LOGO Poliedros PEDRO GODOY GOMEZ

LOGO CUERPOS SÓLIDOS  Un cuerpo sólido es todo lo que ocupa lugar en el espacio.  Los cuerpos geométricos pueden ser de dos clases: o formados por caras planas (poliedros), o teniendo alguna o todas sus caras curvas (cuerpos redondos).

LOGO Actividad ¿Qué características comunes ves a todos ellos?

LOGO DEFINICIÓN  Estos cuerpos se llaman poliedros y podemos decir de forma simplificada que son sólidos limitados por caras en forma de polígonos.

LOGO Ángulos diedros Dos planos que se cortan, dividen el espacio en cuatro regiones. Cada una de ellas se llama ángulo diedro o simplemente diedro. Las caras del diedro son los semiplanos que lo determinan y la recta común a las dos caras se llama arista.

LOGO  Si son tres planos los que se cortan, se le llama triedro, si cuatro, tetraedro, si cinco, pentaedro, etc.  Al punto común se le llama vértice.

LOGO Actividad  Observa los siguientes poliedros. Si los sitúas en un plano, observa que hay dos que no se pueden apoyar sobre todas sus caras. ¿Cuáles son?

LOGO DEFINICIÓN  A los poliedros que tienen alguna cara sobre la que no se pueden apoyar, se les llama cóncavos y a los demás convexos. Nosotros vamos a trabajar siempre, salvo que se indique lo contrario, con poliedros convexos.

LOGO Actividad  En la figura siguiente tienes pintado un poliedro. En él se te indican algunos elementos característicos. a. ¿Cómo definirías cada uno de estos elementos? b. ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene este poliedro? c. ¿Cuántas caras se habrán de juntar en un vértice como mínimo?

LOGO FÓRMULA DE EULER (1750)  En los poliedros de la figura, cuenta el número de caras, vértices y aristas y escríbelos en la tabla. ¿Encuentras alguna relación entre C, V y A?

LOGO CONCLUSIÓN  En todos los poliedros convexos se verifica siempre que el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos: C + V = A + 2

LOGO SOLIDOS EN REVOLUCION

LOGO POR TRASLACION

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 Hay otros elementos en los poliedros que debes conocer: ¿Cómo definirías la diagonal de un poliedro? ¿Y el plano diagonal? ¿Cuál es el número de diagonales y de planos diagonales del poliedro anterior?

LOGO POLIEDROS REGULARES  Se les conoce con el nombre de sólidos platónicos en honor a Platón (siglo IV a. de C.), pero lo cierto es que no se sabe en qué época llegaron a conocerse. Algunos investigadores asignan el cubo, tetraedro y dodecaedro a Pitágoras y el octaedro e icosaedro a Teeteto ( a. de C.)

LOGO DEFINICIÓN  Un poliedro es regular si todas sus caras son regulares e iguales y todos sus vértices son del mismo orden.

LOGO TETRAEDRO REGULAR  Formado por tres triángulos equiláteros. Es el que tiene menor volumen de los cinco en comparación con su superficie. Representa el fuego. Está formado por 4 caras, 6 aristas y 4 vértices. FUEGO

LOGO OCTAEDRO REGULAR  Formado por ocho triángulos equiláteros. Gira libremente cuando se sujeta por vértices opuestos. Por ello, representa al aire en movimiento. Está formado por 8 caras, 12 aristas y 6 vértices. AIRE

LOGO ICOSAEDRO REGULAR  Formado por veinte triángulos equiláteros. Es el tiene mayor volumen en relación con su superficie y representa al agua. Tiene 20 caras, 30 aristas y 12 vértices. AGUA

LOGO HEXAEDRO REGULAR O CUBO  Formado por seis cuadrados. Permanece estable sobre su base. Por eso representa la tierra. Está formado por 6 caras, 12 aristas y 8 vértices. TIERRA

LOGO DODECAEDRO REGULAR  Formado por doce pentágonos regulares. Corresponde al Universo, pues sus doce caras pueden albergar los doce signos del Zodiaco. Tiene 12 caras, 30 aristas y 20 vértices. EL UNIVERSO

LOGO DESARROLLO DE POLIEDROS  Si en un poliedro cortamos por un número suficiente de aristas de forma que quede una sola pieza y la extendemos en el plano, obtenemos un desarrollo del poliedro.

LOGO Un desarrollo de cada sólido platónico

LOGO PRISMAS  Un prisma es un poliedro limitado por dos caras iguales y paralelas (bases) y tantos paralelogramos (caras laterales) como lados tienen las bases

LOGO 1. ¿Qué objetos reales te sugieren la idea de prisma? 2. ¿Cómo definirías cada uno de los elementos especificados en la figura? 3. Si los polígonos de la base son regulares, el prisma se llama regular. 4. ¿Incluirías los prismas regulares entre los poliedros regulares?

LOGO  Un prisma se llama recto cuando sus aristas laterales son perpendiculares a las bases y oblicuo en caso contrario. La altura de un prisma será el segmento de perpendicular a las bases comprendido entre estas. Si la base del prisma es un triángulo, el prisma se llamará triangular; si es un cuadrado, se llamará cuadrangular, etc.

LOGO  Hay unos prismas especialmente interesantes dentro de los prismas cuadrangulares. Estos son los paralelepípedos llamados así porque los cuadriláteros de las bases son paralelogramos. Si el paralelepípedo es recto y los paralelogramos de las bases son rectángulos, éste recibe el nombre de paralelepípedo rectángulo u ortoedro.

LOGO PIRÁMIDES  Cuando cortamos un ángulo poliedro por un plano, se obtiene un cuerpo geométrico llamado pirámide. En la figura se indican los elementos más notables de una pirámide. ¿Cómo definirías cada uno de ellos? ¿Es una pirámide un poliedro regular?

LOGO  Las pirámides se puede clasificar de forma análoga a los prismas. Así, hay pirámides rectas y oblicuas, según que el centro del polígono de la base coincida o no con el pie de la altura de la pirámide, y regulares e irregulares, según que el polígono de la base sea o no regular. Así mismo, según el número de lados del polígono de la base, la pirámide será triangular, cuadrangular, pentagonal, etc.

LOGO TRONCO DE PIRÁMIDE  Si cortamos una pirámide por un plano, obtenemos un tronco de pirámide, que será recto u oblicuo, según que el plano sea o no paralelo a la base. Fíjate en que las caras laterales de un tronco de pirámide son trapecios y cuando éste es regular, entonces los trapecios son isósceles iguales y su altura coincide con la apotema del tronco de pirámide. Por otra parte, las bases son polígonos semejantes.

LOGO VOLUMEN  EQUIVALE AL ESPACIO OCUPADO POR UN CUERPO EN EL ESPACIO, DICHO ESPACIO SE MIDE POR UNIDADES CUBICAS, ES DECIR, EQUIVALE A CALCULAR LA CANTIDAD DE CUBOS DE UNA UNIDAD QUE CABE EN ESE CUERPO.

LOGO Volumen de un ortoedro Queremos calcular el volumen de una caja que tiene 10 cm de largo, 5 cm de ancho y 3 cm de alto. Se trataría de hallar el número de cubos de arista 1 cm que caben dentro.

LOGO Para el cálculo de un prisma cualquiera, tendremos en cuenta el PRINCIPIO DE CAVALIERI. Si dos cuerpos tienen la misma altura y las áreas de las secciones que produce en ambos un mismo plano paralelo a las bases coinciden, los cuerpos tienen el mismo volumen.

LOGO Según lo anterior (Principio Cavalieri) el volumen del prisma es:

LOGO Obs: Si una pirámide P está inscrita en un prisma entonces

LOGO TRONCO DE PIRÁMIDE

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DADO LO ANTERIOR EL VOLUMEN DE UN PRISMA NOS DEBE AYUDAR A OBTENER EL VOLUMEN DE UN COLINDRO

LOGO En caso del cono lo mismo que la pirámide

LOGO Esfera

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