DERIVADAS

CONCEPTOS RECTAS TANGENTES A UNA CURVA f(x) LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

RECTAS TANGENTES/ DERIVADAS ¿Cómo se halla la tangente a una curva? Descartes (Siglo XVII) “El problema de hallar la tangente a una curva es no sólo el problema más útil y más general que conozco, sino que pudiera desear conocer....”

ISAAC NEWTON, 1642-1727

Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716

Newton no había publicado sus hallazgos en el cálculo diferencial e integral, obtenidos alrededor de los años 1665 y 1666, sí había presentado algunos de sus manuscritos a sus amigos. De Analysi, por ejemplo, se lo había dado a Barrow en 1669, quien se lo había enviado a John Collins. Leibniz estuvo París en 1672 y en Londres en 1673 y estuvo en contacto con gente que conocía la obra de Newton. Publicó su obra matemática en 1684.

RECTA SECANTE A UNA CURVA x y f(x) b a f(b) f(a) m = f(b)-f(a) b-a

RECTA TANGENTE A UNA CURVA x y f(x) a f(a) Recta tangente a la curva f(x) en el punto x=a m =???????

RECTA TANGENTE A UNA CURVA

RECTA TANGENTE A UNA CURVA x y f(x) a f(a) f(a+h) a+h Donde h tiende a cero...

PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO x=a Este límite representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) en el punto x=a

PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO X CUALQUIERA Este límite representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) en un punto x cualquiera perteneciente al dominio de f(x)

PROBLEMA 1 A) Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) dada en el punto x=8, y determina la ecuación de esta tangente

PROBLEMA 1

PROBLEMA 2 Halle la ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto x = -3

f ’(5)= f ’(x)= DEFINICIÓN DE DERIVADA PUNTO CONCRETO Ej: 5 PUNTO CUALQUIERA

Halla la derivada en cualquier punto de la función dada por:

NOTA Si f´(c) = 0, f(x) tendrá una tangente horizontal en x=c

NO EXISTE DERIVADA (TANGENTE) EN EL PUNTO X=0

PROPOSICIÓN y=|x-c|+a Ninguna función es derivable en los puntos “picudos” Puede tener dos tangentes (derivadas) + tangente a la derecha + tangente a la izquierda

NO EXISTE DERIVADA (TANGENTE) EN UN PUNTO DE DISCONTINUIDAD

PROPOSICIÓN Si f(x) es derivable en un punto x=a, entonces es continua en ese punto NOTA: el recíproco NO es cierto!

PROBLEMA ¿En qué puntos del dominio la función representada puede ser?: a. ¿Derivable? b. ¿Continua pero no derivable? c. ¿Ni continua ni derivable? - 3 F(x) 1 x

REGLAS DE DERIVACIÓN

REGLAS DE DERIVACIÓN SE UTILIZAN PARA HALLAR LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN SIN NECESIDAD DE HALLAR EL LÍMITE CUANDO h TIENDE A 0…. Permiten encontrar f ’(x) de forma rápida.

REGLAS DE DERIVACIÓN

REGLAS DE DERIVACIÓN

Si f(x) = ex, entonces f ´ (x) = ex REGLAS DE DERIVACIÓN Si f(x) = ex, entonces f ´ (x) = ex Si f(x) = Lx, entonces f ´ (x) = 1/x (4x)’ = 4x L4 (log6x)’ = (1/x)/L6

REGLAS DE DERIVACIÓN

Regla del múltiplo constante K ,de la forma: g(x) = K . f(x)

Regla de la suma algebraica de funciones:

Regla del producto de funciones:

Regla del cociente de funciones:

Regla de la composición (Regla de la Cadena):

Ejemplos Sean las funciones:

Ejemplo

Ejercicios propuestos

Derivada de un producto de varios factores

Ejemplo

Ejemplo

Ejercicio propuesto

Ejercicio propuesto

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo