Divisibilidad Nivel: 1º ESO Autor: Francisco José Sarrión Gavilán

Índice: Introducción La relación de divisibilidad Divisores y Múltiplos Números primos y números compuestos Criterios de divisibilidad Descomposición factorial Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Introducción: Si un número natural contiene a otro una cantidad exacta de veces (por ejemplo, 100 contiene a 20 exactamente 5 veces) decimos que dichos números están emparentados mediante la relación de divisibilidad. Los números 80 y 30 no están emparentados mediante esta relación pues 80 no contiene a 30 un número exacto de veces.

La relación de divisibilidad Si tomamos dos números naturales a y b tales que a>b, diremos que a es divisible entre b si la división de a entre b es exacta. Decir que a es divisible entre b es equivalente a decir que b es divisor de a o que a es múltiplo de b. Ejemplo: Como 12:3 = 4 (división exacta) podemos decir que 12 es divisible por 3, que 3 es divisor de 12 o que 12 es múltiplo de 3. Pero 12:3= 4 (división exacta) permite escribir 12= 3·4, y por tanto 12:4= 3, es decir, que 12 también es divisible por 4, que 4 también es divisor de 12 y que 12 también es múltiplo de 4.

Múltiplos de un número Los múltiplos de un número b son los números b·n que lo contienen una cantidad n exacta de veces. Por ejemplo los múltiplos de 3 son los números de la forma 3·n, donde n es la cantidad exacta de veces que cada múltiplo de 3 contiene al 3. Si intentamos escribir todos los múltiplos de 3 tendremos la siguiente lista: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36,... Observamos que la lista de los múltiplos de un número es infinita y que cualquier número natural es múltiplo de sí mismo y de la unidad, pues b·1=b.

Divisores de un número Para obtener los divisores de un número a buscamos las divisiones exactas de a entre los números menores o iguales que a. Por cada división exacta que encontremos tendremos dos divisores, pues si a:b=c entonces a:c=b y por tanto c y b son divisores de a. Todo número es divisor de sí mismo, pues a:a=1 (división exacta) El uno es divisor de cualquier número, pues a:1=a.

Ejemplo, método artesanal Ejemplo: Búsqueda de los divisores de :1=20 (división exacta), divisores 20 y 1 20:2=10 (división exacta), divisores 10 y 2 20:3=6 y resto 2 (división no exacta) 20:4=5 (división exacta), divisores 5 y 4 20:6=3 y resto 2 (división no exacta) 20:7=2 y resto 6 (división no exacta) 20:8=2 y resto 4 (división no exacta) 20:9=2 y resto 2 (división no exacta) Divisores de 20={1, 2, 4, 5, 10, 20}

Números primos y compuestos Un número natural distinto de 1 es primo si sus únicos divisores son él mismo y la unidad. Ejemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... Un número natural distinto de 1 es compuesto si tiene más de dos divisores. Ejemplos: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22,... Se puede obtener la lista de los números primos menores que 100 utilizando la criba de Eratóstenes.

Criterios de divisibilidad Para ver si dos números están emparentados mediante la relación de divisibilidad, sin tener que comprobar si la división es exacta, son muy útiles los criterios de divisibilidad. Estos son algunos de los criterios: Un número es divisible por 2 si su última cifra es cero o par. Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. Un número es múltiplo de 5 si su última cifra es 0 ó 5. Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de sus cifras de lugar par y la suma de sus cifras de lugar impar es múltiplo de 11.

Descomposición factorial La descomposición de un número como producto de sus factores primos ofrece información sobre la estructura del número y abre caminos par la elaboración de estrategias de cálculo. El procedimiento que se emplea para obtener la descomposición consiste en ir dividiendo el número entre sus divisores primos (aplicando los criterios de divisibilidad siempre que sea posible) de forma sucesiva hasta obtener 1 en el cociente. Ejemplo: factorización del número :2 135:3 45:3 15:3 5:5 1

Divisores de un número descompuesto como producto factores primos Cada divisor de un número contiene alguno de los factores primos de ese número. Ejemplo: cálculo de los divisores de :2 10:2 5:5 1 Divisores de 20={1, 2, 2·2, 5, 2·5, 2·2·5}= ={1, 2, 4, 5, 10, 20}

Mínimo común múltiplo El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios números es el más pequeño de sus múltiplos comunes. Se puede calcular por el método artesanal, que consiste en escribir las listas de los múltiplos de los números implicados y buscar el más pequeño común a todos ellos. Pero si se dispone de la descomposición factorial de los números es el producto de los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente con el que aparecen en las descomposiciones factoriales de lso números.

Máximo común divisor El máximo común divisor (M.c.d.) de varios números es el mayor de sus divisores comunes. Se puede calcular por el método artesanal, que consiste en escribir las listas de los divisores de los números implicados y buscar el mayor común a todos ellos. Pero si se dispone de la descomposición factorial de los números es el producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente con el que aparecen en las descomposiciones factoriales de lso números. Hay que observar que el 1 es divisor de todos los números.