PROF: JAIME QUISPE CASAS I.E.P.Nº 2874 Ex 451 2013 CIRCUNFERENCIA TEORÍA PROPIEDADES – PROBLEMAS RESUELTOS PROF: JAIME QUISPE CASAS I.E.P.Nº 2874 Ex 451 2013

CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométrico de un conjunto de infinitos puntos que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo llamado CENTRO CÍRCULO.- Es el conjunto formado por la unión de la circunferencia y su región interior.

ELEMETOS DE LA CIRCUNFERENCIA 1.- CENTRO.- Es el punto fijo que se encuentra a la misma distancia de cualquier punto de la circunferencia  Centro

2.- RADIO.- Es el segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia y se representa por R o r  O A R OA : RADIO

3.- DIÁMETRO.- Es el segmento que une los dos puntos de la circunferencia y que pasa por su centro. El diámetro contiene a dos veces el radio  AB = 2R R R A B O AB : DIÁMETRO

4.- TANGENTE.- Es una recta que tiene un punto común con la circunferencia. Al punto común se le llama punto de tangencia  O L   T  Punto de tangencia

5.- SECANTE.- Es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos  O L Q P  

6. - CUERDA. - Segmento que une dos puntos de la circunferencia 6.- CUERDA.- Segmento que une dos puntos de la circunferencia. La máxima cuerda es la circunferencia.  O Q PQ: CUERDA P

7.- ARCO.- Es una porción de la circunferencia comprendido entre dos puntos. ARCO:=AB B

8.- FLECHA o SAGITA.- Segmento perpendicular a una cuerda en su punto medio.   N Q  O   M P

ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA Flecha o sagita Q  P Recta secante Cuerda PQ Radio Arco BQ A B  Diámetro AB ( ) Centro T  Punto de tangencia Recta tangente

01.- El radio es perpendicular a la recta tangente. PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 01.- El radio es perpendicular a la recta tangente. R L

02.- Arcos comprendidos entre cuerdas paralelas son congruentes. B C D

03.- Un radio perpendicular a una cuerda, divide la cuerda y al arco correspondiente en partes congruentes P Q M N R O

04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes. A B C D O

05.- Por un punto exterior a una circunferencia sólo se pueden trazar dos tangentes, estas tangentes son congruentes. B  A    O Si “o” es centro entonces AO es bisectriz del BAC C

06.- Las cuerdas equidistantes del centro son congruentes. B O C d1 d2 A D  

TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa más el doble del inradio. a b c Inradio r Circunradio R a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r )

a + c = b + d TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados opuestos son iguales. d a b c Cuadrilátero circunscrito a + c = b + d

POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS 1.- Dos circunferencias se dicen concéntricas cuando poseen un centro común y sus radios son diferentes, siendo interior la de radio menor; y exterior la que posee el radio mayor. R r La distancia entre los centros es cero

02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común. Distancia entre los centros (d) d > R + r

03. - CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES 03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un punto común que es la de tangencia. Punto de tangencia R r R r Distancia entre los centros (d) d = R + r

d = R - r R r R d 04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un punto en común que es la de tangencia. Punto de tangencia R r R d d = R - r d: Distancia entre los centros

R r ( R – r ) < d < ( R + r ) 05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes que son las intersecciones. R r Distancia entre los centros (d) ( R – r ) < d < ( R + r )

06. - CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES 06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son perpendiculares en el punto de intersección. R r Distancia entre los centros (d) d2 = R2 + r2

06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes. d d < R - r d: Distancia entre los centros

PROPIEDADES DE LAS TANGENTES 1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes. A B R  P AP = PB

2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes B R r C D AB = CD

3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes. B R C D r AB = CD