Preguntas 10 Marzo 2008 1.De izquierda a derecha se tiene: forja en dado cerrado de biela; forja en dado abierto; trefilación de alambre redondo; estirado.

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1 Preguntas 10 Marzo 2008 1.De izquierda a derecha se tiene: forja en dado cerrado de biela; forja en dado abierto; trefilación de alambre redondo; estirado por presión interna. Mediante flechas indique el estado de tensiones a que es sometido cada cubo infinitesimal señalado en cada figura. Utilice en cada caso un cubo similar al de la derecha. 2.De acuerdo con sus conocimientos de vectores verifique que: (ūxŵ) i = E ijk ·u j ·w k 3. Verifique que se cumple: ē i ·(ē j x ē k ) = E ijk

2 Solución Preguntas 10 Marzo 2008 1.De izquierda a derecha se tiene: 2.De acuerdo con sus conocimientos de vectores verifique que: (ūxŵ) i = E ijk ·u j ·w k (ūxŵ) 1 = E 123 ·u 2 ·w 3 + E 132 ·u 3 ·w 2 = u 2 ·w 3 – u 3 ·w 2 Así los otros términos, lo que da el conocido producto vectorial 3. Verifique que se cumple: ē i ·(ē j x ē k ) = E ijk ē1·(ē2x ē3) = secuencia 1,2,3 = 1; ē1·(ē3x ē2) = secuencia 1,3,2 = -1 ē2·(ē1x ē3) = secuencia 2,1,3 = -1; ē2·(ē3x ē1) = secuencia 2,3,1 = 1. 3,1,2=1 ; 3,2,1 =-1 Otras combinaciones son 0; por tanto esto representa E ijk e1 e2 e3

3 Preguntas 12 Marzo 2008 1. Ud tiene un estado de tensiones definido por el siguiente tensor: 8000 -2309,4 0 σ ij = -2309,4 0 0 (Mpa) 0 0 0 Los ejes se giran 15º clockwise en torno al eje 3 (Perpendicular al plano). ¿Cuáles son las componentes del tensor de tensiones en el nuevo sistema de referencias? Use la transformación de ejes tensorial. Defina el tensor de cosenos Antiguos Nuevos 1 2 15º 3

4 Solución Pregunta 12 Marzo 2008 Desarrollando según la ecuación: σ’ ij = a ik ·a jl ·σ kl 0,966 -0,260 0 Tensor de cosenos: 0,260 0,966 0 0 0 1 σ’ 11 = σ 11 ·a 11 2 + 2·σ 21 ·a 11 ·a 12 + σ 22 ·a 12 2 = 8000·0,933 + 2·2309,4·0,251 + 0 = 8623,3 Mpa σ’ 12 = σ 11 ·a 11 ·a 21 + σ 12 ·a 11 ·a 22 + σ 21 ·a 12 ·a 21 + σ 22 ·a 12 ·a 22 = 0,966·0,26·8000 + (-2309,4)·(0,966 2 – 0,26 2 ) + 0 = 10,4 ( muy pequeño, casi cero) σ’ 22 = σ 11 ·a 21 2 + 2·σ 12 ·a 21 ·a 22 + σ 22 ·a 22 2 = 0,26 2 ·8000 + 2·0,26·0,966·(-2309,4) = - 619 MPa

5 Problemas 17-3-2008 Normal stress in x-direction, σ x Normal stress in y-direction, σ y Normal stress in z-direction, σ z Shear stress in xy-plane, τ xy Shear stress in yz-plane, τ yz Shear stress in xz-plane, τ xz 100 -100 0 50 0 100 0 100 0 Para los tres casos anteriores dibuje los tres círculos de Mohr, indicando los valores de las tensiones principales σ 1 (max); σ 2 (intermedia) y σ 3 (mínima); τ max 1 ; τ max 2 ; τ max 3

6 Solución Problemas 17-3-2008 σ 1 σ 2 σ 3 τ max,1 τ max,2 τ max,3 111,8 0,0 -111,8 55,9 111,8 55,9 100 0,0 -100 50 100 50 100 0 50 Para los tres casos anteriores dibuje los tres círculos de Mohr, indicanco los valores de las tensiones principales σ 1 (max); σ 2 (intermedia) y σ 3 (mínima); τ ττ

7 Problema 19-3-2008 Con los siguientes valores de deformaciones: e x = 0,002 in/in e y = 0,0005 in/in  xy = 0,00202 Encuentre los valores principales de las deformaciones en el plano x-y usando el método del círculo de Mohr.

8 Solución Problemas 19-3-2008 e 1 = 0,00251 e 2 = 0

9 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1 MPa Calcular: Módulo elástico (E) Límite Elástico K y n de la curva de la zona plástica Deformación a la carga máxima Tensión verdadera y tensión de ingeniería a la carga máxima ε σ

10 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1 MPa Calcular: Módulo elástico (E) Límite Elástico K y n de la curva de la zona plástica Deformación a la carga máxima ε= 0,36 Tensión máxima o resistencia a la tracción σ (ε=0,36) =1038,4 (1+e)= 1,433 S max = 724,6 E=9·10 4 MPa 180 MPa 2 5,5 n=0,36 K= 1500 MPa

11 Pregunta control 31-3-2008 Un estanque cilíndrico de 1m de diámetro está cerrado por dos tapas en sus extremos. ¿Cuál es la presión máxima que se puede aplicar en su interior si la tensión de fluencia del acero es 500 Mpa? El espesor de las planchas de acero es de 10 mm Hint: si se toma un pequeño elemento de material del manto cilíndrico del estanque, La tensión en la dirección longitudinal es: p·r/2t La tensión en la dirección tangencial al manto del cilindro es: p·r/t La tensión normal al manto del cilindro es ≈ 0 Estas son direciones principales porque no hay tensiones de corte. Calcular por Tresca y Von Mises

12 Respuesta Pregunta control 31-3-2008 Un estanque cilíndrico de 1m de diámetro está cerrado por dos tapas en sus extremos. ¿Cuál es la presión máxima que se puede aplicar en su interior si la tensión de fluencia del acero es 500 Mpa? Utilice el criterio de fluencia de Tresca y el de von Mises. El espesor de las planchas de acero es de 10 mm σ 11 = P·500/10; σ 22 = P·500/2·10; σ 33 = 0 Tresca: (σ 11 – σ 33 ) = 500 Mpa P = 500 (Mpa)/50= 10 Mpa Von Mises: (σ 22 - σ 33 ) 2 + (σ 33 -σ 11 ) 2 + (σ 11 - σ 22 ) 2 = 2·Y 2 = 2·500 2 (0,5·σ 11 - 0) 2 + (0 -σ 11 ) 2 + (σ 11 - 0,5·σ 11 ) 2 = 2·Y 2 = 2·500 2 (6/4)·σ 11 2 = 2·Y 2 = 2·500 2 P·(500/10) = (2/√3)·500 P = 11,5 MPa

13 Pregunta del 7 de Abril de 2008 A) Un material tiene una tensión de fluencia en tracción (o compresión ) uniaxial igual a Y. ¿Si Ud efectúa un ensayo de tracción o compresión uniaxial que produce fluencia plástica, cuanto vale la tensión equivalente? B) Si Ud efectúa un proceso de deformación plástica estirando una plancha delgada en dos direcciones perpendiculares, ambas tensiones de estirado tienen igual valor y la tensión en la tercera dirección es =0. ¿Cuánto deben valer las tensiones de estirado, en función de Y, para producir deformación plástica?

14 Solución Pregunta del 7 de Abril de 2008 A) σ eq = [0,5·{(σ 3 – σ 1 ) 2 + (σ 1 -σ 2 ) 2 + (σ 2 – σ3) 2 }] 0,5 Si la dirección de tracción es 1, σ 1 =Y y las tensiones en las otras direcciones son cero. σ eq = [0,5·{(0 – Y) 2 + (Y – 0) 2 + (0 – 0) 2 }] 0,5 =Y B) σ eq = [0,5·{(σ 3 – σ 1 ) 2 + (σ 1 -σ 2 ) 2 + (σ 2 – σ3) 2 }] 0,5 σ 1 = σ 2 y σ 3 = 0 Para que ocurra fluencia plástica σ eq = [0,5·{(σ 3 – σ 1 ) 2 + (σ 1 -σ 2 ) 2 + (σ 2 – σ3) 2 }] 0,5 = Y σ eq = [0,5·{(0 – σ 1 ) 2 + (σ 1 -σ 1 ) 2 + (σ 1 – 0) 2 }] 0,5 = Y σ 1 = σ 2 = Y

15 Preguntas del 9 de Abril de 2008 El comportamiento mecánico de una plancha de acero comercial se caracteriza por σ eq = 56·(ε eq ) 0,19 kg/mm 2 Se sabe que ha sido sometida a una deformación previa, pero no se sabe la magnitud de ésta; al ser ensayada en tracción uniaxial, su tensión de fluencia inicial es 36 kg/mm 2 a) Si la plancha se somete a un paso de tracción constante de modo que σ 2 = 2·σ 1 (α = 1/2) y σ 3 = 0 Calcule σ 1 y σ 2 al inicio de la fluencia plástica b) Calcule la deformación plástica equivalente previa. c) Determine el paso de deformación

16 Soluciones Preguntas del 9 de Abril de 2008 a) Calcule σ 1 y σ 2 al inicio de la fluencia plástica σ eq 2 = (α 2 – α + 1)·σ 2 2 = (1/4 -1/2 +1)·σ 2 2 → σ eq = 36 kg/mm 2 = (√3/2)· σ 2 σ 2 = 41,6 y σ 1 = 20,8 (kg/mm 2 ) b) Calcule la deformación plástica equivalente previa. σ eq = 36 = 56·(ε p ) 0,19 → ε p = 0,0977 ≈ 0,1 (10%) c) Determine el paso de deformación k = (2α -1)/(2- α) = (2·0,5 -1)/(2 – 0,5) = 0 d ε 1 = 0 ; dε 2 = - dε 3 corresponde a un paso de deformación plano

17 Preguntas del 14 de Abril de 2008 Calcular: a) La fuerza necesaria para extruir un trozo de acero de 0,2%C a 1200ºC cuya tensión de fluencia es 4,22 kg/mm 2 ; su diámetro inicial es 300 mm y su diámetro final es 44,72 mm. La eficiencia del proceso es 0,67. b) La potencia necesaria en la prensa para extruir un tocho de 900 mm de largo en 12 s.

18 Solución preguntas del 14 de Abril de 2008 a)Δε eq (0-F) = ln (A 0 /A F ) = ln (300/44,72) 2 = 3,807 σ extr = w real = [Y· ln (A 0 /A F )]/η = 4,22·(kg/mm 2 )·3,807/0,67 σ extr = 24 kg/mm 2 F extr = 24 (k/mm 2 )·π·(300 2 )/4 = 1,6965·10 6 (kg) = 1696,5 ton b) Potencia de la máquina: Potencia = dW/dt = F·v v = 0,9 (m)/12(s) = 0,075 (m/s) Potencia = 1,6965·10 6 ·9,8 (N)·0,075(m/s) = 1,25·10 6 (watts)

19 Preguntas del 16 de Abril de 2008 Ud necesita laminar planchones de acero de 0,12%C a 1000ºC. El espesor inicial es de 100mm y el final es de 50mm, el ancho del planchón es 1m. La velocidad de entrada del planchón al laminador es de 0,1m/s. La tensión de fluencia a esa velocidad de deformación y a esa temperatura es de 20kg/mm 2. Diámetro de los rodillos es 1m. ¿Cuál es la potencia total requerida por el laminador si la eficiencia del proceso es de 0,6? ¿Cuál es el torque que debe aplicar cada rodillo?

20 Solución Preguntas del 16 de Abril de 2008 Ud necesita laminar planchones de acero de 0,12%C a 1000ºC. El espesor inicial es de 100mm y el final es de 50mm, el ancho del planchón es 1m. La velocidad de entrada del planchón al laminador es de 0,1m/s. La tensión de fluencia a esa velocidad de deformación y a esa temperatura es de 20kg/mm 2. Diámetro de los rodillos es 1m ¿Cuál es la potencia total requerida por el laminador si la eficiencia del proceso es de 0,6? Potencia real = dW real /dt = w·t·a·(dθ/dt)·r/η w = Y·(ε eq(F) – 0)/0,6 = [20 (kg/mm 2 )·(2/√3)·ln(100/50)]/0,6 = 26,68 kg/mm 2 w real = 26,68·9,8·10 6 N/m 2 velocidad de entrada a los rodillos= 0,1 m/s Potencia real: 26,68·9,8·10 6 (N/m 2 )·0,1(m)·1(m)·0,1(m/s) = 261,5·10 4 (N·m/s) =261,5·10 4 watts ¿Cuál es el torque que debe aplicar cada rodillo? T = torque de cada rodillo = w real ·t av ·a·r/2 T = 26,68·9,8·10 6 ·0,075·1·0,5/2 (N·m) = 4,9·10 6 (N·m)

21 Preguntas del 21 de Abril de 2008 En el ensayo de trefilación que se practicará en el siguiente laboratorio se trefilará una probeta que tiene escalones. La probeta se tira desde el extremo izquierdo que tiene el diámetro del dado de trefilación. El semiángulo del dado de trefilación (α) es de 7º. Tome la tensión de fluencia del acero como varía como se indica abajo. 11,3 mm 13,0 13,7 mm 14,8 mm 45000 N 55000 N 70000 N La fuerza de trefilación es constante cuando se trefilan los sectores rectos, los que son reducidos desde su diámetro original hasta 11,3 mm. Calcule el coeficiente de roce μ. 2k=841 MPa 2k=861MPa 2k=883 MPa

22 Solución preguntas del 21 de Abril de 2008 Primer tramo: 13,0 a 11,3 ε = 0,28 σ tref 1 = 45000/(π·11,3 2 /4)= 448,7 Mpa Segundo tramo: 13,7 a11,3 ε = 0,39 σ tref 2 = 55000/(π·11,3 2 /4)= 548,4 Mpa Tercer tramo: 14,8 a 11,3 ε = 0,39 σ tref 3 = 70000/(π·11,3 2 /4)= 698 Mpa Se puede resolver con un solver o por aproximaciones sucesivas. Resolver la ecuación σ tref /2k ={(1+B)/B}·[1- (D e /D 0 ) 2B ] B=μ·cotα=μ·8,144 Primer tramo: ={(1+B)/B}·[1- (11,3/13,0) 2B ] =448,7/841,4= 0,533 μ ≈ 0,15 Tercer tramo:={(1+B)/B}·[1- (11,3/14,8) 2B ] =697,9/882,6= 0,79 μ ≈ 0,10

23 Preguntas 28 Abril 2008 Ud. debe forjar una pieza de acero de 0,2%C a 800 °C, la tensión de fluencia en tracción unixial permanece constante al aumentar la deformación e igual a 200 Mpa. La tensión de fluencia en corte k = 100 Mpa de acuerdo con el criterio de Tresca. El bloque de acero mide inicialmente 20 cm de espesor x 20 cm de ancho y 50 cm de largo, esta última dimensión permanece constante. Este bloque debe forjarse hasta una dimensión final de 10 cm de espesor, mediante dos placas de forja que avanzan en direcciones opuestas con velocidades iguales de 20 cm/min Calcule la fuerza que se debe aplicar en cada placa para completar esta forja mediante los siguientes procedimientos: Método de la energía uniforme con una eficiencia del proceso de 60%.(Hint: se puede usar un análisis diferencial, movimiento dh de cada placa.) Método de las tajadas de Sachs con un coeficiente de roce  = 0,30 Método de las tajadas de Sachs con roce entre matriz y material igual a mk con m=0,5 Método de las tajadas de Sachs con roce entre matriz y material igual a mk con m=1,0 (roce pegado). 20cm 40cm 10cm 50cm prof.

24 Solución Preguntas 28 Abril 2008 Respuesta: La fuerza máxima ocurrirá al final de la forja, porque es la mayor sección forjada. En primer lugar se utilizará en todos los casos el criterio de Tresca, en este caso la tensión de fluencia en tracción uniaxial (200 Mpa) es igual a la tensión de fluencia en tracción con deformación plana. A) Energía uniforme. Como se trata de forja con deformación plana: F = 0,4·0,5·200·10 6 ·/0,6 = 66,7·0 6 N B) Método de Sachs μ = 0,3 F = p promedio ·0,5·0,4 = 0,5·0,4·200·10 6 ·(e y – 1)/y, donde y = μ·b/h =0,3·0,4/0,1 = 1,2 F = 77,3·10 6 N C) Método de Sachs con roce = mk = 0,5k p promedio = Y·(1 + mb/4h) = Y·(1 + (0,5·0,4)/(4·0,1)) = Y·1,5 F = p promedio ·0,5·0,4 = 0,5·0,4·200·10 6 ·1,5 = 60·10 6 N D) Método de Sachs con roce = mk = 1,0·k p promedio = Y·(1 + mb/4h) = Y·(1 + (1·0,4)/(4·0,1)) = Y·2 F = p promedio ·0,5·0,4 = 0,5·0,4·200·10 6 ·2,0= 80·10 6 N Si se usa en todos los casos la tensión de fluencia en deformación plana ( Y·2/√3), lo que concuerda con el criterio de von Mises, las fuerzas de forja serían: A) F= 77·0 6 N B) F = 89,3·10 6 N C) F = 69,3·10 6 N D) F = 92,4·10 6 N

25 Pregunta del 30 Abril 2008 Ud está laminando una plancha de acero cuya tensión de fluencia en deformación plana es σ 0 = 100 ksi y se está laminando con una reducción de espesor de 5% con rodillos de 10 in de diámetro. El módulo elástico en deformación plana E’= 33·10 6 psi y el espesor inicial de la plancha es 0,100 in. El coeficiente de roce μ = 0,15. a) En una primera iteración calcule F s sin considerar aplanamiento de los rodillos: F s = (h/μ))·[exp(μL’/h) -1]·(σ 0 –σ t ) (**) donde L’ ≈ (R ’ ·Δh) 0,5 y σ t = 0 Enseguida calcule:R’ = R[1+ (16·F s )/(π·E ’ ·Δh)] (*); con este valor de R’ en una segunda iteración re-calcule F s. Si tiene tiempo efectúe una tercera iteración y vea como converge F s b) Calcule el espesor mínimo h min que se puede laminar usando el nuevo valor de R’ y C= 7,5. h min =(C·μ·R/E’)·(σ 0 – σ t ) (***) con C entre 7 y 8

26 Solución pregunta del 30 Mayo 2008 a) En una primera iteración se calcula sin considerar aplanamiento de los rodillos : L’ ≈ (R ’ ·Δh) 0,5 y σ t = 0; L’ = (5in·0,005in) ½ = 0,158 in F s = (h/μ))·[exp(μL’/h) -1]·σ 0 = (0,1/0,15)·[exp(0,15·0,158/0,1)-1]·100·10 3 lb/in F s = 17,8·10 3 lf/in En una segunda iteración: R’ = 5·[1+ (16·17,8·10 3 )/(π·33·10 6 ·0,005)] = 7,75 in L’ = (7,75·0,005) ½ = 0,197 in F s = (0,1/0,15)·[exp(0,15·0,197/0,1)-1]·100·10 3 lb/in = 23·10 3 lb/in En una tercera iteración R’ = 5·[1+ (16·23·10 3 )/(π·33·10 6 ·0,005)] = 8,55 in L’ = (8,55·0,005) ½ = 0,207 in F s = (0,1/0,15)·[exp(0,15·0,207/0,1)-1]·100·10 3 lb/in = 24,3·10 3 lb/in b) h min =(C·μ·R/E’)·σ 0 = (7,5·0,15·5·100000)/33·10 6 = 1,7·10 -2 in.

27 PREGUNTAS 7 Mayo 2008 b) Calcule P extr /2k V0V0

28 Solución pregunta 7 Mayo 2008 D

29 Pregunta 12-5-2008 Utilice el caso 2c

30 Solución 12-5-2005