Representación de sólidos Universimat

Sólido Intuitivamente entendemos por sólido (o volumen) a la porción del espacio limitado por una o más superficies.

Pasos para representar gráficamente un sólido Identificar las superficies que limitan al sólido. Trazar cada una de las superficies que limitan el sólido. Determinación de las curvas de intersección de las superficies tomadas dos a dos. Reforzar el contorno del sólido por medio de líneas gruesas, continuas las porciones visibles y de trazos discontinuos las invisibles.

Son las desigualdades las que determinan el volumen a elegir. Se debe prestar gran atención a la elección del sólido una vez que se hayan dibujado todas las intersecciones... Son las desigualdades las que determinan el volumen a elegir.

Proyección del sólido en los planos coordenados: Conjunto de puntos que forman la base de las rectas perpendiculares trazadas del sólido al plano de proyección.

Ejemplo: Representar el siguiente sólido. Realice la proyección del mismo en cada uno de los planos coordenados, identificando las curvas contenidas en la regíón de proyección: W = {(x,y,z)3 / x + y +z  6 ; 0  z  4 ; 0  y  3

z y x Paso No.1: Representación del plano x + y + z = 6 6 6 6

Paso No.2: z Representación del plano z = 4 y de la curva de intersección entre este plano y el plano x + y + z = 6 6 4 y 6 6 x

Paso No.3: z Representación del plano y = 3 y de la curva de intersección entre este plano y el plano x + y + z = 6 6 4 3 y 6 6 x

Finalmente

Proyección en XZ Proyección en YZ Proyección en XY

Otros ejemplos

W = {(x,y,z)3 / x2 + y2  4 ; 0  z  3 ; 0  x  y

Proyección en XZ Proyección en YZ Z Z 3 3 X Y 4 Proyección en XY Y X2+Y2=4 X=Y X

W = {(x,y,z)3 / x2 + y2  z2 ; 2  z  4 ; 0  x  y

Z Z Proyección en XZ Proyección en YZ 4 4 2 2 Z=Y 2 4 X Y Proyección en XY 2 4 Y X2+Y2=4 2 X2+Y2=16 4 X X=Y

W = {(x,y,z)3 / x2 + y2 + z2  9 ; 0  z  2 ; 0  x  y

Proyección en YZ Z Z Proyección en XZ 2Y2+Z2=9 3 3 2X2+Z2=9 2 2 Y2+Z2=9 X Y 3 Proyección en XY 3 Y X2+Y2=5 X2+Y2=9 3 X X=Y

W = {(x,y,z)3 / x2 + z2  y ; 0  y  3 ; x+2y 4

Proyección en XZ Proyección en YZ Z X Y 3 2 1.4 Proyección en XY 4 1.17

W = {(x,y,z)3 / x2 + y2  4 ; 2  z  4-x ; x 0; y  0

Z Z Proyección en XZ Proyección en YZ 4 4 X+Z=4 2 2 (4-Z)2+Y2=4 X Y 2 2 Proyección en XY 2 Y 2 X2+Y2=4 X

W = {(x,y,z)3 / x2 + y2 - z2 4 ; 0  z  4 ; 0  y  x

Z Z Proyección en XZ Proyección en YZ 2 2 2X2-Z2=4 2Y2-Z2=4 X2-Z2=4 X Y 2 Proyección en XY 2 Y 2 X=Y X2+Y2=4 X2+Y2=8 X

W = {(x,y,z) 3 / 1  z  ; 0  y  1 ; x  0

Z Z Proyección en XZ Proyección en YZ 3 3 X2+Z2=9 1 1 X Y 3 1 Proyección en XY 1 Y X

W = {(x,y,z) 3 / x + y+z  6 ; 2x+3y  6 ; x  0, y  0

Proyección en XZ Proyección en YZ Z Z y+z=6 2z-y=6 x+z=6 X Y X Y Proyección en XY 2X+3Y=6 x+3z=12

W = {(x,y,z) 3 / 1  z  2 ; x+y  4 ; x  y  2x

Z Z Proyección en XZ Proyección en YZ 2 2 1 1 X Y 2 4/3 2 8/3 Proyección en XY 4 Y Y=2X X+Y=4 4 X=Y X

Estudio Independiente Represente gráficamente los siguientes sólidos. Realice la proyección de los mismos en los planos coordenados que se indican, señalando en cada caso las ecuaciones de las curvas contenidas en la región de proyección.

No.1: W={(x, y, z) 3: z  x2 + y2  9, 0  y  x, z  0} Proyección en XY y XZ. No.2: W={(x, y, z) 3: 4+z2  x2 + y2, 0  z  2, y  1} Proyección en YZ y XZ. No.3: W={(x, y, z) 3: x2 + y2 + z2  9, 0  x  y, z2  x2 + y2, z  0} Proyección en XZ y YZ. No.4: W={(x, y, z) 3: 1  z  2, x2 + y2  4, x  y  2x} Proyección en XZ y YZ.

No.5: W={(x, y, z) 3: 1  z  3, z  4- (x2 + y2), x  0, y 0 } Proyección en XY y YZ. No.6: W={(x, y, z) 3: 2x2+2y2+z2  4, 2x + y  6, x  y  0, z  0} Proyección en XY y XZ. No.7: W={(x, y, z) 3: x2 + y2  4, 0  z  9 – x2 – y2, 0  y  x} Proyección en XZ y YZ. No.8: W={(x, y, z) 3: 0  z2  4- y2 , x + y  2, x +2y  6, y  0} Proyección en XZ y YZ.

No.9: W={(x, y, z) 3: x2 + y2 + z2  4, x  y  2x, z  2} Proyección en XZ y YZ. No.10: W={(x, y, z) 3: x + y + z  9, 0  x  2y, z  2} Proyección en XZ y YZ.