Técnicas de conteo En algunos experimentos pueden aparecer un número muy grande de resultados que dificultan la contabilización directa de los mismos. En esta parte se presentaran algunas técnicas que se conocen como Análisis Combinatorio para calcular el números de posibles resultados de un experimento. El principio fundamental de la multiplicación, que es la base para desarrollar las Técnicas de Conteo, requiere de un producto sucesivo de números enteros positivos, en forma creciente o decreciente, denominado factorial de un número , y se explica a continuación. Bernardo F. Marco A. G.

FACTORIAL DE UN NÚMERO La palabra factorial proviene de factor, que se refiere a los elementos de la multiplicación. Factorial de un número es el producto consecutivo de todos los números enteros desde el uno al número dado n inclusive, se representa por n!, donde n debe ser real, entero y positivo, calculándose de la forma siguiente: n!=1x2x3x4x5x…..x(n-2)x(n-1)xn. Bernardo F. Marco A. G. Tomando en cuenta que el orden de los factores no altera el producto, podemos invertir su orden, de tal manera que n!= nx(n- 1)x(n-2)x…..x5x4x3x2x1

FACTORIAL DE UN NÚMERO Considerando la propiedad asociativa de la multiplicación y la propia definición de factorial, se puede llegar a la expresión siguiente: n!=n(n-1)!, llamada Fórmula Fundamental del Factorial. La definición del Factorial carece de sentido para n= 0, sin embargo, para aplicarla en forma general se considera que 0!=1, tomando en cuenta que 1!=1, por lo que al aplicar la fórmula fundamental del factorial n!=n(n-1)! para n=1, tenemos que 1!=1(1-1)! =1x0!, por lo tanto 0!=1. Bernardo F. Marco A. G.

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO Conocido también como Principio Fundamental de la Multiplicación, dice lo siguiente: Si un hecho puede realizarse de n1 formas distintas y si para cada una de éstas puede efectuarse un segundo acto de n2 formas diferentes, entonces ambos actos pueden realizarse de n1xn2 formas distintas, lo anterior puede extenderse a más actos, entonces un secuencia de k actos puede realizarse de n1xn2xn3xn4x…..xnk-1xnk formas distintas. Bernardo F. Marco A. G.

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO Ejemplo: Un ingeniero adquirió un terreno para un proyecto inmobiliario, el permiso oficial para llevarlo a cabo requiere que el predio esté a su nombre ante el Registro Público de la Propiedad. Para los trámites correspondientes de la escrituración el ingeniero necesita los servicios profesionales de un abogado y un notario público. En la región hay cinco abogados y tres notarios públicos. ¿Cuántas diferentes parejas abogado- notario, en ese orden , puede elegir el ingeniero para la escrituración? Bernardo F. Marco A. G. Solución: Como n1=5 y n2=3, ns=5x3=15 pares

PERMUTACIONES Se denominan permutaciones a los arreglos de n elementos considerados, tomados estos de r a la vez, ya sea agrupados todos o parte de ellos (r ≤ n). Cuando los arreglos tienen al menos un elemento diferente o con elementos iguales, pero difieren en el orden, se dice que son permutaciones diferentes. Bernardo F. Marco A. G. Para determinar el número de arreglos diferentes que se pueden formar al tomar r objetos dentro de los n dados, dividimos el problema en varios eventos.

PERMUTACIONES 1) Se escoge el primer objeto (orden=1). Hay n maneras diferentes, n-(orden-1)=n-(1-1)=n. 2) Se escoge el segundo objeto (orden=2). Hay n-1 maneras diferentes, n-(orden-1)=n-(2-1)=n-1. Así sucesivamente, se escoge el résimo-1 objeto. r-1) Se escoge el résimo-1 objeto (orden=r-1). Hay n-r+2 maneras diferentes, n-[(r-1)-1]=n-r+2. r) Se escoge el résimo objeto (orden=r). Hay n-r+1 maneras diferentes, n-(r-1)=n-r+1. Bernardo F. Marco A. G. Las permutaciones se representan mediante Pnr , donde n es el número de objetos disponibles y r el número de objetos que se toman para formar los arreglos.

PERMUTACIONES Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos: Pnr=nx(n-1)x(n-2)x……x(n-r+2)x(n-r+1). Considerando que factorial de n es n!=nx(n-1)x(n-2)x…..x5x4x3x2x1 y que factorial de n-r es (n-r)!=(n-r)x(n-r-1)x(n-r-2)x……x5x4 x3x2x1. Bernardo F. Marco A. G. El número de arreglos diferentes buscado se puede obtener dividiendo el factorial de n entre el factorial de n-r, por lo tanto Pnr=n!⁄(n-r)!=nx(n-1)x(n-2)x……x(n-r+2)x(n-r+1).

EJERCICIOS I) Para ir del punto A al B existen tres caminos, y para ir del punto B al C existen dos caminos diferentes, como se nuestra en la figura. A B C 1) ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de A a C pasando por B? 2) ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de A a C pasando por B y regresar a B? 3) ¿De cuántas maneras diferentes se puede hacer un viaje redondo de A a C, si no se permite usar cada camino más que una vez? Bernardo F. Marco A. G.

EJERCICIOS II) Calcular cuántos números diferentes mayores de 246 se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, y 4 si no se permite repetir dígitos en un mismo número formado. Números de tres cifras. Números de cuatro cifras. Bernardo F. Marco A. G. III) Cuantas filas de seis hombres se pueden formar de un grupo de diez, si tres de los hombres siempre deben estar juntos, aparezcan o no en la fila. IV) Cuantas placas para vehículo particular se pueden formar en el Distrito federal.