http://cmap.ihmc.us/

PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DISCRETAS

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Características: 1) Un experimento que consta de n pruebas idénticas. 2) Cada prueba tiene dos resultados posibles: E = éxito y F = fracaso 3) La probabilidad de tener éxito en una sola prueba es igual a p y es constante en todas las pruebas. 4) Las pruebas son independientes. 5) La variable aleatoria de interés es X, el número de éxitos observados en las n pruebas La función de masa es: (Parámetros: n y p) P(X=x) = nCx.px(1 - p)n-x, x = 0, 1, 2, ..., n E(X) = np y Var(X) = np(1 - p).

SITUACIONES QUE PUEDEN MODELARSE CON LA DISTRIBUCION BINOMIAL  Obtención de muestras. Objetivo : los elementos muestreados poseen o no una característica C.  El número de veces en las que ocurrió un fenómeno determinado en cierto período de tiempo.  Determinación de parámetros de diseño para un riesgo dado.  Otros que se ajusten a las 5 características de un experimento binomial

GRAFICOS: DISTRIBUCIÓN BINOMIAL n = 20, p = 0.7 Función de masa de probabilidad Función de distribución acumulada

EJEMPLO: Si la probabilidad de que se desplome una estructura después de 30 años es de 0.01 obtenga la probabilidad de que de 10 estructuras de esta clase: a) ninguna se derrumbe después de 30 años b) una exactamente se derrumbe después de 30 años c) no más de una se derrumbe después de 30 años d) más de una se derrumbe después de 30 años e) por lo menos una se derrumbe después de 30 años

Ejemplo: (Tomado de: “Estadística Matemática con Aplicaciones” Ejemplo: (Tomado de: “Estadística Matemática con Aplicaciones”. Por Mendenhall W. y otros. Grupo Editorial Iberoamérica) Por experiencia se sabe que el 30% de todas las personas afectadas por una enfermedad se recuperan. Se desarrolló una nueva vacuna y se seleccionaron al azar 10 personas con la enfermedad en cuentón y se les administró la vacuna. Poco después nueve de ellas se recuperaron. Si suponemos que la vacuna es absolutamente ineficaz. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 9 de 10 personas infectadas se recuperen?

Solución: Y el número de personas que se recuperan Solución: Y el número de personas que se recuperan. Si la vacuna no funciona la probabilidad de que la persona se recupere es p = 0.3. Si el número de pruebas es n = 10, la probabilidad de que exactamente 9 personas se recuperen es: P(Y = 9) = 10C9(0.3)9(0.7) = 0.000138 De la misma manera la probabilidad de que exactamente 10 personas se recuperen es: P(Y = 10) = 10C10(0.3)10(0.7)0 = 0.000006 Entonces P(Y  9 ) = P(Y = 9) + P(Y = 10) = 0.000138 + 0.000006 = 0.000144

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA Características: 1) Un experimento que consta de pruebas idénticas. 2) Cada prueba tiene dos resultados posibles: E = éxito; F = fracaso 3) La probabilidad de tener éxito en una sola prueba es igual a p y es constante en todas las pruebas. 4) Las pruebas son independientes. 5) La variable aleatoria de interés es X, el número de pruebas hasta obtener el primer éxito.

La función de masa es: f(X = x) = p(1 - p)x-1, x = 1, 2, La función de masa es: f(X = x) = p(1 - p)x-1, x = 1, 2, ... Parámetros de la distribución: p E(X) = 1/p y Var(X) = (1 - p)/p².

GRAFICOS: DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA P = 0.1 Función de masa de probabilidad Función de distribución acumulada

EJEMPLO: Considere el tablero de un conmutador telefónico EJEMPLO: Considere el tablero de un conmutador telefónico. Hay interés de saber el número de intentos necesarios que una persona hace para tener una línea disponible. Suponga que p = 0.125 es la probabilidad de tener línea durante la mayor congestión de llamadas. Determinar: a) La probabilidad de que sean necesarios 5 intentos para lograr una comunicación?

b) Que porcentaje de veces un usuario tendrá que hacer 5 o menos intentos antes de lograr una comunicación? c) Cual es la probabilidad de hacer más de 5 intentos dado que por lo menos se han hecho 4 intentos para tener línea disponible? d) Cual es el promedio de intentos que una persona hace para tener línea disponible?

LA DISTRIBUCIÓN POISSON En la distribución binomial tomamos límite cuando n tiende a infinito y hacemos  = np lim nCx.px(1 - p)n-x = (xe-)/x! n Al utilizar un modelo Poisson estamos interesados en el número de ocurrencias de un evento en un continuo que bien puede ser el tiempo o el espacio. DEFINICION: Diremos que una variable aleatoria X se distribuye según poisson con parámetro  [poisson()] si X tiene una función de densidad de probabilidad dada por: f(x) = (xe-)/x! ; x = 0, 1, 2, ...

SITUACIONES QUE PUEDEN MODELARSE CON LA DISTRIBUCION POISSON  Accidentes por año registrados en una compañía de seguros. . Número de llegadas o arribos a un servidor.  Número de especímenes por unidad de longitud o área o volumen.  Número de defectos por unidad lineal de cable.  Número de bacterias por retícula.  Número de errores por página en un texto.  Número de llamadas equivocadas por unidad de tiempo.  Aproximar el cálculo de un valor de la binomial cuando n es grande y p es pequeño, (np < 7) NOTA: Si X se distribuye Poisson() entonces: E(X) =  y Var(X) = 

GRAFICOS: DISTRIBUCION POISSON  = 10 Función de masa de probabilidad Función de distribución acumulada

EJEMPLO 1: La cantidad de personas que llegan a un servidor se puede modelar con un proceso Poisson con una tasa de llegada de 5 por hora. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran exactamente 4 llegadas en una determinada hora? b) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen por lo menos 4 personas en cierta hora? c) Cuántas personas espera que lleguen durante un período de 45 minutos?

EJEMPLO 2: Suponga que la demanda de un artículo en un almacén sigue una distribución poisson con media  = 8 por semana. ¿Cual debe ser el inventario que se debe tener en el almacén para que con una probabilidad de 0.95 pueda atenderse la demanda?

OTRO EJEMPLO Una compañía telefónica emplea cinco operadoras que reciben solicitudes de información independientemente una de otra, cada una según un proceso Poisson con tasa  = 2 por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que durante un período de un minuto la primera operadora no reciba solicitudes? ¿Cuál es la probabilidad de que durante un período de un minuto exactamente cuatro de las cinco operadoras no reciba solicitudes? Escriba una expresión para la probabilidad de que durante un período de un minuto las operadoras reciban exactamente el mismo número de solicitudes.

PRINCIPALES DISTRIBUCIONES CONTINUAS

DISTRIBUCIÓN UNIFORME La variable aleatoria X se distribuye uniforme con parámetros a y b [unif(a,b)] si tiene función de densidad dada por: f(x) = 1/(b-a); si a  x  b; b > a Se destaca la proporcionalidad con la cual se presenta la distribución. NOTA: Si X se distribuye uniforme(a,b) entonces la función de distribución es : 0; si x < a F(x) = (x - a)/(b - a); si a  x  b 1; si x > b Los momentos de esta distribución son: E(X) = (b + a)/2 y Var(X) = (b - a)²/12

GRAFICOS: DISTRIBUCIÓN UNIFORME (4; 6) Función de masa de probabilidad Función de distribución acumulada

EJEMPLO En el movimiento Browniano (en un plano) una partícula puede en determinado momento tomar una dirección aleatoria. Dicha dirección está determinada por un ángulo entre 0° y 360°. Para modelar esta situación consideremos la variable aleatoria X distribuida uniformemente en el intervalo [0; 360), así tendremos el siguiente modelo: f(x) = 1/360 si 0 ≤ x < 360 0 en otro valor Con la siguiente distribución acumulada: 0; si x < 0 F(x) = x/360; si 0  x < 360 1; si x ≥ 360 ¿Qué probabilidad hay de que la partícula tome una dirección entre 30° y 40°?

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL Si usamos el modelo de Poisson para representar la ocurrencia de un evento en el tiempo y si T es la variable aleatoria que denota el tiempo para que ocurra el primer evento, entonces la probabilidad de que T exceda un valor t es igual a la probabilidad de que no ocurra el evento en ese intervalo de longitud t; esta probabilidad se puede expresar como 1 - F(t) y es igual a p(X=0) donde X es una variable aleatoria distribuida Poisson con parámetro t, entonces: 1 - F(t) = (t)0e-t / 0!= e-t, de donde: F (t) = 1 - e-t y además f(t) = Dt[F(t)] = e-t; t  0.

Esto define la distribución de probabilidad exponencial Esto define la distribución de probabilidad exponencial. Describe el tiempo hasta que ocurra el primer suceso Poisson. Debido a ciertas propiedades de los procesos Poisson se puede llegar a decir que los tiempos entre sucesos de un proceso Poisson se distribuyen exponencialmente. La media de la distribución exponencial es: E(X) = te-tdt = 1/, y la Varianza Var(X) = 1/² EJEMPLO: Ver tiempos de avance

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL T  Exp(=1) FUNCION DE DENSIDAD FUNCION ACUMULADA F(t) 1.0 F(t0) t t0

EJEMPLO Cierta fabrica manufacturera requiere de un producto específico. La cantidad de producto utilizada en un día se puede modelar con una distribución exponencial con promedio de 4 toneladas por día: a) Que probabilidad hay de que la fabrica utilice más de 4 toneladas en un día determinado? b) Que cantidad de producto habría que almacenar para que la probabilidad de agotar la existencia sea de 0.05?

OTRO EJEMPLO Se sabe que el tiempo (en minutos) que una persona habla por teléfono es un fenómeno aleatorio con función de densidad dada por f(x) = Ae-x/5 si x>0 f(x) = 0 en otro caso Encuentre el valor de A que hace de f(.) una función de densidad. Represente gráficamente la función de densidad. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de minutos durante los que la persona usará el teléfono sea: i) mayor de 10 minutos, ii) menor de 5 minutos, iii) entre 5 y 10 minutos. Para cualquier número real b, sea A(b) el evento de que la persona hable más de b minutos. Encuentre P[A(b)]. Demuestre que para a>0 y b>0, P[A(a+b)|A(a)] = P[A(b)]. En otras palabras, la probabilidad condicional de que una conversación telefónica dure más de a+b minutos, dado que ha durado por lo menos a minutos, es igual a la probabilidad de que dure más de b minutos.

Javas para la Normal http://www.aulademate.com/contentid-286.html LA DISTRIBUCIÓN NORMAL Por se una distribución especial por su aplicabilidad y por su forma (propiedades probabilisticas y geométricas) nos referimos a ella en forma especial Consideremos una población con una característica medible que tiene distribución normal con media = 10 y desviación estándar = 4. Tomaremos diferentes muestras de ella y construyamos histogramas o observemos sus siluetas. Javas para la Normal http://www.aulademate.com/contentid-286.html

n= 30

n = 50

n = 100

n = 500

n = 1000

Una importante clase de modelos son aquellos que surgen límite de la relación entre el fenómeno de interés y sus "causas". La incertidumbre puede ser el resultado de los efectos combinados de muchas causas, cada una de las cuales es difícil de observar aisladamente. En muchas aplicaciones importantes de la ingeniería las causas individuales afectan la variable de interés entonces podemos determinar un modelo probabilistico. Tres casos importantes de esta situación: 1) cuando las causas individuales son aditivas, (D. Normal) 2) cuando las causas individuales son multiplicativas, y 3) aquel donde sus extremos son críticos (máximo o mínimo).

La función de densidad de una variable aleatoria distribuida Normal con parámetros  y ² esta dada por: La media y la varianza de una variable aleatoria X, Normal(, ²) son E(X) =  y Var(X) = ².

PROPIEDADES DE LA NORMAL

DIFERENTES DISTRIBUCIONES NORMALES FUNCIONES DE DENSIDAD FUNCIONES ACUMULADAS

CALCULOS CON LA NORMAL Si F(x) es la función de distribución acumulada de una variable aleatoria X  Normal(, 2), entonces: P(a  X  b) = F(b) – F(a) donde:

LA NORMAL ESTANDAR Teorema: Si X es una variable aleatoria con distribución: X  Normal(; 2) entonces la varaiable aleatoria Z = (x - )/ se distribuye: Z  Normal(0, 1). La variable Z toma un nombre especial: “Normal estándar”.

LAS FUNCIONES QUE CARACTERIZAN LA NORMAL ESTÁNDAR SON

NOTA IMPORTANTE: Es necesario tabular la distribución acumulada de Z NOTA IMPORTANTE: Es necesario tabular la distribución acumulada de Z. De esta manera para hacer el cálculo de probabilidades sobre una v. a. X  Normal (, 2) “la estandarizamos” y consultamos la tabla de la v.a. Z  Normal (0,1)

EJEMPLO Una de las primeras aplicaciones de la curva normal fue debida al astrónomo F. W. Bessel en 1818, que comprobó que los errores de medida de 300 datos astronómicos (arcos en grados [°] sobre la esfera celeste) coincidían con bastante aproximación con los previstos por Gauss con la curva normal. Suponiendo que la media de estos errores es cero y la desviación estándar es 4°, calcular: i) la probabilidad de que un error no sea mayor que 6°. ii) la probabilidad de que sea por defecto, mayor que 8°. iii) si llamamos “pequeños” a los errores menores que 7° y “grandes” a los mayores que 7°, calcular el número esperado de errores grandes y pequeños en las 300 observaciones. iv) ¿Por encima de que valor, en grados, se garantiza errores por exceso con probabilidad de 0.15.? [Tomado de “Fundamentos de Estadística” por Daniel Peña. Alianza Editorial, Madrid 2001.]

EJEMPLO Una máquina despachadora de refrescos está ajustada para servir un promedio de 200 ml por vaso. Si la cantidad de refresco que sirve la máquina está normalmente distribuida con una desviación estándar de 15 ml a) ¿Que fracción de los vasos contendrá más de 224 ml? b) ¿Cual es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 ml y 209 ml? c) ¿Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 ml de capacidad en los siguientes 1000 refrescos? d) ¿Abajo de que volumen se obtiene el 25% más pequeño de los refrescos?

EJEMPLO La dureza Rockwell de un metal se determina al golpear con un punto acerado (herramienta) la superficie del metal y después medir la profundidad de penetración del punto. Suponga que la dureza Rockwell de cierta aleación esta normalmente distribuida con media 70 y desviación estándar de 3 (la dureza Rockwell se mide en una escala continua). Si un espécimen es aceptable sólo si su dureza esta entre 65 y 75, ¿cuál es la probabilidad de que un espécimen seleccionado al azar tenga una dureza aceptable? Si la escala aceptable de dureza es (70 – c, 70 + c), ¿para qué valor de c tendría una dureza aceptable del 95% de todos los especimenes? Si la escala aceptable es como en el punto a) y la dureza de cada diez especimenes seleccionados al azar se determina independientemente, ¿cuál es el número esperado de especimenes aceptables entre los diez? ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo 8 de 10 especimenes seleccionados independientemente tengan una dureza menor de 73.84? (Ayuda: Y = número entre los diez especimenes con dureza menor de 73.84 es una variable binominal; ¿cuál es p?)

EJEMPLO Hay dos máquinas para cortar corchos destinados a usarse en botellas de vino. La primera produce corchos con diámetros normalmente distribuidos con media de 3 cm y desviasión estándar de 0.1 cm. La segunda produce corchos con diámetros también con distribución normal pero con una media de 3.04 cm y desviasión estándar de 0.02 cm. Los corchos aceptables tiene diámetros entre 2.9 y 3.1 cm. ¿Cuál máquina tiene más probabilidad de producir un corcho aceptable? Si la escala aceptable es (3 – c, 3 + c), ¿para qué valor de c tendría una aceptación del 95% de todos los corchos? (utilice la primera distribución)

DISTRIBUCIONES DE VARIABLES MULTIDIMENSIONALES VARIABLE BIDIMENSIONAL X: Beta(½, ½). Y: Normal(0; 1) NORMAL BIVARIADA

ENLACES Planeta Matemático http://euler.fmat.ull.es/~huafonso/joomla2/index.php?option=com_content&task=view&id=118&Itemid=106 Electronic TextBook (StatSoft) http://www.statsoft.com/textbook/stathome.html En este sitio se recomiendan ver en detalle las opciones “Elementary Concepts” y “Distribution Fitting” Fiabilidad de componentes. Distribución exponencial http://www.mtas.es//insht/ntp/ntp_316.htm