Sistemas de Ecuaciones Lineales

Métodos de Resolución del sistema

Método Gráfico La idea es que este proceso se haga para las dos ecuaciones, ya que gracias a estos 2 datos, se puede encontrar la solución mediante la intersección de las 2 rectas. ¿Y cómo? Como prerrequisito para esta unidad, debiésemos saber como graficar una recta en el plano cartesiano. Así es que, el método de resolución de ecuaciones lineales por medio de gráficas, corresponde a 3 pasos muy sencillos: Despejar la y en cada ecuación dejando a la ecuación escrita de la forma principal. Grafica ambas rectas en el mismo plano cartesiano. Busca el punto de intersección de ambas rectas. ¡Esa es la solución!

Método Gráfico A: x + y = 4 , Ej: Dado el sistema: x + y = 4. Interprete gráficamente su solución Solución: 1. Llamaremos: A: x + y = 4 , B: x – y =4. Despejando y , en A y B: A: y = -x + 4 B: y = x – 4 2. Luego, observamos que mA = -1 y mB = 1 y que nA = 4 y nB = -4. La gráfica entonces resulta de la siguiente manera: 3. Observamos que el punto de intersección de las rectas es (0,4).

Método de Igualación Consiste en transformar en otro equivalente en el que las dos ecuaciones se expresan con la misma incógnita despejada; en un segundo paso se sustituye una de las ecuaciones por la igualdad entre los "valores de la anterior incógnita, quedando así una ecuación con una incógnita. Ej: Resolver el sistema: Esto significa, encontrar el punto de intersección entre las rectas dadas, de las cuales se conoce su ecuación. Despejamos una de las dos variables en las dos ecuaciones, con lo cual tenemos un sistema equivalente (en este caso elegimos y):

Método de Igualación Recordamos que al tener dos ecuaciones, si los primeros miembros son iguales los segundos también lo son, por lo tanto: Luego: Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos la segunda):

Método de Igualación Operamos para hallar el valor de y: y=2 Verificamos, en ambas ecuaciones, para saber si realmente (x ; y) = (4;2): Ahora sí, podemos asegurar que x= 4 e y = 2

Método de Reducción Consiste en transformar el sistema dado, en otro equivalente, en el cual, la primera ecuación se expresa con una incógnita despejada, y en la segunda se sustituye esta incógnita por su "valor", quedando así una ecuación con una incógnita. Ej: Resolver el sistema: Despejamos una de las variables en una de las ecuaciones (en este caso elegimos y en la primera ecuación): Y la reemplazamos en la otra ecuación:

Método de Reducción Operamos para despejar la única variable existente ahora: Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos arbitrariamente la primera):

Método de Reducción Hallamos la respuesta x=4, y = 2, obviamente igual que en el caso anterior. No verificaremos, dado que ya sabemos que esta respuesta es correcta.

Método de Sustitución Consiste en hacer transformaciones de equivalencia hasta conseguir, sumando miembro a miembro, que con la primera ecuación se anule el coeficiente de la primera incógnita de la segunda ecuación y así la segunda ecuación queda reducida a una ecuación con una incógnita. Ej: Resolver el sistema: El objetivo es eliminar una de las incógnitas, dejándolas inversas aditivas, sabiendo que una igualdad no cambia si se la multiplica por un número. También sabemos que una igualdad no se cambia si se le suma otra igualdad. Si se quiere eliminar la x, ¿por qué número debo multiplicar a la segunda ecuación, para que al sumarla a la primera se obtenga cero?

Método de Sustitución -7y = -14 y = 2 La respuesta es -2. Veamos: Con lo que obtenemos: Y la sumamos la primera obteniéndose: -7y = -14 y = 2

Método de Sustitución Reemplazar el valor obtenido de y en la primera ecuación: Y finalmente hallar el valor de x: