TRANSFORMACIONES LINEALES EN 3D ANDREA PÉREZ DOMÍNGUEZ CLAUDIA JALÓN MANZANO 2º BACHILLERATO A

ÍNDICE INTRODUCCIÓN TRASLACIONES CAMBIOS DE ESCALA GIROS COMPOSICIÓN

¿Qué es un sistema de referencia? INTRODUCIÓN ¿Qué es un sistema de referencia? Son varios planos en los cuales se ubican los objetos para su mejor visualización. Tiene tres ejes.

Método general para el empleo de matrices Se busca obtener una matriz con forma de matriz fila a partir de la multiplicación de una matriz fila con las coordenadas del punto a transformar y una matriz con las coordenadas deseadas para obtener la transformación final. *ejemplo

Transformaciones lineales de matrices Las transformaciones lineales que veremos serán las siguientes: Traslación Cambio de escala Giro

TRASLACIÓN Consiste en mover un punto u objeto una cierta distancia en una dirección determinada CON MATRICES: Necesitamos un sistema de coordenadas homogéneo, para ello necesitamos añadir una dimensión extra a un sistema de referencia dado,que por comodidad y sencillez será normalmente 1.

ejemplo Para trasladar el punto V=(x,y,z,1) un cierto vector t=(tx,ty,tz) hay que multiplicar V por la matriz T en la que viene incluido el vector, dando lugar a V’=(x’,y’z’,1)

Para realizar la traslacion inversa, es decir, deshacer la traslación, se ha de aplicar la matriz inversa, es decir la

CAMBIOS DE ESCALA Un cambio de escala es una modificación de tamaño. CON MATRICES: Ha de aplicarse la matriz de escalado para que los objetos puedan modificar su tamaño en uno, dos o los tres ejes.

La matriz será: Siendo (Sx,Sy,Sz) la proporción de modificación de tamaño. S=matriz para la multiplicación.V= punto inicial y V’= punto final

GIROS Es una rotación respecto a un eje o un punto. Para ello hay que establecer un eje de rotación, así como el ángulo y el sentido de giro alrededor de dicho eje. En 2D, si el giro se realiza sobre el eje z, la coordenada del eje z no cambiará.z=z’

De la figura siguiente se deducen las fórmulas trigonométricas que proporcionan directamente las coordenadas (X’,Y’). Siendo P=(x,y,z,1) y P’=(x’,y’,z’,1); P’=P·Gz

COMPOSICIÓN Matemáticamente consiste en la multiplicación de la matrices en un orden determinado. Si queremos trasladar un elemento=P y luego girarlo se puede multiplicar P por la matriz de traslación=T y luego por la matriz de giro=G y también se puede llegar a un resultado idéntico si multiplicamos el vector P por la matriz resultante de componer T y G M=matriz compuesta (x’,y’,z’,1)=(x,y,z,1)T (x’’,y’’,z’’,1)=(x’,y’,z’,1)G M=T·G -> (x’’,y’’,z’’,1)=(x,y,z,1)M

¡FIN! 