CÁLCULO DIFERENCIAL FUNCIONES REALES Juan Guillermo Paniagua C

FUNCIÓN Dados dos conjuntos no vacíos A y B, una función f de A en B, denotada por: f : A→B ó A B Es una relación que permite asignar a todo elemento xA uno y sólo un elemento yB. Juan Guillermo Paniagua C

FUNCIÓN Una Función f es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento x en un conjunto, denominado dominio, un solo valor f(x) de un segundo conjunto. El conjunto de todos los valores así obtenidos se denomina rango de la función Juan Guillermo Paniagua C

A B f D(f) = Dominio de f = {1, 2, 3, 4, 5, x} c d e f(x) f A B D(f) = Dominio de f = {1, 2, 3, 4, 5, x} r(f) = Rango de f = {a, b, c, d, e, f(x)} Juan Guillermo Paniagua C

Tener en cuenta En A no pueden sobrar elementos. El dominio de la función es igual al conjunto de partida A Cada elemento de A sólo puede relacionarse con uno y sólo uno de B El codominio de una función es aquel rango que es igual al conjunto de llegada Cuando la regla para una función está dada por medio de uan ecuación de la forma y=f(x), x es la variable independiente y y es la variable dependiente. Juan Guillermo Paniagua C

¿Cuales son funciones? * + \ ~ 1 a c e * + \ ~ 1 a c e No es Función 2 3 4 a a b c d 1 2 3 4 Juan Guillermo Paniagua C Si es Función Si es Función

Gráfica de Funciones Cuando el dominio y el rango de una función son conjuntos de números reales, se puede describir la función mediante el trazo de su gráfica en un plano coordenado. La gráfica de una función f es la gráfica de la ecuación y=f(x) Juan Guillermo Paniagua C

Bosqueje la gráfica de f(x)=x2-2 Ejemplo Bosqueje la gráfica de f(x)=x2-2 Juan Guillermo Paniagua C

Criterio de la recta vertical Una curva en el plano xy es la gráfica de una función de x si y sólo si ninguna línea vertical se interseca con la curva más de una vez y=x2 x2+y2=1 Función No es Función Juan Guillermo Paniagua C

Funciones Crecientes y Decrecientes Se dice que una función f es creciente sobre un intervalo I si: f(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2 en I Se dice que una función f es decreciente sobre un intervalo I si: f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2 en I Juan Guillermo Paniagua C

Observemos la siguiente función D B f(b) C f(c) f(a) A a b c d La función en el intervalo [a,b] es creciente La función en el intervalo [b,c] es decreciente ¿Cómo es en el intervalo [c,d]? Juan Guillermo Paniagua C

Ejemplo Determine los intervalos en los que la función es creciente y decreciente Juan Guillermo Paniagua C

Simetría de Funciones Función Par Si una función f satisface f(-x)=f(x), para todo número x en su dominio, se denomina función par. El significado geométrico de una función par es que su gráfica es simétrica con respecto al eje y Juan Guillermo Paniagua C

Determine si la función f(x)=x2+1es par Ejemplo: Determine si la función f(x)=x2+1es par Juan Guillermo Paniagua C

Simetría de Funciones Función impar Si una función f satisface f(-x)=-f(x), para todo número x en su dominio, se denomina función impar. El significado geométrico de una función impar es que su gráfica es simétrica con respecto al origen. Si ya se tiene la gráfica de f para x0, para obtener la gráfica entera se rota 180° alrededor del origen Juan Guillermo Paniagua C

Ejemplo: Determine si la función f(x)=x3+2x es impar Juan Guillermo Paniagua C

Función Inyectiva Una función es Inyectiva o “uno a uno” si y sólo si cada elemento del rango es imagen de un solo elemento del dominio a b c d 1 2 3 4 * + \ ~ 1 a c e Función Inyectiva Función no Inyectiva Juan Guillermo Paniagua C

Criterio de la Recta Horizontal Una Función es Inyectiva si y sólo si ninguna línea horizontal interseca su gráfica más de una vez y=x3 y=x2 No es Función Inyectiva Función Inyectiva Juan Guillermo Paniagua C

Función Sobreyectiva Una Función f : A  B es sobreyectiva o sobre, si todo elemento de B es imagen de por lo menos un elemento de A, es decir f : A  B es sobre  f(A) = B a b c d 1 2 3 4 a b c d 1 2 3 4 Función Sobreyectiva No es Función Sobreyectiva Juan Guillermo Paniagua C

Función Biyectiva Una función f : A  B es biyectiva si y sólo si es a la vez inyectiva y sobreyectiva. a b c d a b c d 1 2 3 4 1 2 3 4 Función Inyectiva Función Sobreyectiva Función Biyectiva Función no Inyectiva Función no Sobreyectiva Función no Biyectiva Juan Guillermo Paniagua C

Tipos de Funciones Funciones Polinómicas Funciones Especiales Función Constante Función Valor Absoluto Función Lineal Función Racional Función Cuadrática Funciones por tramos Función Polinómica Función Mayor Entero Funciones Trascendentes Función Exponencial Función logarítmica Funciones trigonométricas Juan Guillermo Paniagua C

Función Polinómica Una función polinomial de grado n es de la forma Donde: n Z+, an  0 a0, a1, …,an-1, an Coeficientes del polinomio a0 es el coeficiente constante o término constante n es el grado del polinomio Juan Guillermo Paniagua C

Un polinomio de grado cero tiene la forma P(x)=k, con k constante, llamada función constante Un polinomio de grado uno tiene la forma P(x)=mx+b, llamado función lineal Un polinomio de grado dos tiene la forma P(x)= ax2+bx+c, se llama función cuadrática Un polinomio de grado tres tiene la forma P(x)=ax3+bx2+cx + d, llamada función cúbica Juan Guillermo Paniagua C

Función Constante La función constante es de la forma f(x)=c, donde c es una constante. Es una función donde a cada número real x del dominio se le asigna el mismo valor c. Juan Guillermo Paniagua C

Función Lineal La función lineal es de la forma f(x)=mx+b y su gráfica es una línea recta. m es la pendiente de la recta y b es la ordenada al origen (intercepto con el eje y) Las funciones lineales crecen a una tasa constante. Esa tasa constante está representada por la pendiente, la cual se interpreta como la tasa de cambio de y con respecto a x Juan Guillermo Paniagua C

Ejemplo Graficar f(x)=3x-2 X 1 Y -2 Juan Guillermo Paniagua C

El dominio de la función lineal son los reales D(f) = Re El rango de la función lineal son los reales r(f) = Re Juan Guillermo Paniagua C

Ejemplo A medida que el aire seco asciende, se expande y se enfría. Si la temperatura del suelo es de 20°C y la temperatura a una altura de 1 Km es de 10°C Exprese la temperatura T (en °C) en términos de la altura h (en Km) (Suponga que la relación entre T y h es lineal) Dibuje la gráfica de la ecuación lineal, ¿qué representa la pendiente? ¿Cuál es la temperatura a una altura de 2.5 Km? Juan Guillermo Paniagua C

Funciones de Potencia Son funciones de la forma f(x)=xa, donde a es una constante. D(f) = Re Si a=n, n  Z+ Función Identidad Juan Guillermo Paniagua C

La función f(x)=xn en su forma depende de n si es par o impar La función f(x)=xn en su forma depende de n si es par o impar. Si n es par, f(x)=xn es una función par y si n es impar, f(x)=xn es una función impar Juan Guillermo Paniagua C

La función es una función raíz. Si a=1/n, n  Z+ La función es una función raíz. n = 2 Función raíz cuadrada D(f) = [0, +) n = 3 Función raíz cúbica D(f) = Re Juan Guillermo Paniagua C

Si a=-1 Función recíproca. Su gráfica es una hipérbola con sus ejes coordenados como asíntotas D(f) = Re – {0} Juan Guillermo Paniagua C

Funciones Racionales Una Función Racional f es una razón de dos polinomios. Donde P(x) y Q(x) son polinomios. Su dominio consiste en todos los valores de x tales que Q(x)  0 Por ejemplo, D(f)= Re – {-2, 2} Juan Guillermo Paniagua C

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Funciones Algebraicas Son funciones que se constituyen usando operaciones algebraicas. Juan Guillermo Paniagua C

Funciones Seccionalmente Definidas Son funciones que están definidas por fórmulas distintas, en diferentes partes de sus dominios. Por ejemplo: Juan Guillermo Paniagua C

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Función Cuadrática Una función f es una función cuadrática si donde a, b y c  Re, a  0 Su gráfica corresponde a una parábola con vértice fuera del origen de coordenadas Juan Guillermo Paniagua C

Por ejemplo Juan Guillermo Paniagua C

Si b = c = 0, entonces La gráfica es una parábola con vértice en el origen Juan Guillermo Paniagua C

Si b = 0 y c  0, entonces La gráfica es una parábola con vértice en (0,c) Juan Guillermo Paniagua C

Si y b  0, completamos el trinomio cuadrado perfecto y lo llevamos a la forma Donde (h, k) son las coordenadas del vértice de la parábola Si a < 0 la parábola se abre hacia abajo y si a > 0, la parábola se abre hacia arriba. Juan Guillermo Paniagua C

Ejemplo: Bosqueje la gráfica de Juan Guillermo Paniagua C

El vértice de la parábola Tiene la coordenada x Si , con a  0, entonces: es valor máximo si a < 0 es valor mínimo su a > 0 Juan Guillermo Paniagua C

Hallar su distancia máxima sobre el suelo Ejemplo 1 Encuentre el valor máximo ó mínimo, el vértice y trace la gráfica de la parábola Ejemplo 2 Un objeto es lanzado en forma vertical hacia arriba con una velocidad inicial de Vo pies/s y su distancia s(t) en pies sobre el suelo después de t segundos está dada por Si el objeto toca tierra después de 12 segundos, encuentre su velocidad inicial Hallar su distancia máxima sobre el suelo Juan Guillermo Paniagua C

Exprese el ancho y como función de la longitud x Ejemplo 3 En la construcción de seis jaulas para animales han de utilizarse 1000 pies de enrejado, según la figura Exprese el ancho y como función de la longitud x Exprese el área A encerrada como función de x Encuentre las dimensiones que maximicen el área x y Juan Guillermo Paniagua C