  m = 0  m =2 DISCUSIÓN: Si m  0  m  2. det(A)  0  r(A) = 3 y además, A es regular: A-1 Si m = 0, hay una fila de ceros y las otras no son proporcionales: r(A) = 2 Si m = 2, las filas 1 y 2 no son proporcionales: r(A) = 2 Evidentemente, en los casos en que r(A) = 2, A no tiene inversa.

29 ECUACIONES MATRICIALES
Se llama ecuación matricial a una ecuación en la que los términos son matrices. Habitualmente, se denota con X la matriz incógnita, y resolver la ecuación matricial consistirá en despejar X haciendo uso de las propiedades básicas del cálculo matricial. AX = B  A-1AX = A-1B  IX = A-1B  X = A-1B Obsérvese la importancia del lado por el que se multiplica, y recuérdese: producto NO conmutativo XA = B  XAA-1 = BA-1  XI = BA-1  X = BA-1 AX + B = C  AX = C – B  X = A-1(C – B) Ejemplo: Resuelve la ecuación matricial AX – B + C = O, siendo: Se entiende por O la matriz correspondiente cuyos términos son todos ceros. AX - B + C = O  AX = B – C  X = A-1(B – C)

30 fin MATRICES Y DETERMINANTES: FIN
Arthur Cayley,  ( ), matemático británico, cuya aportación más importante a las matemáticas es la teoría de los invariantes algebraicos. Nació en Richmond (Surrey) y estudió en el King's College y en el Trinity College, Universidad de Cambridge. En 1857 desarrolló el álgebra de matrices. Es considerado como el tercer escritor más prolífico de matemáticas, siendo sólo superado por Euler y Cauchy. Hizo importantes contribuciones en la Teoría de curvas y superficies, en la geometría analítica, en la teroria de los determinantes y el desarrollo de la teoría de los invariantes. Sus trabajos en geometría cuatridimensional, proporcionaron a los físicos del siglo XX, especialmente a Albert Einstein, la estructura para desarrollar la teoría de la relatividad fin