Variables Aleatorias Distribuciones DAGOBERTO SALGADO HORTA Variables Aleatorias Distribuciones

Dagoberto Salgado Horta Variables Aleatorias Función que asigna a cada punto del espacio muestral un número real X :  R Ejemplo N°1:  = falla , no falla  X( no falla ) = 0 X( falla ) = 1

Dagoberto Salgado Horta Variables Aleatorias  Espacio Muestral A cada s   le corresponde exactamente un valor X(s) falla no falla X({falla}) = 1 X({no falla}) = 0 IR Conjunto Números Reales Una Variable Aleatoria es una función sobre el espacio de probabilidades: hace corresponder a todo y cada uno de de los eventos elementales posibles de observar de un experimento un valor numérico real: el “valor” de la variable aleatoria en ese evento elemental. - ¥ + ¥ 0 1 X :  Rx  X-1(-, x)  IR Á Familia de eventos elementales

Dagoberto Salgado Horta Variables Aleatorias X(s) = b; s   X(s) = a si A sk  RX a b El espacio RX es el conjunto de TODOS los posible valores de X(s). En cierto sentido podemos considerar Rx como otro espacio muestral El espacio muestral original “induce” un espacio muestra Rx asociado a la Variable Aleatoria X Luego un evento A en S induce un evento en el espacio muestral RX Más aun, para todo número real a, {x = a} debe ser interpretado describiendo un evento, un conjunto de eventos elementales, para cada uno de los cuales x asume el valor a. Nótese que para cada par de números reales b y c los conjuntos {b < x <c}, {b  x < c}, {b < x  c}, {b  x  c}, {x < c}, {x  c}, {x > b}, {x  b} son eventos

Dagoberto Salgado Horta Variables Aleatorias si  X(s) = b; s   A sk X(s) = a RX a b ( a < x < b ) ( a < x  b ] [ a  x < b ) [ a  x  b ] Nótese que para cada par de números reales a y b existen los siguientes conjuntos Más aun, para todo número real a, {x = a} debe ser interpretado describiendo un evento, un conjunto de eventos elementales, para cada uno de los cuales x asume el valor a. Nótese que para cada par de números reales b y c los conjuntos {b < x <c}, {b  x < c}, {b < x  c}, {b  x  c}, {x < c}, {x  c}, {x > b}, {x  b} son eventos ( x > a  ( x  a x < b ) -  x  b ]

Dagoberto Salgado Horta Función de Probabilidad El concepto de Probabilidad de ocurrencia de eventos en el espacio muestral  se puede aplicar a eventos en RX. 1 f : R [0, 1] f(x) 0  P(X(s) = x ) = f(x)  1 W Una variable aleatoria X definida sobre un espacio probabilístico en R induce, a su vez, en el conjunto de RX otro espacio probabilístico En este espacio probabilístico inducido los eventos elementales son los números reales; también son eventos. Cada intervalo de números reales es un evento. La probabilidad de un evento constituido por un simple número real a es Pr({x = a}). La probabilidad de un evento [a, b) es Pr(a  x < b) (a, b] es Pr(a < x  b) y [a, b] es Pr(a  x  b) RX X(s) = x s X: W RX

Variable Aleatoria Discreta X :  R X-1(-, x)  Variable Aleatoria Discreta Sea C (con C  ) Soporte contable f : C R C =  ci : i  I  N  i) f(ci)  0 ii) = 1 Usando la transformación X

Dagoberto Salgado Horta Variable Aleatoria Discreta Sea X una variable aleatoria. Si el número de posibles valores de X (esto es su RX). - Es finito (contable) o. - Es contablemente infinito (denumerable). Entonces llamamos a X una variable aleatoria discreta. Esto es, los posibles valores de X pueden ser listados. X1, x2, x3, ...., xn, ..... - En el caso contable la lista es finita. - En el caso denumerable la lista es infinita contable

å å Á Variable Aleatoria Discreta X: C IR ) = P ( = x ) X Sea C  tal que i) p(ci) = Pr(ci) 0 X(ci) = xi P(A) = Á Conjunto de eventos elementales de una familia de eventos del espacio muestra; C   IR X es una función definida sobre el Espacio Muestral, que mapea en el conjunto de los Números Reales los eventos elementales definidos en C =  ci: i  I  N  En algunos textos se utiliza la letra f para acentuar que la variable aleatoria discreta es una fución Sea A el evento tal los eventos elementales ciC pertnezcan también a A, esto es ci  C  A. Usando la transformación X å å p(c ) = P ( = x ) X i i { } i Î i : c Î C I A i i

Función de Probabilidad v.a. Discreta A cada resultado posible xi se asocia un número f(xi) = P(X(s) = xi) llamado la probabilidad de xi Los f(xi) deben satisfacer 0  f(xi)  1; i = 1, 2, 3, ... , n S f(xi) = 1 El conjunto de pares (xi, f(xi)) se le denomina Función de Probabilidad o Cuantia. x1 x 2 x3 x4 x5 x6 xn f(xi) i P(X=5) = f(5) Función de Probabilidad de “masa” Función de Frecuencia x

Propiedades función de cuantia: 1. P ( X = xi )  0 X(ci) = xi P(A) = Propiedades función de cuantia: 1. P ( X = xi )  0 2.  P ( X = xi ) = 1 3. Función de Distribución: F(x) =  P ( X = xi ) =  f ( xi ) i xix xix

Esperanza de una v.a. X Varianza de una v.a. X

Distribuciones Discretas Especiales 1. Distribución Bernoulli X :  R P(X(ω)=0) = 1 – p P(X(ω)=1) = p E X = 0 ( 1 - p ) + 1 * p = p V X = ( 0 - p )2( 1 - p ) + ( 1 - p )2 p = p ( 1 - p )

Dagoberto Salgado Horta Función de Distribución v.a. Discreta Consideremos un solo experimento  sea A un evento asociado con tal experimento. supongamos que P(A) = p; luego P(Ac) = 1- p Sea la v.a. X(A ) = 1 X(Ac) = 0 P(X = 1) = p P(X = 0) = 1 – p 1 p = 0,7 x f(x) Ejemplo: Pieza con defecto o sin defecto producidas por una máquina en una período dado. Factura cuyo monto es igual o más de $ 1.000.000 ó memos de esa cantidad. f(x) = P(X =x) = px (1 – p)1-x X = 0, 1 0 < p < 1 Entonces su función de cuantía es

Distribuciones Discretas Especiales 2. Distribución Binomial Supongamos que de una línea de producción se extraen n piezas con reemplazo, las cuales pueden ser defectuosas o no con una probabilidad “p”. X: N° de piezas defectuosas en las n extracciones Entonces k = 0, 1, 2,......,n

E X = np V X = np (1-p) Notación: X  B( n , p ) Se utiliza en el muestreo de una población finita con reemplazo. También cuando la población es muy grande, con o sin reemplazo, ya que “p” se hace relativamente constante.

Dagoberto Salgado Horta Función de Distribución v.a. Discreta Sean n repeticiones independientes del experimento  consiste de todos los posibles secuencias { a1, a2, a3, .., an}, donde cada ai puede ser un evento A o un evento Ac. Existen 2n de tales secuencias Sea la variable aleatoria X := número de veces que ocurre el evento A sus posibles valores son: 0, 1, 2, 3 , ....., n 0,000 0,100 0,200 0,300 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n = 16 p = 0,2 x f(x) x n f(x) = P(X = x) = px (1 –p)n-x x = 0, 1, 2,......,n 0 < p < 1

Distribuciones Discretas Especiales 3. Distribución Hipergeométrica Surge en poblaciones que contienen elementos clasificables en 2 estratos ( con defectos: D ; sin defectos: N - D ). Consideremos un lote de tamaño N. Se extrae una muestra de tamaño n sin reemplazo. X: N° de artículos defectuosos en la muestra

k =0,1,2,.....,min n , D  Es aplicable al muestrear lotes de tamaño pequeño en relación al tamaño de la muestra ( N  10 n ).

Distribuciones Discretas Especiales 4. Distribución de Poisson Supongamos que tenemos una muestra de tamaño grande, para lo cual la probabilidad de encontrar un artículo defectuoso es pequeño “p”, y por lo tanto “np” el número total de artículos defectuosos en la muestra. Sea  = np. Entonces k = 0, 1, 2,.......

E X =  V X =  Caso límite: X  B( n , p ) con n  p  0 N0

Dagoberto Salgado Horta Cronstrucción de un Modelo Probabilístico Las piezas a la salida de una línea de producción se clasifican en defectuosas (D) o no defectuosas (N). Se toma tres piezas aleatoriamente y se clasifican de acuerdo a este esquema. El  para este experimento es:  = {NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD} La probabilidad que una pieza sea defectuosa es p y no cambia. Eso implica que si la población es finita, las observaciones se hacen con reemplazo Si X es la variable aleatoria, entonces X = 3 si y sólo si DDD = 2 DDN, DND, NDD = 1 DNN, NDN, NND = 0 NNN P(x = 0) = (1 – p) 3 P(x = 1) = 3 p (1 – p)2 P(x = 2) = 3 p2 (1- p) P(x = 3) = p3 Interesa el número de piezas D y no el orden en que salen. Se define una v.a. X igual al número de piezas defectuosas; luego, X = { 0, 1, 2, 3). Encontrar (xi, f(xi))

Dagoberto Salgado Horta Creando un Modelo Probabilístico f(x) 1 X(NND)= 1 X(NDN)= 1 X(DNN)= 1 3(1-p)2p 3 P(N) P(N) P(D) 0,5 (1-p)3 0,4 2 3(1-p) p2 0,3 0,2 3 p3 0,1 x Si X es la variable aleatoria, entonces X = 3 si y sólo si DDD = 2 DDN, DND, NDD = 1 DNN, NDN, NND = 0 NNN P(x = 0) = (1 – p) 3 P(x = 1) = 3 p (1 – p)2 P(x = 2) = 3 p2 (1- p) P(x = 3) = p3  = {NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD}

Función de Distribución v.a. Discreta F(x) F(x) = 0 x < x1 =  f( xi ) x1  x < x2 1 i = 1 1 =  f( xi ) x2  x < x3 2 i = 1 P(X=x5) = f(x5) Función de Probabilidad de “masa” Función de Frecuencia =  f( xi ) x3  x < x4 3 i = 1 =  f( xi ) x4  x < x5 4 i = 1 x x1 x2 x3 x4 x5 x6 xn

Variables Aleatorias Continuas Cuando el experimento  se realiza sobre un espacio muestral  que está relacionado con escalas intevalares (tales como mediciones de distancias, volúmenes, pesos, tiempos, velocidad, voltajes, intensidad, caudal, temperatura etc.) Ya que los posibles valores de X en un intervalo, a < x < b, son infinitos - no enumerables - no podemos hablar del i-ésimo valor de X = xi; En tales casos se habla se Variables Aleatorias Continuas, donde Rx es un intervalo o un conjunto de intervalos; entonces existe una función continua especial f: f(x) = lim h  0 > 0  R  R P(x < X < x + h) h

ò ò Variables Aleatorias Continuas = f f(x) f(x) > 0; f(x) dx = 1 Sea X una variable aleatoria continua. La función densidad de probabilidad (pdf) es una función que satisface: f(x) a b ò = dx x P(A) = P(a < x < b) ) ( f A: un evento A: { x| a < x  b) x f(x) > 0;  x  Rx  -¥, +¥ ò f(x) dx = 1 Rx

f : R R se dice densidad de probabilidad Distribuciones de Probabilidad Continuas Están definidas por una densidad de v. a. X f : R R se dice densidad de probabilidad Propiedades: 1. f (x)  0 2.

Observaciones 1. 2. 3. F (-) = 0 ; F () = 1 4. Fx es no decreciente 5. 6. f(x) a b x

S ò Función de Distribución Acumulada Si X es una variable aleatoria, la Función de Distribución Acumulada mide la probabilidad de un suceso en un intervalo de valores: F(x) = P(X  x) Si X es una v.a. Discreta F(x) = f(xi) Donde la suma es tomada sobre todos los índices i que satifacen xi  x S  i  xi  x Si X es una v.a. Continua F(x) = f(t) dt Donde la sumatoria es reemplazada por una integración para todos los valores de t  x ò x - 

Además: P( a,b ) = F(b) - F(a) P( a,b ) = F(b) - F(a-) Construcción de Modelos de Probabilidad II) Sea F : R R , Fu Distribución, entonces: i) F es no decreciente ii) F es continua por la derecha iii) lim F(x) = 0  lim F(x) = 1 Luego P( - , x ) = F(x) define una Probabilidad Además: P( a,b ) = F(b) - F(a) P( a,b ) = F(b) - F(a-) P( a,b ) = F(b-) - F(a) P( a,b ) = F(b-) - F(a-)

Dagoberto Salgado Horta Variables Aleatorias Continuas Sea X una variable aleatoria continua que puede tomar cuarquier valor entre a  x  b; cuya pdf es: a b x f - = 1 ) ( a  x  b min máx 0,0 0,1 0,2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a b f(x) x Sea a = 3; b = 12 A: el evento { 4 < x < 7 } Entonces: En situaciones dónde no es posible decir nada sobre un fenómeno. Se desconoce totalmente lo que se sucede y sólo podemos establecer sus valores mínimos y máximos, decimos que el patrón de comportamiento del fenómeno obedece a una distribución uniforme: ò = 7 4 dx P(A) = P(4 < x < 7) 9 1 1 3 P(A) =

Distribuciones Continuas Especiales Distribución Uniforme: Dada la función de densidad La función de Distribución es

Notación: X  U( a , b )

Distribuciones Continuas Especiales 2. Distribución Normal F(x) : No tiene expresión analítica

Estandarización Notación: X  N(  , 2 ) Haciendo  N( 0 , 1 ) se tiene que: y FZ(z) se obtiene de tablas !

Distribuciones Continuas Especiales 3. Distribución Rayleigh

Distribuciones Continuas Especiales 4. Distribución Gamma

Función Densidad de Probabilidades

Distribuciones Continuas Especiales 5. Distribución Chi-Cuadrado Evaluando en Gamma Se llega a que X  2(n)   ( n/2 , 2 )

Distribuciones Continuas Especiales 6. Distribución Beta X   ( r , s ) ssi

Función Densidad de Probabilidades