TENSIONES Y DEFORMACIONES EN MATERIALES ELÁSTICOS CAPITULO II : TRACCIÓN - COMPRESION. y CORTADURA Iniciación a la Resistencia de los Materiales Texto de referencia: TENSIONES Y DEFORMACIONES EN MATERIALES ELÁSTICOS de J.A.G. Taboada PARTE 1 : Resistencia Objeto: COMPENDIO DE LOS CONOCIMIENTOS BASICOS DE ELASTICIDAD Y DE RESISTENCIA DE MATERIALES. Lección 3 :

Lección 3 : Sólido de igual resistencia. 3.1 .- Barra prismática sometida a tracción. Influencia del peso propio. Sólido de igual resistencia. 3.2 .- Energía de deformación almacenada en una barra prismática sometida a tracción o compresión. 3.3 .- Tracción y compresión hiperestáticas. 3.4 .- Tensiones originadas por variaciones térmicas o defectos de montaje.

3.1 .- Barra prismática sometida a tracción. Longitud inicial Deformación longitudinal total Deformación longitudinal unitaria Relación Tensión deformación Deformación diferencial. Li F d = Lf - Li e = d/ Li s e = E F. L d = e . L = S.E F s = e . E = S

3.1 .- Influencia del Peso propio. P = pe . L . S F + P F L S Px = pe . S. x = s’x . S s’x = pe.x x sx = F S + pe.x F + Px = smax = F S + pe . L

3.1 .- Influencia del Peso propio. sx = F S + pe.x F + P F L x dx dd = pe.x ) . + dx E F S ( d = pe.x ) . L ( + dx E F S F L S E + pe L2 2.E d =

3.1 .- Sólido de igual resistencia Sólido de igual resistencia a la barra prismática tal que se cumple que la tensión sea la misma en todas sus secciones rectas. sx = F+ Px Sx = sadm

3.1 .- Sólido de igual resistencia sx = F+ Px Sx = sadm F + P F + Px + pe.Sx.dx sx+dx = Sx + dSx dx L Sx = F sadm . e( pe . x/ sadm) x F

3.2 .- Energía de deformación almacenada en una barra prismática sometida a tracción o compresión. W = 1 2 F . d d L F Teorema de Clapeyron F dF F’ d’ dd d dW = (F’ + dF) . dd = F . dF . L/SE DW = L S. E F . dF F F 2. L 2 . S. E =

3.2 .- Energía de deformación almacenada en una barra prismática sometida a tracción o compresión. W = 1 2 F . d d L F Teorema de Clapeyron = F 2 2SES u = V W d 2.E 2 L2 s 2 2 E e 2.E 2 Energía de deformación por unidad de Volumen

3.3 Tracción y Compresión Hiperestáticas b Ra + Rb + F = 0 F Rb Ra a + b = L F L S E d = Ecuaciones útiles : 1 => SFh = 0 d = 0 Incognitas : 2 => Ra y Rb Ra Grado de Hiperestaticidad : 1 -Ra *a S E da = Ecuación de deformación : 1 Rb da + db = d = 0 +Rb *b S E db = Rb*b - Ra*a = 0 Rb*b – (-F-Rb)*a = 0 Rb = -F*a / L Ra = - F*b / L

Tracción y Compresión Hiperestáticas

Tensiones por variaciones térmicas Ra Rb DT d = 0 Lf = Li + Li . a (Tf - Ti ) e = a DT Ra S * s s = e E e = 0 = s/E + a.DT s = - a . DT. E F = S * s Ra = Rb = - s.S = - a.DT.E

3.4 Tensiones originadas por variaciones térmicas o defectos de Montaje.

Tensiones por defectos de Montaje Ra Rb s0 d = 0 s = e E e0 = s0/E Ra S * s et = 0 = - s/E + s0/E s = + s0 F = S * s Ra = Rb = + s.S = - s0·S Si s0 es positivo (tracción) las reacciones son a compresión

Lección 4 : 4.1.- Estado de tensiones en un punto. Matriz de tensiones. 4.2 .- Círculos de Mohr. 4.3 .- Planos y tensiones principales. 4.4.- Deformación trasversal. Coeficiente de Poisson. 4.5 .- Deformación por esfuerzos triaxiales.

Deformación Trasversal ey = - m ex m coeficiente de deformación trasversal o de Poisson m = - ey ex

Ley de Hooke generalizada (esfuerzos triaxiales) ex = sx E + - sy m sz a DT ey = sy E + - sx m sz a DT ez = sz E + - sx m sy a DT Invariante lineal de deformaciones e = ex + ey + ez Invariante lineal de tensiones q = sx + sy+ sz

Ley de Hooke generalizada (esfuerzos triaxiales) ex = sx E + - sy m sz a DT s0 ey = sy E + - sx m sz a DT s0 ez = sz E + - sx m sy a DT s0 Invariante lineal de deformaciones e = ex + ey + ez Invariante lineal de tensiones q = sx + sy+ sz

sx dW = snx dW a + tyx dW b + tzx dW g 4.1.- Matriz de Tensiones sx dW = snx dW a + tyx dW b + tzx dW g sy dW = txy dW a + sny dW b + tzy dW g sz dW = txz dW a + tyz dW b + snz dW g = s x s y s z a b g * snx sny snz txy tyx tzx tzy tyz t xz s [ s  = [ T  * [ u  cosenos directores

4.3.- Tensiones y direcciones principales s2 s3 s1 s1 > s2 > s3 Direcciones principales x = a s1 y = b s2 z = g s3 s 1 s 2 s 3 x y z = a b g => => s12 s22 s32 x2 y2 z2 + = 1

4.2.- Círculo de Mohr t Pp s t s3 O1 s2 s1 sn O3 O2 sn C1 C3 P’p C2

4.2.- Circulo de Mohr de las tensiones en un punto = a b g * snx sny snz txy tyx tzx tzy tyz t xz s x s y s z s x F p f cos f cos (90-f) F/S x = s n = s.u = (F/S . cos f ) . 1 . cos f = F/S . cos2 f p f t = (F/S . sen f ) . 1 . cos f = F/S . (sen 2f) 2 f 2 f n

4.2.- Circulo de Mohr de las tensiones en un punto Fy Np = a b g * snx sny snz txy tyx tzx tzy tyz t xz s 1 s 2 s 3 s x Fx p f cos f cos (90-f) snx sny x = s n = s nx . cos2 f + s ny . cos2 (90 – f) = p s nx + s ny 2 + s nx - s ny cos 2f s n = a 2 a s 1 s nx - s ny 2 sen 2f t p = f n s 2

4.2.- Circulo de Mohr de las tensiones en un punto Fy Np Fx p p f f a 2 a s 1 n s 2 s nx + s ny 2 + s nx - s ny + t2 s 1 = )2 ( s nx + s ny 2 - s nx - s ny + t2 s 2 = )2 ( 2 t p s nx - s ny tan 2f =