Taller: Aprendizaje de Triángulos Isidro Huesca Zavaleta

Contenido Clasificación. Congruencia y semejanza. Rectas y puntos notables. Solución de triángulos rectángulos. Solución de triángulos oblicuángulos.

Un poco de historia de la geometría La geometría surge, de acuerdo al historiador Proclo, en Egipto ya que era utilizada en la medición de áreas de los terrenos que se encontraban en la rivera del río Nilo. Casi al mismo tiempo en que surgía la geometría en Egipto también surgió en Mesopotamia (Babilonios, Sumerios, Acadios, Asirios, etc.)

Un poco de historia de la geometría Es por lo anterior que podemos decir que la geometría, como otras ciencias, tiene su origen en las necesidades cotidianas de los seres humanos. Más tarde, los conocimientos geométricos que se tenían en Egipto y Babilonia fueron refinados y sistematizados por los Griegos.

Un poco de historia de la geometría La historia de la geometría griega comienza en el siglo VI a.C. con Tales de Mileto y Pitágoras, los cuales viajaron a Egipto y Babilonia para adquirir los conocimientos que se tenían en esas tierras, estos conocimientos fueron adquiridos por los griegos, que a su vez, contribuyeron a la matemática con un razonamiento lógico por medio de un enfoque inductivo y deductivo. Tales de Mileto Pitágoras

Euclides y los elementos Hacia el año 300 a.C. un matemático griego que vivió en Alejandría llamado Euclides (330-275 a.C.) sistematizó la geometría que se conocía, hasta ese entonces, estableciendo definiciones, axiomas, y postulados a partir de los cuales se van sucediendo los teoremas. Todo esto fue mostrado en su obra Los Elementos

Euclides y los elementos Los Elementos es una obra que consta de 13 libros. Del libro I al IV se exponen fundamentos y teorías de la geometría plana. En los libros V y VI se presenta la teoría de las proporciones abstractas y figuras geométricas semejantes y proporcionales.

El triángulo El triángulo es el polígono más sencillo, en él se consideran tres lados (𝑎, 𝑏 y 𝑐), tres vértices (𝐴, 𝐵 y 𝐶), tres ángulos interiores (𝛼, 𝛽 y 𝛾) y tres ángulos exteriores (ω, 𝜑 y θ). 𝑨 𝝎 𝜶 𝒄 𝒃 𝜽 𝜷 𝜸 𝑩 𝒂 𝑪 𝝋

Clasificación de los triángulos De acuerdo a la longitud de sus lados: Triángulo escaleno Triángulo equilátero Triángulo isósceles De acuerdo a la medida de los ángulos internos: Triángulo obtusángulo Triángulo rectángulo Triángulo acutángulo

Congruencia Dos triángulos son congruentes si tienen sus lados correspondientes y sus ángulos correspondientes tienen las misma medida. Para la geometría la congruencia es lo que para la aritmética es la igualdad. La congruencia se denota por el símbolo: ≅, así se tiene que ∆ 𝐴𝐵𝐶≅∆ 𝐴 ′ 𝐵 ′ 𝐶′

Congruencia Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen la misma medida. A 𝒃 𝒃 A’ 𝒄 𝒄 C 𝒂 𝒂 C’ B B’

Congruencia Dos triángulos son congruentes si dos de sus lados correspondientes tienen la misma medida y el ángulo que forman tienen la misma magnitud. A A’ 𝒃 𝒃 C C’ 𝜶 𝜶 𝒄 𝒄 𝒂 B B’

Congruencia Dos triángulos son congruentes si dos de sus ángulos correspondientes tienen la misma medida y el lado correspondiente que está entre los ángulos tienen la misma magnitud. A A’ 𝜶 𝜶 𝒃 𝒃 C C’ 𝜷 𝜷 B B’

Semejanza Se dice que dos triángulos son semejantes si sus lados correspondientes son proporcionales y sus ángulos homólogos son congruentes. La semejanza se denota por el símbolo: ≈, así se tiene que ∆ 𝐴𝐵𝐶≈∆ 𝐴 ′ 𝐵 ′ 𝐶′

Semejanza Dos triángulos son semejantes si sus ángulos homólogos son congruentes. A 𝒃 C 𝒄 A’ 𝑘𝑏 𝑘𝑐 C’ 𝒂 𝑘𝑎 B B’

Semejanza Dos triángulos son semejantes si dos de sus lados correspondientes son proporcionales y los ángulos homólogos que forman son congruentes. A 𝒃 C 𝒄 𝒂 A’ 𝒌𝒃 B C’ 𝒌𝒄 𝒌𝒂 B’

Semejanza Dos triángulos son semejantes si sus lados correspondientes son proporcionales. A 𝒃 A’ B’ C’ 𝒌𝒄 𝒌𝒃 𝒌𝒂 𝒄 C 𝒂 B

Altura de un triángulo Altura: Es la recta que pasa por el vértice y que es perpendicular al lado opuesto, ésta es la distancia más corta entre el vértice y el lado opuesto. Tracemos las alturas de un triángulo. Para ello, trazamos desde los vértices rectas perpendiculares al lado opuesto. El punto donde se intersecan las 3 alturas se llama ortocentro A B C

Mediana de un triángulo Cada mediana divide al triángulo en dos regiones con igual área. Mediana: Es la recta que pasa por el vértice y por el punto medio del lado opuesto al vértice. Vamos a trazar las medianas del triángulo Las medianas de un triángulo concurren en un punto llamado Baricentro o centro de gravedad y este es el punto de equilibrio del triángulo. A C B

Mediatriz de un segmento La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por el punto medio del segmento y que es perpendicular a éste. Así que es posible trazar las mediatrices de los lados del triángulo Ahora, un triángulo está formado por tres segmentos. A B

Mediatrices de un triángulo Las mediatrices concurren en un punto llamado circuncentro y su distancia a cualquiera de los vértices es la misma. Trazamos las mediatrices del triangulo A B C

Bisectriz de un ángulo La bisectriz de un ángulo es la línea que pasa por el vértice y divide al ángulo en dos ángulos iguales. a

Bisectriz El incentro es el centro de una circunferencia inscrita al triángulo 𝐴𝐵𝐶 . La distancia (perpendicular) del incentro a cada lado del triángulo es la misma y se llama inradio. Las bisectrices internas de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro. La bisectriz del ángulo 𝐶𝐴𝐵 en el triángulo 𝐵𝐶𝐴 es la recta que pasa por el vértice A y divide al ángulo 𝐶𝐴𝐵 en dos ángulos iguales. C B A B A C a a 𝜽 𝜸 g I b b

Solución de triángulos rectángulos Resolver un triángulo rectángulos es calcular cada una de las longitudes de sus lados y las magnitudes de sus ángulos. 𝜷 𝒂 𝒄 𝟗𝟎° 𝜶 𝒃 Para resolver un triángulo rectángulo es necesario contar con: Longitud de dos lados Longitud de un lado y magnitud de un ángulo (distinto del recto).

Solución de triángulos rectángulos El área del cuadrado del lado de la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados del los catetos Solución de triángulos rectángulos Si se tiene la longitud de dos de los lados de un triángulo rectángulo se puede utilizar el teorema de Pitágoras para calcular la longitud del tercero. 90° Cateto(𝑎) Hipotenusa(𝑐) Cateto(𝑏) 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 =𝒄

Solución de triángulos rectángulos Si se tiene la longitud de un lado y la magnitud de un ángulo, distinto del recto, de un triángulo rectángulo se puede utilizar alguna de las razones trigonométricas para calcular la longitud de otro lado. 𝒄 Asignamos literales a los lados del triángulo y al ángulo 𝒂 𝑆𝑒𝑛 𝛼= 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 𝑎 𝑐 Cateto Opuesto Hipotenusa 𝐶𝑜𝑠 𝛼= 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 𝑏 𝑐 𝜶 Ángulo Cateto Adyacente 𝑇𝑎𝑛 𝛼= 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑎 𝑏 𝒃 1 𝑆𝑒𝑛 𝛼 = 1 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 1 𝑎 𝑐 = 𝑐 𝑎 =𝐶𝑠𝑐 𝛼 1 𝑇𝑎𝑛 𝛼 = 1 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 = 1 𝑎 𝑏 = 𝑏 𝑎 =𝐶𝑜𝑡 𝛼 1 𝐶𝑜𝑠 𝛼 = 1 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 1 𝑏 𝑐 = 𝑐 𝑏 =𝑆𝑒𝑐 𝛼

Solución de triángulos rectángulos La suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es de 180° 𝑨 Podemos concluir que: 𝜶+𝜷+𝜽=𝟏𝟖𝟎° 𝜷 𝛼 𝜽 𝜷 𝑪 𝛼 𝑩

Solución de triángulos oblicuángulos Un triángulo oblicuángulo es aquel que no tiene un ángulo recto. Al igual que con el triángulo rectángulo, resolver un triángulo oblicuángulo significa calcular cada uno de los valores de sus lados y de sus ángulos. 𝒂 𝜷 𝒄 𝜽 𝒃 𝜶 Para resolver un triángulo oblicuángulo es necesario contar con: La longitud de un lados y la magnitud de dos ángulos internos. La longitud de dos lados y la magnitud del ángulo interno que forman. La longitud de los tres lados del triángulo.

⇒ Solución de triángulos oblicuángulos Ley de Senos 𝑪 𝒃 𝒂 𝒉 𝑨 𝑩 𝒄 Se tiene lo siguiente: Ley de Senos 𝑪 𝑠𝑒𝑛 𝐴 = ℎ 𝑏 ⇒ 𝑏∗𝑠𝑒𝑛 𝐴 =ℎ 𝑠𝑒𝑛 𝐵 = ℎ 𝑎 𝑎∗𝑠𝑒𝑛 𝐵 =ℎ 𝒃 𝒂 𝑏∗𝑠𝑒𝑛 𝐴 =ℎ=𝑎∗𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝒉 𝑏∗𝑠𝑒𝑛 𝐴 =𝑎∗𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑏∗𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑎∗𝑏 = 𝑎∗𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑎∗𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑎 = 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑏 𝑨 𝑩 𝒄 Debido a que esto se puede realizar con el ángulo 𝑪, se concluye que 𝒔𝒆𝒏 𝑨 𝒂 = 𝒔𝒆𝒏 𝑩 𝒃 = 𝒔𝒆𝒏 (𝑪) 𝒄

⇒ Solución de triángulos oblicuángulos Ley de Cosenos 𝑪 𝒃 𝒂 𝒉 𝑨 𝒄 𝑫 𝑩 Debido a que el triángulo 𝐴𝐷𝐶 es rectángulo se cumple 𝑪 𝑏 2 = ℎ 2 + 𝐴𝐷 2 como 𝐴𝐷=𝑐−𝐷𝐵 𝑏 2 = ℎ 2 + 𝑐 2 + 𝐷𝐵 2 −2𝑐 𝐷𝐵 ℎ 2 + 𝑐 2 −2𝑐 𝐷𝐵 + 𝐷𝐵 2 ℎ 2 + 𝑐−𝐷𝐵 2 Del triángulo 𝐵𝐷𝐶 se tiene 𝒃 𝒂 ℎ 2 + 𝐷𝐵 2 = 𝑎 2 ⇒ 𝐷𝐵 2 = 𝑎 2 − ℎ 2 𝒉 𝐷𝐵 𝑎 =𝑐𝑜𝑠 𝐵 𝐷𝐵=𝑎∗𝑐𝑜𝑠 𝐵 Realizando lo mismo con los lados 𝒂 y 𝒄 se concluye Sustituyendo las últimas expresiones: 𝑨 𝒄 𝑫 𝑩 𝒂 𝟐 = 𝒃 𝟐 + 𝒄 𝟐 −𝟐𝒄𝒃∗𝒄𝒐𝒔⁡ (𝑨) 𝑏 2 = 𝑐 2 + 𝑎 2 −2𝑎𝑐∗𝑐𝑜𝑠⁡ (𝐵) 𝑏 2 = ℎ 2 + 𝑐 2 + 𝐷𝐵 2 −2𝑐 𝐷𝐵 = ℎ 2 + 𝑐 2 + 𝑎 2 − ℎ 2 −2𝑐 𝑎∗𝑐𝑜𝑠⁡ (𝐵) 𝒄 𝟐 = 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 −𝟐𝒂𝒃∗𝒄𝒐𝒔⁡ (𝑪) 𝒃 𝟐 = 𝒂 𝟐 + 𝒄 𝟐 −𝟐𝒂𝒄∗𝒄𝒐𝒔⁡ (𝑩)