@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.1 PROBABILIDAD U. D. 13 * 4º ESO E. AC.

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.2 COMBINACIONES U. D * 4º ESO E. AC.

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.3 De m elementos tomados de n en n, son los diferentes grupos que con ellos se pueden formar, de modo que en cada grupo entren n elementos distintos y que un grupo se diferencie de los demás al menos en uno de sus elementos. COMBINACIONES SIN REPETICIÓN m! C = m,n n!(m-n)! Lotería Primitiva Equipos de baloncesto a formar. Juegos de cartas ( Brisca, Tute, etc ) COMBINACIONES SIN REPETICIÓN

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.4 Con los 6 alumnos de una clase, ¿cuántos equipos de baloncesto se pueden formar? ¿Qué probabilidad hay de que, formado un equipo al azar, Juan y Ana fueran seleccionados? Resolución: CUIDADO: Alguien podría pensar en hacer 6 / 5 = 1 equipos me sale, y me sobra un alumno. Efectivamente sale 1 sólo equipo diferente REAL. Pero son MUCHOS MÁS los equipos POSIBLES. Al no importar el ORDEN no son ni variaciones ni permutaciones. Luego serán COMBINACIONES. Y como ningún jugador se puede duplicar… C 6,5 = 6! / 5! (6-5)! = 6! / 5!. 1! = 6 equipos diferentes. Si compongo el equipo al azar, con Juan y Ana fijos: C 4,3 = 4! / 3! (4-3)! = 4 formas de elegir el resto. Probabilidad pedida: P=Cf/Cp = 4 / 6 = 2/3 = 0,66 = 66,67% EJERCICIOS

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.5 Con los 6 alumnos de una clase, ¿cuántos equipos de trabajo de tres alumnos cada equipo se pueden formar? Si formo un equipo al azar, ¿qué probabilidad hay de que Juan sea uno de los integrantes? Resolución: No importa el orden en que seleccionemos los tres alumnos para formar un equipo … Y como ningún alumno se puede duplicar… COMBINACIONES. C 6,3 = 6! / 3! (6-3)! = 6! / 3!. 3! = = / = 20 equipos diferentes. Al componer al azar un equipo y fijar a Juan: C 5,2 = 5! / 2! (5-2)! = 120 / 2·6 = 120 / 12 = 10 equipos entra Juan Probabilidad pedida: P=Cf/Cp = 10/ 20 = 0,50 = 50% EJERCICIOS

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.6 Me ha tocado en una lotería un lote de tres películas a elegir entre 10 diferentes. ¿De cuántas maneras puedo componer el lote, si las tres películas deben ser distintas?. ¿Qué probabilidad tengo, si las elijo al azar, de que dos de las tres películas sean “Terminator” y “Revenge”? Resolución: No importa el orden en que seleccionemos las tres películas, aunque deben ser distintas … C 10,,3 = 10! / 3! (10-3)! = 10! / 3!. 7! = ! / 6.7! = 120 formas. Al tomarlas al azar, fijo las dos películas a efectos de combinatoria. C 8,1 = 8! / 1! (8-1)! = 8 formas de elegir al azar la restante. Probabilidad pedida: P=Cf/Cp = 8 / 120 = 4 / 60 = 2 / 30 = 0,0667 = 6,67% EJERCICIOS

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.7 En un examen el profesor pone cinco preguntas al azar de un total de 20 posibles. Para aprobar hay que hacer bien al menos tres de las cinco. Un alumno sabe 10 de las veinte preguntas. a) ¿Qué probabilidad tiene de saber las cinco preguntas ?. b) ¿Y de aprobar?. Resolución: No importa el orden de las preguntas, y no se pueden repetir. Son pues combinaciones ordinarias. Por Laplace: P= Cf/Cp Cp = C 20 5 = 20! /5!.(20-5)! = formas de poner el examen. a) Cf = C 10 5 = 10! /5!.(10-5)! = 252 formas de tener 5 de las que sabe. P(5) = Cf/Cp = 252 / = 0,01625 = 1,63% b) Cf = C C 10 4 · C C 10 3 · C 10 2 = · ·45 = = = 7752 formas de saber al menos 3 de las 5. P(Aprobar) = Cf/Cp = 7752 / = 0,50 = 50% EJERCICIOS

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.8 Los llamados números combinatorios son una extensión de las Combinaciones. Así por ejemplo, no podemos formar combinaciones de 0 elementos, vemos que es absurdo. Pero en la práctica la fórmula o modo de obtenerles es la misma : m C m,n = ( ) n Se determina que: 1! = 1 y que 0! = 1 La propiedad más importante es: m m ( ) = ( )  C m, n = C m, (m – n) n m – n Ejemplo: C 7, 2 = C 7, 5  7! / 2!.5! = 7! / 5!.2!  21 = 21 NÚMEROS COMBINATORIOS

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.9 Ejemplos 5 5 Propiedades: A) ( ) = ( ) 3 5 – 3 C 5,3 = C 5,2  5! / 3!.2! = 5! / 2!.3!  10 = Propiedades: A) ( ) = ( ) 3 7 – 3 C 7,3 = C 7,4  7! / 3!.4! = 7! / 4!.3!  35 = Propiedades: A) ( ) = ( ) 7 10 – 7 C 10,7 = C 10,3  10! / 7!.3! = 10! / 3!.7!  120 = 120

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.10 PROPIEDADES m m I.( ) = ( ) = 1 0 m m m II.( ) = ( ) n m – n m m m + 1 III. ( ) + ( ) = ( ) n – 1 n n

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.11 Ejemplos (Verificación) 5 5 I.( ) = ( ) = 1  5! / 0!.(5 – 0)! = 5! / 1.5! = II.( ) = ( )  6! / 2!.(6 – 2)! = 6! / 4!.(6 – 4)! ; 15 = III. ( ) + ( ) = ( )  5! / 3!.(5 – 3)! + 5! / 4!.(5 – 4)! = = 6! / 4!.(6 – 4)!  20 / / 1 = 30 / 2  10+5 = 15

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.12 COMBINACIONES CON REPETICIÓN

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.13 EJERCICIOS

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.14