PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS SEGMENTO DE PUNTOS A y B = [A,B] A B LONGITUD DEL SEGMENTO [A,B] d(A,B) También se utiliza la siguiente notación: d(A,B) = AB ó d(A,B) = a PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS [A;B] y [C,D] son PROPORCIONALES a [E,F] Y [G,H], si se cumple Ejemplo:

Actividad 1 La razón entre dos segmentos es 3/5. Si el segmento mayor mide 10 cm., ¿Cuánto mide el segmento menor?

TEOREMA DE TALES [0,B] [0,A] B A [0,A’] A’ [0,B’] B’ Si r y r’ son dos rectas secantes en el punto O Si trazamos dos nuevas rectas paralelas que cortan a r y r’ en los puntos A, B y A’, B’ respèctivamente B A B’ A’ [0,B] [0,A] [0,B’] [0,A’] Entonces, los segmentos [O,A] y [O,B] son PROPORCIONALES a los segmentos [O,A’] y [O,B’]

Actividad 2 Halla la longitud x, e y de los segmentos desconocidos de la figura siguiente: 1 cm 2 cm 4 cm y cm 3 cm x cm

APLICACIONES DEL TEOREMA DE TALES Dada una triángulo ABC A B C Si trazamos una recta paralela a un lado (por ejemplo al lado BC) M N Entonces el nuevo triángulo AMN, tiene los lados proporcionales al triángulo ABC. Es decir: AB/AM = AC/AN = BC/MN.

Actividad 3 Calcula las longitudes x, e y desconocidas de la figura siguiente: 1 cm 3,5 cm y cm 3 cm x cm

CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS Para dividir un segmento [O,A] en partes proporcionales a, b y c: A Trazamos un segmento de longitud a + b + c, con origen en O. a c` c b b` a` Trazamos paralelas (utilizando T. Tales), y obtenemos dicha división

Actividad 4 Dibuja en tu cuaderno un segmento de 11 cm. y divídelo en dos partes tales que una sea ¾ de la otra.

Cuarto, tercero y medio proporcional Dado 3 segmentos de longitudes a, b y c, decimos que el segmento de longitud desconocida x es el CUARTO PROPORCIONAL de a, b y c, si se cumple: b a x c Si b = c, decimos que el segmento de longitud desconocida x es el TERCERO PROPORCIONAL de a, b si se cumple: b a x El segmento de longitud b es el MEDIO PROPORCIONAL

FIGURAS PLANAS SEMEJANTES Dos figuras planas son SEMEJANTES si están relacionadas de manera que una es una reducción o ampliación de la otra. POLÍGONOS SEMEJANTES Dos POLÍGONOS de n lados son SEMEJANTES si tiene los mismos ángulos y los lados son proporcionales. Razón de semejanza =

Construcción de polígonos semejantes Se traza un punto O cualquiera y se trazan semirrectas que parten de O, y pasan por los vértices Dado un polígono Se toma la razón r, y se trazan paralelas a los lados

Actividad 5 Dibuja en tu cuaderno un triángulo que tenga un lado de 2,5 cm. y otro de 3,5 cm. Y un ángulo de 80º comprendido entre ellos. ¿Sabrías trazar ahora otro triángulo semejante dos de cuyos lados midiesen 7,5 cm. y 10,5 cm. respectivamente? ¿Cuál es la razón de semejanzas entre ambas figuras?

1º CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes si: A B C A’ B’ C’’ C = C’ B = B’

2º CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes si: A B C A’ B’ C’’ b c b’ c’ b/b’ = c/c’ A = A’

3º CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes si: A B C A’ B’ C’’ b c b’ c’ a/a’ = b/b’ = c/c’ a’ a

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS SEMEJANTES Dos triángulos ABC, A’B’C’ rectángulos en A y A’ son semejantes si: A B C A’ B’ C’’ 1.- Tiene un mismo ángulo agudo B = B’ ó C = C’ 2.- Dos pares de lados homólogos son proporcionales

TEOREMA DEL CATETO Y DE LA ALTURA Dado un triángulo rectángulo ABC : A B C a b c Trazamos la perpendicular al segmento [B,C] que pasa por A. Denominamos P al punto de intersección, m = CP, n = PB y h = AP m n P h Por semejanzas de triángulos ABC y CPA, y también ABC y PBA, De donde se deducen los siguientes teoremas: Teorema del CATETO.- Cada cateto de un triángulo rectángulo es la media proporcional de la hipotenusa y su proyección sobre esta: Teorema de la ALTURA.- La altura de un triángulo rectángulo es la media proporcional de los dos segmentos que dividen la hipotenusa:

Actividad 6 Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 cm. Y 8 cm., respectivamente: ¿Cuánto miden sus proyecciones sobre la hipotenusa? ¿Cuánto vale la altura del triángulo sobre la hipotenusa?

RELACIÓN ENTRE FIGURAS SEMEJANTES Si P y P‘ son polígonos SEMEJANTES de lados a1, a2,….,an y de lados homologos a’1, a’2,…, a’n. La razón de semejanza es: PERIMETRO de P r = a1/a’1 = a2 /a’2 = …. = an / a’n = PERIMETRO de P‘. Ejemplo: P’ b’ a’ c’ e’ d’ P a b d c e a’+b’+c’+d’+e’ r = (1/2).(a+b+c+d+e) = a+b+c+d+e a+b+c+d+e = 1/2 Si F y F‘ son figuras planas semejantes: r 2 = ÁREA de F / ÁREA de F‘. Si C C‘ son cuerpos semejantes : r 3 = VOLUMEN de C / VOLUMEN de c‘.

Actividad 7 La razón entre los radios de dos esferas es 5/7. Halla el volumen de la esfera grande, sabiendo que el de la pequeña es 250 cm. 3 .

ESCALAS DE MAPAS Y PLANOS Se llama ESCALA a la razón de semejanza que existe entre la representación gráfica de un objeto cualquiera y la dimensión real del mismo. Usamos ESCALAS de AMPLIACIÓN para representar objetos pequeños. Usamos ESCALAS de REDUCCIÓN para representar objetos grandes.

Actividad 8 Dos ciudades distan entre sí 25 km. ¿A qué distancia se hallarán en un plano de escala 1:25.000? ¿Y en otro en el que se indica que 5 cm. Equivalen a 100 km.?

Mas ayuda del tema de la página Matemática de DESCARTES del Ministerio de Educación y ciencia (http://recursostic.educacion.es/descartes/web/) En la siguiente diapósitiva

Mas ayuda del tema de la página Matemática de GAUSS del Ministerio de Educación y ciencia (http://recursostic.educacion.es/gauss/web) En la siguiente diapósitiva