Escuela de Ciencias Básicas, Tecnologías e Ingenierías Álgebra Lineal – Webconferencia Ing. Vivian Alvarez A. Puerto Colombia, Mayo 04 de 2016

ESPACIOS VECTORIALES COMBINACION LINEAL CONJUNTOS GENERADORES

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación. Suma de vectores → cada par de vectores u,v le corresponde otro vector u +v Producto de un vector por un escalar → Dado k (nro.real o complejo) y un vector u le corresponde otro vector k.u. Espacio Vectorial

Axiomas de un espacio vectorial. S1 ) Si u є V, v є V → u+v є V (cerrada). S2) u + v = v+u, para todo u,v є V (conmutativa). S3 ) (u +v) +w = u+(v+w) (asociativa). S4) Existe elemento neutro para la suma o sea existe 0 єV, tal que 0+u=u para todo u є V. S5) Para todo u є V existe el vector inverso designado por -u que cumple u+ (-u) =0 Espacio Vectorial

Axiomas de un espacio vectorial. P1) Para todo uєV → k.u є V (cerrada). P2) Para todo u є V →1.u =u. P3) (k1.k2 ).u = k1.(k2.u ) (asociativa). P4 ) (k1+k2 ).u = k1.u+k2.u (distributiva). P5) k.(u+v) = k.u+k.v (distributiva). Espacio Vectorial

Ejemplos de espacios vectoriales. 1) Todos los números reales. 2) Vectores de R 2 → Dimensión espacio vectorial 2. 3) Vectores de R 3 → Dimensión espacio vectorial 3. 4) Matrices M 2X2 → Dimensión espacio vectorial 4. 5) Matrices M 3X3 → Dimensión espacio vectorial 4. 6) Polinomios de 1er grado P 1 (x) → Dimensión espacio vectorial 2. 7) Polinomios de 2do grado P 2 (x) → Dimensión espacio vectorial 3. 8) Polinomios de 3er grado P 3 (x) → Dimensión espacio vectorial 4. Todas las matrices (nXm). Espacio Vectorial

Ejemplos de espacios vectoriales. 9) El espacio ℜ n, formado por los vectores de n componentes (x1,...,xn) es un espacio vectorial real, en el que se pueden sumar vectores y multiplicar por un escalar (real) de la forma habitual. Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas para ambas operaciones. El vector cero es (0,...,0). No es un espacio vectorial complejo, pues no podemos multiplicar por escalares complejos (si lo hacemos, el resultado no se mantendrá dentro de ℜ n. Espacio Vectorial

Ejemplos de espacios vectoriales. 10) Consideremos el conjunto M2x2 (también denotado por M2) de las matrices 2x2 con términos reales: Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos matrices de M2x2 obteniendo otra matriz de M2x2, y multiplicar una matriz de M2x2 por un escalar real obteniendo otra matriz de M2x2. El vector 0 es, en este caso, la matriz con todos sus términos nulos. Espacio Vectorial

Ejemplos de espacios vectoriales. 11) Consideremos el conjunto MC de las matrices 2x3 con términos complejos. Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos matrices de MC obteniendo otra matriz de MC, y multiplicar un elemento de MC por un escalar real obteniendo otra matriz de MC. También es un espacio vectorial complejo, pues podemos multiplicar una matriz de MC por un escalar complejo obteniendo otra matriz de MC. Espacio Vectorial

Dados los vectores V 1, V 2,..., V n de R n y sean a 1, a 2,..., a n escalares. La expresión Se llama combinación lineal de V 1, V 2,..., V n Combinación Lineal

Ejemplo 1: Expresar el vector u =(- 3;4) como combinación lineal de los vectores a=(1;2) y b=(3;1). Solución: Se quiere que u = ma +n b es decir (-3;4) = m(1;2) +n (3;1) de donde: m=3, n =-2 luego: (-3;4) = 3(1;2) - 2 (3;1) Combinación Lineal

x y b 3 a a u -2 b u = 3 a - 2 b NOTA: La combinación lineal de dos vectores a y b siempre va a estar en el plano formado por ellos y en consecuencia cualquier vector del plano puede obtenerse (generarse) como la combinación lineal de dos vectores no paralelos.

Ejemplo 2: Combinación Lineal

Ejemplo 2: Combinación Lineal

Conjuntos Generadores

Ejemplo: Conjuntos Generadores

Ejemplo: Conjuntos Generadores Un conjunto de vectores es generador si el Rango de los vectores es igual a n.

Ejemplo: Conjuntos Generadores Se organiza el sistema, para las dos componentes W 1, W 2 Se resuelve el sistema, para ello utilizamos Gauss Jordan para hallar el Rango de la matriz de coeficientes Para este caso el Rango es 2, por lo tanto el sistema si es compatible y Genera a R 2

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL FI-GQ-GCMU V

Expresado de otra forma, se tiene: 1 v v 2 + … + n v n = 0

FI-GQ-GCMU V Independencia: Dependencia:

FI-GQ-GCMU V Independencia:Dependencia:

FI-GQ-GCMU V Independencia:Dependencia:

FI-GQ-GCMU V c 1 + 2c 2 = 0 4c 1 + 2c 2 = 0 1 v v 2 + … + n v n = 0

FI-GQ-GCMU V v v 2 + … + n v n = 0

FI-GQ-GCMU V

BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL

FI-GQ-GCMU V Base de un espacio vectorial

FI-GQ-GCMU V Base de un espacio vectorial

FI-GQ-GCMU V Base de un espacio vectorial

FI-GQ-GCMU V Base de un espacio vectorial

FI-GQ-GCMU V Dado el conjunto S = {u1,u2} donde u1 = (1–x 2 ) y u2 = (x). Determinar si S es o no una base de P2 Sabemos que P2 es un espacio vectorial de dimensión 3, su base canónica es {1, x, x 2 } U1= (1,0,-1) U2 = (0,1,0) Base de un espacio vectorial

FI-GQ-GCMU V RANGO DE UNA MATRIZ

Es el número de filas o columnas que son linealmente independientes, también se puede expresar como el número de vectores linealmente independientes que hay en la matriz. El rango siempre es un número menor o igual al número de filas y columnas de la matriz propuesta. El rango es cero(0) si y solo si LA MATRIZ ES NULA QUE ES?? Rango de una matriz

Ejemplo Calcular el rango de la matriz dada A Solución: La última matriz está en forma escalonada Las dos primera filas no son nulas Entonces  Fuente: Argomedo, S., et. al. (2014). Álgebra lineal para ingeniería. Proyecto Latin: 1ª. Ed.

1.(Reemplazo) Sustituir una fila por la suma de si misma y un múltiplo de la otra fila, es decir “ SUME A UNA FILA UN MULTIPLO DE OTRA FILA” 2.(Intercambio), intercambiar dos filas 3.(Escalamiento), Multiplicar todos los elementos de una fila por una Constante diferente de cero OPERACIONES ELEMENTALES DE FILA

APLICANDO METODO GAUSS- JORDAN

EJEMPLO Método de Gauss - Jordan

Una matriz tiene forma canónica si consta únicamente de unos y ceros Toda matriz se puede llevar a una forma canónica a través de transformaciones elementales de fila y/o columna RECUERDE:

Un sistema de ecuaciones lineales tiene solución, si y solo si el rango de la matriz de los coeficientes, es igual al rango de la matriz ampliada Si hay n variables y el rango es igual al número de variables, el sistema tiene una única solución Si el rango es menor que el número de variables hay infinitas soluciones RECUERDE:

COMO COMPROBARLO A TRAVES DE HERRAMIENTAS WEB

Existen herramientas que permiten comprobar estos ejercicios para esto pueden utilizar:

Otra herramienta que permiten comprobar estos ejercicios para esto pueden utilizar:

Algebra Lineal y sus aplicaciones (2012). Pearson: Cuarta Edición Argomedo, S., et. al. (2014). Álgebra lineal para ingeniería. Proyecto Latin: 1ª. Ed. sa/3.0/deed.es_EShttp://creativecommons.org/licenses/by- sa/3.0/deed.es_ES Grossman, S., (2012). Algebra Lineal. Mc Graw Hill: Séptima Edición. Recuperado de: grossman-7ma-edicin Guzmán, A. F. (2014). Álgebra Lineal: Serie Universitaria Patria. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. Retrieved from Referencias

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