1 Estadística Aplicada Universidad Maimónides 2016 Clase 6 – Contraste de Hipótesis Pedro Elosegui

Definición de Hipótesis La Hipótesis es un enunciado acerca de una población que se elabora con el propósito de ponerla a prueba. Ejemplos de hipótesis acerca de un parámetro de población son: – la media mensual de ingresos para analistas de sistemas es $3625 – el 20% de los delincuentes juveniles son capturados y sentenciados a prisión – una persona acusada de un delito es culpable o inocente? 9-3

Que errores se pueden cometer? Una persona acusada de un delito es culpable o inocente? “en caso de duda vale más libertar un culpado, que condenar un inocente” General José de San Martín (Instalación de la Corte Suprema de Perú, 1821) 9-3

Que errores se pueden cometer? - Error Tipo I: rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera - Error Tipo II: No rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es falsa. 9-3 HipótesisSituación RealNo rechazoRechazo Hipótesis nula H 0: INOCENTE Verdadera (es inocente) Hipótesis nula H 0: INOCENTE Falsa (no es inocente)

Que errores se pueden cometer? Un médico que le da una medicación a un paciente sano estaría cometiendo un Error Tipo I Un médico que NO le da una medicación a un paciente enfermo estaría cometiendo un Error Tipo II 9-3 HipótesisSituación RealNo rechazoRechazo Hipótesis nula H 0: INOCENTE Verdadera (es inocente)OKError Tipo I Hipótesis nula H 0: INOCENTE Falsa (no es inocente)Error Tipo IIOK

De que se trata una prueba de hipótesis? -Es un procedimiento basado en la evidencia muestral y en la teoría de probabilidad -Se emplea para determinar si la hipótesis es: – razonable y no debe rechazarse – NO es razonable y debe ser rechazada 9-4

Prueba de hipótesis 9-5

Definiciones Hipótesis nula H 0 : afirmación acerca del valor de un parámetro poblacional Se plantea con el objetivo de probar y supone que “no hay cambio ” Por esta razón siempre incluye el signo “=“ Hipótesis alterna H 1 : afirmación que se aceptará si los datos muestrales proporcionan evidencia de que la hipótesis nula es falsa Nivel de significancia: probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera 9-6

Definiciones Valor crítico -el valor que divide la región de aceptación y la región de rechazo de la hipótesis nula -Corresponde al valor z que surge del nivel de significancia elegido Estadístico de prueba -valor obtenido a partir de la información muestral -se utiliza para determinar si se rechaza o no la hipótesis nula -En las pruebas acerca de la media poblacional el Estadístico de prueba es 9-7

Prueba de significancia de una cola Una prueba es de una cola cuando la hipótesis alterna, H 1, establece una dirección, como: – H 0 : el ingreso medio de las mujeres es menor o igual al ingreso medio de los hombres. – H 1 : el ingreso medio de las mujeres es mayor que el de los hombres. 9-8

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Prueba de significancia de dos colas Una prueba es de dos colas cuando no se establece una dirección específica de la hipótesis alterna H 1, como: – H 0 : el ingreso medio de las mujeres es igual al ingreso medio de los hombres. – H 1 : el ingreso medio de las mujeres no es igual al ingreso medio de los hombres. 9-10

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Prueba para la media poblacional: muestra grande, desviación estándar poblacional conocida Cuando se hace una prueba para la media poblacional de una muestra grande y se conoce la desviación estándar, el estadístico de prueba está dado por: 9-12

EJEMPLO 1 Los fabricantes de Fries’ Catsup indican en su etiqueta que el contenido de la botella es de 16 onzas. Cada hora se toma una muestra de 36 botellas y se pesa el contenido. La muestra de la última hora tiene un peso medio de onzas con una desviación estándar de.5 onzas. ¿Está el proceso fuera de control para un nivel de significancia de.05? 9-13

EJEMPLO 1 continuación Paso 1: establezca la hipótesis nula y alterna Paso 2: establezca la regla de decisión: Paso 3: calcule el valor del estadístico de prueba: H 0 se rechaza si z 1.96 Paso 4: decisión sobre H 0 : no se rechaza H 0 porque 1.44 es menor que el valor crítico

Valor p en la prueba de hipótesis Valor p: es la probabilidad de observar un valor muestral tan extremo o más que el valor observado, dado que la hipótesis nula es verdadera. Si el valor p es menor que el nivel de significancia, H 0 se rechaza. Si el valor p es mayor que el nivel de significancia, H 0 no se rechaza. 9-15

Cálculo del valor p Prueba de una cola: valor p = P { z el valor absoluto del estadístico de prueba calculado} Prueba de dos colas: valor p = 2P { z el valor absoluto del estadístico de prueba calculado} Para el EJEMPLO 1, z = 1.44, y para una prueba de dos colas, el valor p = 2P { z 1.44} = 2( ) = Como.1498 >.05, no se rechaza H

Prueba para la media poblacional: muestra grande, desviación estándar poblacional desconocida Aquí es desconocida, así que se estimará con la desviación estándar de la muesta s. Siempre que el tamaño de muestra n 30, z puede aproximarce con: 9-17

EJEMPLO 2 La cadena Roder’s Discount emite su propia tarjeta de crédito. Lisa, la gerente de crédito, quiere encontrar si la media mensual de saldos no pagados es mayor que $400. El nivel de significancia es de.05. Una revisión al azar de 172 saldos reveló que la media muestral es $407 y la desviación estándar muestral es $38. ¿Debe Lisa concluir que la población media es mayor que $400, o es razonable suponer que la diferencia de $7 ($407-$400) se debe al azar? 9-18

EJEMPLO 2 continuación Paso 1: Paso 2: H 0 se rechaza si z > Paso 3: Paso 4: H 0 se rechaza. Lisa puede concluir que la media de saldos no pagados es mayor que $

Prueba de hipótesis: dos medias poblacionales 9-20 Suponga que los parámetros para dos poblaciones son: Para muestras grandes el estadístico de prueba es:

Prueba de hipótesis: dos medias poblacionales Cuando no se conocen pero el tamaño de muestra. es mayor o igual que 30, el estadístico de prueba es 9-21

EJEMPLO 3 Se realizó un estudio para comparar los años promedio de servicio de quienes se retiraron en 1979 con los que se retiraron el año anterior en Delong Manufacturing Co. Con un nivel de significancia de.01 ¿podemos concluir que los trabajadores que se retiraron el año pasado trabajaron más años según la siguiente muestra? Nota: sea población #1= año anterior. 9-22

EJEMPLO 3 continuación Paso 1: Paso 2: Rechace H 0 si z > 2.33 Paso 3: Paso 4: Como z = 6.80 > 2.33, H 0 se rechaza. 9-23

Pruebas respecto a relaciones proporcionales Relación proporcional: parte fraccional o porcentaje que indica la parte de la población o muestra que tiene un atributo particular de interés. La relación proporcional muestral se representa por donde 9-24

Estadístico de prueba para ensayos con una sola relación proporcional de población 9-25 relación proporcional poblacional relación proporcional muestral

EJEMPLO 4 En el pasado, 15% de la propaganda por correo para donativos dio como resultado contribuciones. Se mandó una nueva carta a una muestra de 200 personas y 45 enviaron un donativo. Para.05 de significancia, ¿se puede concluir que la nueva carta fue más efectiva? 9-26

EJEMPLO 4 continuación Paso 1: Paso 2: H 0 se rechaza si z > Paso 3: Paso 4: como z = 2.97 >1.645, H 0 se rechaza. La nueva carta es más efectiva. 9-27

Prueba donde interviene la diferencia entre dos relaciones proporcionales de población 9-28 El estadístico de prueba en este caso es:

Prueba donde interviene la diferencia entre dos relaciones proporcionales de población (cont.) es la media ponderada de las dos relaciones proporcionales, calculadas por: 9-29

EJEMPLO 5 ¿Es más probable que los trabajadores solteros falten más que los trabajadores casados? Una muestra de 250 trabajadores casados indicó que 22 faltaron más de 5 días el año pasado, mientras que una muestra de 300 trabajadores solteros indicó que 35 faltaron más de 5 días. Utilice.05 de nivel de significancia. Nota: sea población #1 = trabajadores solteros. 9-30

EJEMPLO 5 continuación Paso 1: Paso 2: H 0 se rechaza si z > Paso 3: 9-31

EJEMPLO 5 continuación Paso 4: H 0 no se rechaza. No existe diferencia entre la proporción de trabajadores casados y solteros que faltan más de 5 días al trabajo. El valor p = P{ z > 1.1} =