LOGICA Y DEMOSTRACIONES LA LÓGICA ES EL ESTUDIO DEL RAZONAMIENTO; EN PARTICULAR, SE ANALIZA SI UN RAZONAMIENTO ES CORRECTO. LA LÓGICA SE CENTRA EN LAS RELACIONES ENTRE LOS ENUNCIADOS Y NO EN EL CONTENIDO DE UN ENUNCIADO PARTICULAR.

POR EJEMPLO, CONSIDÉRESE EL SIGUIENTE ARGUMENTO: -Todos las matemáticos utilizan sandalias. -Cualquier persona que utilice sandalias es algebrista. -Por tanto, todos los matemáticos son algebristas.  

PRINCIPIO LA LÓGICA CONSIDERA QUE UN RAZONAMIENTO QUE PARTE DE ALGO VERDADERO: ES VERDADERO SI SE LLEGA A ALGO VERDAERO; Y LO CONSIDERA FALSO CUANDO SE LLEGA A ALGO FALSO. LOS RAZONAMIENTOS QUE PARTEN DE ALGO FALSO, SIEMPRE SON CONSIDERADOS COMO VERDAEROS

EJERCICIOS SI 3+3=6, ENTONCES 6-3=3 SI 3+3=6, ENTONCES 6-3=2

PROPOSICIONES ¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero o falso? a) Los únicos enteros positivos que dividen a 7 son 1 y el propio 7. b) Alfred Hitchcock ganó un Premio de la Academia en 1940 por dirigir Rebecca. c) Para todo entero positivo n, existe un número primo mayor que n. d) La Tierra es el único planeta en el universo que tiene vida. e) Compre dos boletos para el concierto de rock de Unhinged Universe para el viernes.

PROPOSICIONES (definición) Una afirmación que es verdadera o falsa, pero no ambas, es una proposición. Utilizaremos letras minúsculas, como p, q y r, para representar las proposiciones. También utilizaremos la notación p: 1+1=3 para indicar que p es la proposición 1+1=3.

PROPOSICIÓN SIMPLE UNA PROPOSICIÓN QUE CONTIENE UN SOLO SUJETO, UN SOLO PREDICADO Y LA CARACTERÍSTICA DEL PREDICADO APARECE EN FORMA AFIRMATIVA PARA EL SUJETO, ES LLAMADA PROPOSICIÓN SIMPLE.

PROPOSICIONES SIMPLES EL AGUA ES UN ELEMENTO LA TIERRA ES REDONDA LA COMPUTADORA ES ÚTIL EN LA CIENCIA. 2 MÁS 2 ES IGUAL A 4 EL BITE ES LA UNIDAD MÍNIMA DE COMUNICACIÓN

PROPOSICIONES COMPUESTAS UNA PROPOSICIÓN QUE NO ES SIMPLE SE LLAMA FINCIÓN COMPUESTA EJEMPLOS JUAN Y PEDROS SON HERMANOS EL AIRE NO ESTÁ CONTAMINADO

LA PELEA ES DIFICÍL E INJUSTA EL AGUA Y EL ACEITE NO SE MEZCLAN LA HISTORIA Y SOCIOLOGÍA SON INOPERANTES.

CONJUNCIÓN( ) Definición Sean p y q proposiciones. La conjunción de p y q, denotada por p q, representa la proposición ocurre p y ocurre q. La disyunción de p y q, denotada por p q, representa la proposición ocurre p o ocurre q. Las proposiciones (como p q y p q) resultantes de combinar proposiciones simples son proposiciones compuestas.

EJEMPLO Si p: 1+1=3, q: Un decenio tiene 10 años, entonces la conjunción de p y q es p q: 1+1=3 y un decenio tiene 10 años.   La disyunción de p y q es p q: 1+1=3 o un decenio tiene 10 años.

TABLA DE VERDAD El valor de verdad de la proposición compuesta p q queda definido mediante la tabla de verdad. p q p q V F

EJEMPLO Si p: 1+1=3, q: Minneápolis es la capital de Minnesota, entonces p y q son falsas y la conjunción p q: 1+1=3 y Minneápolis es la capital de Minnesota es falsa.

EJEMPLO Si p: 1+1=3 q: Un decenio tiene 10 años, dado que p es falsa, q es verdadera, entonces la conjunción p q: 1+1=3 y un decenio tiene 10 años es falsa.

EJEMPLO Si p: Benny Goodman grabó música clásica, q: Los Orioles de Baltimore eran los Cafés de San Luis, entonces p y q son verdaderas. Luego p q: Benny Goodman grabó música clásica y lo Orioles de Baltimore eran los Cafés de San Luis es verdadera.

TABLA DE VERDAD El valor de verdad de la proposición compuesta p q se define mediante la tabla de verdad p q p q V F

Si p: 1+1=3, q: Un decenio tiene 10 años, entonces p es falsa, q es verdadera, y la disyunción p q: 1+1=3 o un decenio tiene 10 años es verdadera.  

EJEMPLO Si p: Benny Goodman grabó música clásica, q: Los Orioles de Baltimore eran los Cafés de San Luis, entonces p y q son ambas verdaderas y la disyunción p q: Benny Goodman grabó música clásica o los Orioles de Baltimore eran los Cafés de San Luis también es verdadera.

EJEMPLO Si p: 1+1=3, q: Minneápolis es la capital de Minnesota, entonces p y q son falsas y la disyunción p q: 1+1=3 o Minneápolis es la capital de Minnesota es falsa.

NEGACION La negación de p, denotada por p, es la proposición no p. El valor de verdad de la proposición p se define mediante la tabla de verdad p V F

EJEMPLO Si p: Cary Grant estelarizó Rear Window, entonces la negación de p es la proposición p: No es cierto que Cary Grant haya estelarizado Rear Window.

EJEMPLO Sean p: Blas Pascal inventó varias máquinas calculadoras, q: la primera computadora digital completamente electrónica fue construida en el siglo XX. r: el valor del número pi se calculó hasta 1 millón de cifras decimales en 1954. Representar la proposición Blas Pascal inventó varias máquinas calculadoras y no es cierto que la primera computadora digital completamente electrónica haya sido construida en el siglo XX; o bien el valor de pi se calculó hasta 1 millón de cifras decimales en 1954, en forma simbólica y determinar si es verdadera o falsa.

La proposición puede escribirse en forma simbólica como (p q) r La proposición puede escribirse en forma simbólica como (p q) r. (p q) r = (V V) F = (V F) F = F F = F. Por tanto, la proposición dada es falsa

TABLA DE VERDAD UNA TABLA DE VERDAD PARA UN PROPOSICION, CONSISTE EN ANALIZAR EL VALOR DE VERDAD O FALSEDAD PARA DICHA PROPOSICION, EN TODAS LAS POSIBLES COMBINACIONES DE VERDAD O FALSEDAD DE LAS PROPOSICIONES SIMPLES QUE LA CONSTITUYEN

EJEMPLO p q r CONTRUYA LA TABLA DE VERDAD DE LA PROPOSICION (p q) r PASO 1 SE CONSTRUEN LAS COMBINACIONES POSIBLES DE VALOR DE VERDAD PARA CAD PROPOSICIÓN SIMPLE p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F

PASO DOS ((p q) r) p q r q (P q) (p q) r V V V F F V V V F F F F V F V V V V V F F V V V F V V F F V F V F F F F F F V V F V F F F V F F

EJERCICIOS I DETERMINE SIN SON PROPOSICIONES 1 Mesero, ¿puede traer las nueces? Es decir, ¿puede servir las nueces a los invitados? 2.La frase “Hazlo de nuevo, Sam” aparece en la película Casablanca. II CONSTRUYA LA TABLA DE VERDAD 3. ( (p q)) ( p r) 4. (p r) (q r) (r p) 5. ( p q) p 6. (p q) ( p q) ((p q) ( p q))

PROPOSICIONES CONDICIONALES Y EQUIVALENCIA LÓGICA Si p y q son proposiciones, la proposición compuesta, si p entonces q, es una proposición condicional y se denota p q   La proposición p es la hipótesis (o antecedente) y la proposición q es la conclusión (o consecuente)

EJEMPLO Enuncie cada proposición en forma de una proposición condicional (a)    María será una buena estudiante si estudia mucho. (b)   Juan puede cursar cálculo sólo si está en su segundo, tercer o cuarto año de estudio de licenciatura. (c)    Cuando cantas, me duelen los oídos. (d)   Una condición necesaria para que los Cachorros ganen la Serie Mundial es que consigan un lanzador relevista derecho. (e) Una condición suficiente para que Juán visite California es que vaya a Disneylandia.

(a) María será una buena estudiante si estudia mucho (a)    María será una buena estudiante si estudia mucho.   Si María estudia mucho, entonces será una buena estudiante.

(b)   Juan puede cursar cálculo sólo si está en su segundo, tercer o cuarto año de estudio de licenciatura. Si p entonces q, es considerada desde el punto de vista lógico como igual a p sólo si q (sólo si se considera la conclusión). Una formulación equivalente es Si Juan cursa cálculo, entonces está en su segundo, tercer o cuarto año de estudio de licenciatura.

(c) Cuando cantas, me duelen los. oídos (c)    Cuando cantas, me duelen los oídos.  Si cantas, entonces me duelen los oídos

(d) Una condición necesaria para que los (d)   Una condición necesaria para que los Cachorros ganen la Serie Mundial es que consigan un lanzador relevista derecho. Si los cachorros ganan la serie mundial, entonces han contratado un lanzador relevista derecho.

(e) Una condición suficiente para que Juán visite California es que vaya a Disneylandia. Si Juán va a Disneylania, entonces estará visitando California.

TABLA DE VERDAD p q p q V F

EJEMPLO Sean p: 1>2, q: 4<8. Entonces p es falsa y q es verdadera. Por tanto, p q es verdadera y q p es falsa.

EJERCICIO Construya la tabla de verdad cada proposición. (a) (b) (c)

PROPOSICION BICONDICIONAL Si p y q son proposiciones, la proposición compuesta p si y sólo si q es una proposición bicondicional y se denota

TABLA DE VERDAD p q p q V F

EJEMPLO La afirmación 1<5 si y sólo si 2<8 puede escribirse de manera simbólica como Si definimos p: 1<5, q:2<8 Como p=V y q=V, la afirmación es verdadera.

EJERCICIO CONSTRUYA LA TABLA DE VERDAD DE LA PROPOSICIÓN (p q) r

PROPOSICIONES EQUIVALENTES Supongamos que las proposiciones compuestas P y Q están formadas por las proposiciones p1,...,pn. Decimos que P y Q son lógicamente equivalentes y escribimos P Q, Siempre la proposición P Q sea verdadera (tautología) para cualquier valor de verdad de P y Q.

LEYES DE MORGAN a) p q V F

V F q p