como reflexión para su enseñanza. Una revisión histórica de la ecuación cúbica como reflexión para su enseñanza. Alma Rosa Fernández Ángel SADD – Agosto 2012

A B c D D D A B c Profesor: Es verdadero! Alumno: ¿Para qué quiero comprobar?: D ¿por qué debo suponer? A ¿A quién se le ocurrió pensar que: B Implica c ?

¿Cómo aprovechar el desarrollo Histórico de las matemáticas para desarrollar una clase, buscando mejorar el aprendizaje del tema?

Al proponer esta forma de manejo de la historia de las matemáticas en el salón de clase, se puede considerar lo que Fauvel (1991) propone : . Anécdotas matemáticas Introducción histórica de conceptos Problemas históricos que generan nuevos contenidos Historia de las matemáticas Idear ejercicios utilizados en textos del pasado. Proyectos con tema matemático local Ejemplos del pasado para ilustrar técnicas y métodos. Explorar errores del pasado para dificultades de aprendizaje. Idear aproximaciones pedagógicas según desarrollo histórico. Idear orden y estructura de los temas en programas.

Enseñanza con história. Fauvel Bishop Ernest Freudenthal Arcavi NCTM

ALGEBRA RIQUEZA MOV. MERCANTILES COMPRAS DEUDAS VENTAS TIERRAS

SUMERIOS (3000 A.C.) BABILONIOS (1700 A.C.) ÁRABES (820 D.C) GRIEGOS PERSAS

Muhammad ibn Musa al-Khwarizmo

Descartes busca la solución de la ecuación cúbica con la intersección de una circunferencia (x-h)2+(y-k)2=R2 con la parábola y=x2

ECUACIONES A LA ITALIANA. Luca Pacioli Casos particulares

Scipione del Ferro x3 + ax + b = 0

Scipione del Ferro Antonio del Fiore x3 + ax2 +b = 0

Tartaglia Girolamo Cardano ax3 + bx2 + cx + d = 0

Ars Magna ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 Ludovico Ferrari

SOLUCIÓN GENERAL. Consideremos la ecuación general de tercer grado: Ax3 + Bx2 + Cx + D = 0 Como A ≠ 0 , no se pierde generalidad si al dividir la ecuación anterior entre A, escribimos: x3 + bx2 + cx + d = 0 ( Ψ ) Hacemos la sustitución: x = y - b/3

Obtenemos: En consecuencia, resolver la ecuación cúbica ( Ψ ), se reduce a resolver la ecuación: donde: y

Esto implica que: Ahora escribimos:

Tenemos que: Luego: ( λ )

Imponiendo al condición adicional: Cualquiera que sea el valor numérico de la suma de (en este caso una raíz de la ecuación anterior), siempre podemos determinar a u y v imponiéndoles la condición adicional de que su producto uv sea un número prefijado. Imponiendo al condición adicional: Sustituyendo en ( λ ) tenemos:

Y de las dos expresiones anteriores se obtiene: Puesto que: Entonces por lo anterior u3 y v3 son las dos soluciones de la ecuación de segundo grado: ( α )

Por otro lado, las soluciones de la ecuación ( α ), viene dadas por : y Escribiendo:: y Cada una de las ecuaciones tiene tres raíces tanto para z1 como para z2.

Las raíces de: son: , y Y las raíces de: son: , y

Entonces las raíces de: Ahora denotaremos: y Entonces las raíces de:

Conocidas como las fórmulas de Cardano. son: Conocidas como las fórmulas de Cardano.

RAFAEL BOMBELLI (1526-1572)

entonces la fórmula involucra la raíz cuadrada Resolver las ecuaciones cúbicas con las formulas de Cardano, nos encontramos ante un hecho, que el discriminante sea menor que cero: entonces la fórmula involucra la raíz cuadrada de un número negativo.

Cardano en su Álgebra de 1572 presenta La ecuación: x3=15x+4 (d) Resolviendo encontramos que las tres soluciones de la cúbica son reales. Si aplicamos las fórmulas de Cardano con p=15 y q=4, como , entonces:

Con las cuales Cardano no sabe que hacer, y las llama “irreducibles”

Bombelli hace lo siguiente:

Por lo que tiene sentido decir que: , Esto se da si: Por lo que tiene sentido decir que:

Así, una raíz de la ecuación (d) es: De la misma forma: Así, una raíz de la ecuación (d) es:

El razonamiento de Bombelli planteó enormes problemas: ¿Cómo se sabe por adelantado que va a ser raíz cúbica de ? Y entonces surge la necesidad de introducir otros elementos.

François Viète (1540-1603)

Analiza nuevamente la ecuación cúbica: , Analiza nuevamente la ecuación cúbica: con Esto es trabaja con: con

Y la identidad trigonométrica: Llegando a la solución:

Esto no es real (los imaginarios)

Contenidos actividades Evaluación Ecuaciones algebraicas Propuesta de clase Contenidos Ecuaciones algebraicas Ecuación cúbica Solución general Trigonometría Teorema fundamental del algebra Números complejos actividades Lectura de artículos históricos Identificación de problemas Discusión Profundizar información Institucionalizar (profesor) Evaluación

Referencias bibliográficas Bautista, R (2002). Conferencia La Solución de Ecuaciones como Motor del Desarrollo del Algebra, Departamento de Matemáticas de la Universidad de Sonora, durante la XII Semana Regional de Investigación y Docencia en Matemáticas Baumgart, J. et al. (1989). Historical Topics for the Mathematics Classroom. NCTM. Reston, Virginia. Kaster, E., Newman, J. (1978). Matemáticas e Imaginación. Compañía Editorial Continental, S.A. D.F., México. Kolmogorov, A. Aleksandrov, A. y otros (1985). La Matemática: su contenido, método y significado. Alianza Editorial. Madrid.

Moreno, R. (2001) Andanzas y aventuras de las ecuaciones cúbicas y cuárticas a su paso por España. Un capítulo de la historia del álgebra española. Colección “línea 300” Editorial Complutense. Madrid.   Pérez, J. Sánchez, C. (2007). Historia de las Matemáticas: Ecuaciones Algebraicas. Cursos THALES. Andalucía. Rico, L. (Coord.).(2000). La educación matemática en la enseñanza secundaría. Horsori Editorial, S.I. Sierra, M. (2009), Notas De Historia De Las Matemáticas Para El Currículo De Secundaria, en http://cimm.ucr.ac.cr/ojs/index.php/eudoxus/article/view/122/116 Stewart, I. (2009) Historia de las matemáticas. Crítica. Barcelona

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