CLASE 3

RESUMEN REPRESENTACION DE FUNCIONES LOGICAS Una función puede ser representada en diferentes formas

TEOREMAS DE BOOLE P1 (Cerradura) P2 (P. Conmutativa) Si x, y ∈ S, entonces x + y ∈ S ; x.y ∈ S P2 (P. Conmutativa) P2. x + y = y + x P2D. xy = yx P3 (P. Asociativa) P3. x + (y + z) = (x + y) + x P3D. x(yz) = (xy)z P4 (P. Distributiva) P4. x + (yz) = (x + y)(x + z) P4D. x(y+z) = xy + xz P5 (Identidades) P5. x + 0 = x P5D. x.1=x P6 (Complemento) P6. x + 𝑥 =1 P6D. x. 𝑥 = 0

TEOREMAS DE BOOLE T1 T2 (Idempotencia) T3 (Elemento nulo) Los elementos de identidad 0 y 1 son únicos. T2 (Idempotencia) T2. x + x = x T2D. xx = x T3 (Elemento nulo) T3. x + 1 = 1 T3D. x.0 = 0 T4 (Absorción) T4. x + xy = x T4D. x.(x+y) = x T5 Cada elemento en el conjunto S tiene un único complemento. T6 (Involución) 𝑥 =𝑥 T7 (Absorción) T7. 𝑥+ 𝑥 𝑦=𝑥+𝑦 T7D. 𝑥( 𝑥 +𝑦)=𝑥𝑦

TEOREMAS DE BOOLE T8 (T. Demorgan) T9 (T. Consenso) T10 T11 T8. 𝑥+𝑦 = 𝑥 𝑦 T8D. 𝑥𝑦 = 𝑥 + 𝑦 T9 (T. Consenso) T4. 𝑥𝑦+ 𝑥 𝑧+𝑦𝑧=𝑥𝑦+ 𝑥 𝑧 T4D. (𝑥+𝑦)( 𝑥 +𝑧)(𝑦+𝑧)=(𝑥+𝑦)( 𝑥 +𝑧) T10 T10. 𝑥𝑦+𝑥 𝑦 𝑧=𝑥𝑦+𝑥𝑧 T10D. (𝑥+𝑦)(𝑥+ 𝑦 +𝑧)=(𝑥+𝑦)(𝑥+𝑧) T11 T11. 𝑥𝑦+ 𝑥 𝑧=(𝑥+𝑧)( 𝑥 +𝑦) T11D. 𝑥+𝑦 𝑥 +𝑧 =𝑥𝑧+𝑥𝑦

CONVIRTIENDO ENTRE REPRESENTACIONES Podemos convertir desde una representación cualquiera a otra. Circuito digital Ecuación Tabla de verdad

EQUIVALENCIA ENTRE FUNCIONES En el supermercado de Apus le piden diseñar un circuito para la apertura automática del mini mercado. Para el control de la puerta se tienen 3 entradas las cuales se describen a continuación: Persona detectada: Cuando una persona se acerca a la puerta y esta es detectada por un sensor la puerta se abre. Forzar apertura: Entrada que cuando esta activa fuerza a que la puerta permanezca abierta. Forzar cerrado: Entrada que cuando esta activa fuerza a que la puerta permanezca cerrada. De las dos entradas la mas prioritaria es la de cerrado de modo que cuando ambas están activas la puerta se cierra. El control funciona cuando la entrada forzar cerrado este inactiva sin importar que se si se detecta o no una persona estando la entrada forzar apertura activa o cuando se detecta una persona y ambas entradas de forzado están inactivas.

EQUIVALENCIA ENTRE FUNCIONES Análisis del problema Salida: f: abrir puerta (f=1, la puerta se abre). Entradas: p: Persona detectada. (p = 1, se detecto una persona). h: Forzar puerta abierta. (h = 1, switch para forzar apertura se activo). c: Forzar puerta cerrada. (c = 1, switch para forzar cerrado se activo). ¿Cuándo se abre la puerta? Cuando forzar abierto se active (h=1) estando forzar cerrado desactivado (c=0) y detecto una persona (p = 1). Cuando forzar abierto se active (h=1) estando forzar cerrado desactivado (c=0) y no se detecto una persona (p = 0). Cuando se detecto una persona (p=1), forzar apertura esta desactivado (h = 0) y forzar cerrado también lo esta (c = 0).

EQUIVALENCIA ENTRE FUNCIONES ¿Cuándo se abre la puerta? Cuando forzar abierto se active (h=1) estando forzar cerrado desactivado (c=0) y detecto una persona (p = 1). Cuando forzar abierto se active (h=1) estando forzar cerrado desactivado (c=0) y no se detecto una persona (p = 0). Cuando se detecto una persona (p=1), forzar apertura esta desactivado (h = 0) y forzar cerrado también lo esta (c = 0). Tabla de verdad p’hc’ Ecuación ph’c’ f = p’hc’ + ph’c’ + phc’ phc’

EQUIVALENCIA ENTRE FUNCIONES El principal objetivo del diseño de circuitos lógicos combinacionales es la construcción de circuitos utilizando el mínimo numero de compuertas y entradas desde la especificación del comportamiento del circuito. (Simplificar). f = p’hc’ + ph’c’ + phc’ f = phc’ + p’hc’ + ph’c’ Prop. Conmutativa f = hc’(p + p’) + ph’c’ Prop. Distributiva f = hc’(1) + ph’c’ Complemento f = hc’ + ph’c’ Identidad

EQUIVALENCIA ENTRE FUNCIONES f = p’hc’ + ph’c’ + phc’ f = hc’ + ph’c’ La misma función lógica puede ser especificada por dos o mas expresiones algebraicas diferentes. Comparación de las tablas de verdad de las expresiones Como comprobar equivalencia entre dos funciones? Manipulación algebraica (previamente visto)

EQUIVALENCIA ENTRE FUNCIONES Comparación de las tablas de verdad de las expresiones f = p’hc’ + ph’c’ + phc’ Iguales f = hc’ + ph’c’

EQUIVALENCIA ENTRE FUNCIONES Comparación de las tablas de verdad de las expresiones Considere dos expresiones algebraicas que definen la función 𝐹 1 𝐹 1 =𝑥𝑦+𝑥 𝑦 ′ 𝑧+ 𝑥 ′ 𝑦𝑧 𝐹 1 =𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧

EQUIVALENCIA ENTRE FUNCIONES Comparación de las tablas de verdad de las expresiones Considere dos expresiones algebraicas que definen la función 𝐹 1 𝐹 1 =𝑥𝑦+𝑥 𝑦 ′ 𝑧+ 𝑥 ′ 𝑦𝑧 𝐹 1 =𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧 =

EQUIVALENCIA ENTRE FUNCIONES Comparación de las tablas por manipulación algebraica Determine la equivalencia entre las funciones anteriormente mostradas usando manipulación algebraica. 𝐹 1 =𝑥𝑦+𝑥 𝑦 ′ + 𝑥 ′ 𝑦𝑧 𝐹 1 =𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧 xy + xy’z + x’yz = xy + xyz + xy’z + x’yz T4. Absorción = xy + xz(y + y’) + x’yz P4. P. Distributiva = xy + xz(1) + x’yz P6. Complemento = xy + xz + x’yz P5. Identidades = xy + (x + x’yz)(z+x’yz) P4. P. Distributiva = xy + (x + yz)(z+x’yz) T7. Absorcion = xy + (x + yz)(z) T4. Absorcion = xy + xz +yzz P4. P. Distributiva xy + xy’z + x’yz = xy + xz +yz T2. Idempotencia

FORMAS CANONICAS Una función lógica se puede definir mediante una tabla de verdad, sin embargo existen muchas alternativas de implementación de circuitos lógicos que tienen la misma tabla de verdad. La forma canónica es una implementación estándar para una expresión booleana. Solo hay una forma canónica para representar una función logica. La forma canónica para una función lógica puede ser representada en dos formas: SOP (Suma de productos). POS (Producto de sumas).

SUMA DE PRODUCTOS F(A,B,C) = A’B’C + A’BC + A’BC’ + ABC’ + ABC Suma de productos: Suma (OR) de términos productos (AND) , formados por varias variables complementadas o no. A’B’C A’BC F(A,B,C) = A’B’C + A’BC + A’BC’ + ABC’ + ABC A’BC’ ABC’ ABC Mintermino: Es un termino de producto en el cual cada variable aparece una sola vez en su forma complementada o no. Notación abreviada para minterminos de 3 variables

SUMA DE PRODUCTOS A’B’C A’BC A’BC’ ABC’ ABC F (A , B ,C ) = A’B’C + A’BC + A’BC’ + ABC’ + ABC 𝑭(𝑨,𝑩,𝑪)=𝒎 𝟏 + 𝒎 𝟑 + 𝒎 𝟓 + 𝒎 𝟔 + 𝒎 𝟕 𝑭 𝑨,𝑩,𝑪 = (𝟏,𝟑,𝟓,𝟔,𝟕) Cualquier función booleana puede expresarse como la suma (OR) de los minterminos correspondientes a las filas de la tabla de verdad para los cuales la función produce una salida de 1

PRODUCTO DE SUMAS F(A,B,C) = (A + B + C)(A + B’ + C)(A’ + B + C) Producto de sumas: Producto (AND) de términos sumas (OR) formados por variables complementadas o no. A + B + C A + B’ + C F(A,B,C) = (A + B + C)(A + B’ + C)(A’ + B + C) A’ + B + C Maxtermino: Es un termino de suma en el cual cada variable aparece una sola vez en su forma verdadera o complementada, pero no ambas. Notación abreviada para maxterminos de 3 variables

SUMA DE PRODUCTOS A + B + C A + B’ + C A’ + B + C F (A , B ,C ) = (A + B + C)(A + B’ + C)(A’ + B + C) 𝑭(𝑨,𝑩,𝑪)=𝑴 𝟎 + 𝑴 𝟐 + 𝑴 𝟒 𝑭 𝑨,𝑩,𝑪 = (𝟎,𝟐,𝟒) Cualquier función booleana puede expresarse como el producto (AND) de los maxterminos correspondientes a la fila de la tabla para los cuales la funcion produce una salida 0.

FORMA ESTANDAR La forma estándar de SOP o POS, es aquella en la que todas las variables aparecen en cada uno de los términos. Una suma de productos SOP es igual a 1 Si uno o mas términos productos que forman la expresión es igual a 1. Ejemplo: Evaluar la función para la secuencia ABC de 000 y 001. F(A,B,C) = A’B’C + A’BC + A’BC’ + ABC’ ABC Representación binaria de SOP El termino AB’CD’ es igual a 1 cuando A=1, B = 0, C = 1 y D = 0  ABCD = 10102 = 1010 Un producto de sumas POS es igual a 0 Si uno o mas términos suma que forman la expresión es igual a 0. Ejemplo: Evaluar la función para la secuencia ABC de 100 y 011. F(A,B,C) = (A + B + C)(A + B’ + C)(A’ + B + C) Representación binaria de POS El termino A+B’+C+D’ es igual a 0 cuando A=0, B = 1, C = 0 y D = 1  ABCD = 01012 = 510

MINTERMINOS .vs. MAXTERMINOS Es cada uno de los términos de una SOP estándar. Las variables pueden ser complementadas (A’ = 0) o no (A = 1). Una función SOP es una suma de minterminos (m). Maxterminos: Es cada uno de los términos de una POS estándar. Las variables pueden ser complementadas (A’ = 1) o no (A = 0). Una función SOP es una productoria de maxterminos (M). Ejemplo (minterminos) f(a,b,c) = a’bc’ + abc’ + a’bc+ abc 010 110 011 111 Donde: f(a,b,c)= m2+m6+m3+m7 f(a,b,c)= m (2,3,6,7) Ejemplo (maxterminos) f (a,b) = (a+b)(a’+b)(a’+b’) 00 10 11 Donde: f(a,b,c)= M0.M2.M3 f(a,b,c)= M (0,2,3)

CONVERSION A FORMA ESTANDAR DE SOP Se debe buscar la variable faltante en cada uno de los términos y agregarla, sin afectar el resultado final de la expresión. Ejemplo: La siguiente función no se encuentra en forma estándar, muestre paso a paso el procedimiento para llevarla a su forma estándar. F(x,y,z) = x’y + x’z Falta z Falta y Solución: F(x,y,z) = x’y(1) + x’z(1) Se multiplica cada termino incompleto por 1 F(x,y,z) = x’y(z + z’) + x’z(y + y’) P6. Complemento F(x,y,z) = x’yz + x’yz’ + x’zy + x’zy’ P6. Propiedad distributiva F(x,y,z) = x’yz + x’yz’ + x’zy’ P6. Idempotencia

CONVERSION A FORMA ESTANDAR DE POS Se procede similarmente al caso anterior con algunas pequeñas diferencias. Ejemplo: La siguiente función no se encuentra en forma estándar, muestre paso a paso el procedimiento para llevarla a su forma estándar. F(x,y,z,w) = (x + y’ + z)(y’ + z + w’) Falta w Falta x Solución: Se suma a cada termino AA’ = 0 y se aplica la propiedad distributiva para la operación la suma (+). x + y’ + z + 0 = x + y’ + z + ww’ = (x + y’ + z + w)(x + y’ + z + w’) y’ + z + w’ + 0 = y’ + z + w’ + xx’ = (y’ + z + w’ + x)(y’ + z + w’ + x’) Se multiplican (AND) los términos suma F(x,y,z) = (x + y’ + z + w)(x + y’ + z + w’) (y’ + z + w’ + x)(y’ + z + w’ + x’)