1 C OMPUTACIÓN A VANZADA PARA M ÚSICA POR O RDENADOR ALGORITHMS FOR COMPUTING GEOMETRIC MEASURES OF MELODIC SIMILARITY 1

2 ALGORITHMS FOR COMPUTING GEOMETRIC MEASURES OF MELODIC SIMILARITYCAMO 1. Introducción Multitud de estudios para obtener la similitud entre 2 melodías: Cálculo de la distancia de edición basado en 1-dimension Cálculo de la distancia de edición basado en 2-dimensiones Diversidad de aplicaciones: Bases de datos, Query by humming Infracción de Copyright 2

3 ALGORITHMS FOR COMPUTING GEOMETRIC MEASURES OF MELODIC SIMILARITYCAMO 2. Distancia geométrica entre 2 melodías 3 Ó Maidín propuso en 1998 una medida geométrica de diferencias entre 2 melodías M a y M b, dichas melodías debían estar modeladas como monotónicas y de igual duración de las alturas. La diferencia entre las 2 melodías se definía como la mínima área entre las 2 cadenas.

4 ALGORITHMS FOR COMPUTING GEOMETRIC MEASURES OF MELODIC SIMILARITYCAMO 2. Distancia geométrica entre 2 melodías 4 El área entre 2 cadenas se obtenía integrando el valor absoluto de la vertical L 1 a través del dominio Θ (tiempo). Se debe considerar también la posibilidad de comparar melodías largas con otras más cortas. Incluso se deben poder compara melodías con diferente clave y diferente tempo. Francu and Nevill-Manning (2000) el área mínima entre 2 cadenas considerando todas las posibles trasposiciones. Para ello dividieron las cadenas en (m y n) sectores de igual tamaño. Su algoritmo tenia una complejidad O(mn).

5 ALGORITHMS FOR COMPUTING GEOMETRIC MEASURES OF MELODIC SIMILARITYCAMO 2. Distancia geométrica entre 2 melodías En algunos estilos musicales como la India y la Africana, las melodías son cíclicas. Estas melodías pueden representarse como cadenas ortogonales en la superficie de un cilindro.

6 ALGORITHMS FOR COMPUTING GEOMETRIC MEASURES OF MELODIC SIMILARITYCAMO 2. Distancia geométrica entre 2 melodías 6 Este artículo es una extensión del presentado por Aloupis et al. en En el se describen 2 algoritmos para encontrar el área mínima entre 2 melodías (M a y M b ) ortogonales de tamaño m y n respectivamente (n>m). Estos algoritmos están definidos para melodías cíclicas, aunque no hay diferencias entre melodías cíclicas y no cíclicas. El primero de los algoritmos asume que la dirección Θ es fija y tiene una complejidad de O(n). El segundo algoritmo encuentra el área mínima entre 2 cadenas en ambas direcciones Z y Θ, con una complijidad de O(nmlogn).

7 ALGORITHMS FOR COMPUTING GEOMETRIC MEASURES OF MELODIC SIMILARITYCAMO 7 3. Minimización respecto a la dirección Z Asumimos que ambas melodías están fijas en la dirección Θ, y que la M a es fija en ambas direcciones, con lo que solo se moverá la M b. Se dividen las melodías k rectangulos, tal i como índica la figura. K es como mucho n+m El area entre M a y M b se cálcula sumando el área de los rectángulos C i (i=1.. k)

8 ALGORITHMS FOR COMPUTING GEOMETRIC MEASURES OF MELODIC SIMILARITYCAMO 8 3. Minimización respecto a la dirección Z Situamos z=0 donde el eje horizontal superior de M b se superpone con el eje horizontal inferior de M a. Se define el area comopara una z determinada. Con lo que llegamos a donde Z b1 es la posición de M b Reiser (1978) indicó que la distancia mínima se obtenía hallando la mediana de la coordenada vertical para Z i Con lo que situando Z bi en la mediana obtenemos el mínimo con O(n).

9 ALGORITHMS FOR COMPUTING GEOMETRIC MEASURES OF MELODIC SIMILARITYCAMO 9 4. Minimización respecto a la direcciones Z y Θ Para encontrar el mínimo global necesitamos las coordenadas Θ que hacen que 2 ejes verticales coincidan. El algoritmo anterior se podrá aplicar O(nm) veces, con lo que tenemos una complejidad total de O(n 2 m).

10 ALGORITHMS FOR COMPUTING GEOMETRIC MEASURES OF MELODIC SIMILARITYCAMO Minimización respecto a la direcciones Z y Θ W T D z i w i [g | s | u] W T D W T  Es peso de todas las hojas que hay debajo del subárbol T D  hojas crecientes – hojas decrecientes Z i  z-event del la hoja i w i  peso de la hoja i Si desplazamos la M b ∆Θ el peso de un subarbol es de W T + D∆Θ Con este desplazamiento podemos, crear, destruír o cambiar el tipo de c i. Cada uno de estos cambias tiene un complejidad de O(logk). Como tenemos O(nm) posibles combinaciones, se pueden calcular todas las posibles combinaciones en O(nmlogn).

11 ALGORITHMS FOR COMPUTING GEOMETRIC MEASURES OF MELODIC SIMILARITYCAMO Extensions (Higher dimensions) Para cada coordenada-x vamos a tener más de un eje (altura, timbre,...). Podemos calcular la distancia entre 2 cadenas en O(nmdlogn), donde d es el número de dimensiones.

12 ALGORITHMS FOR COMPUTING GEOMETRIC MEASURES OF MELODIC SIMILARITYCAMO Extensions (Scaling) Fijamos una melodía como la unidad y la otra la modificamos en consecuencia. x-value es una coordenada-x donde coinciden 2 ejes verticales de las 2 cadenas. Fijamos x-value como un “ancla” y empezamos a escalar en ambas direcciones, al menos hasta encontrar otro x-value. Con este método el óptimo se produce en la posición donde al menos hayan 2 ó más x-values. Esto significa que tenemos O(n 2 m 2 ) posibles configuraciones. Por tanto encontrar el área entre 2 cadenas llevará O(n 3 m 3 logn).

13 ALGORITHMS FOR COMPUTING GEOMETRIC MEASURES OF MELODIC SIMILARITYCAMO Extensions (Non-Orthogonal Chains) En todos los apartados anteriores se ha asumido que el cambio de altura, timbre o volumen es constante. En la realidad eso no siempre ocurre así, puede haber cambios de alturas progresivos. En este caso los ejes verticales se pondrían en el vertice de cada cadena.

14 ALGORITHMS FOR COMPUTING GEOMETRIC MEASURES OF MELODIC SIMILARITYCAMO Extensions (Non-Orthogonal Chains) Al desplazamos una de las cadenas el área de cada Ci se reduce linealmente hasta que los segmentos se cortan, a partir de ese punto de inflexión el área se reduce cuadráticamente. El área total será la suma de n funciones de 2º grado.

15 ALGORITHMS FOR COMPUTING GEOMETRIC MEASURES OF MELODIC SIMILARITYCAMO Extensions (Non-Orthogonal Chains) Para calcular el área mínima existe un algoritmo que recibe todas las funciones parciales y devuelve el valor mínimo realizando solo desplazamientos verticales. El algoritmo realiza tiene una complejidad de O(|R|)para cada iterarción y eliminar una fracción de R en el mismo tiempo. El tiempo total es O(n), en un tiempo lineal podemos calcular el área mínima entre 2 cadenas teniendo en cuenta todas las traslaciones verticales. Modificar el algoritmo para tenga en cuenta desplazamientos horizontales no es trivial. No es cierto que el mínimo ocurra cuando los vértices de las cadenas estén alineados verticalmente. Cuando desplazamos horizontalmente una cadena cambiamos la parte lineal de cada función y además también cambiamos su eje de simetría. Si se usa un árbo para mantener la mediana, habrá que insertar y borrar hoja y además reordenar el orden de las hojas en cada desplazamiento horizontal.

16 ALGORITHMS FOR COMPUTING GEOMETRIC MEASURES OF MELODIC SIMILARITYCAMO Extensions (Integer Weights/Heights) Solo se permiten ciertas alturas (Heights) o duraciones de tiempo (Weights), el área mínima entre 2 melodías se calcula en O(nmlogn). El problema radica cuando esa búsqueda del mínimo nos obligaría a fijar z en una altura no permitida. No se sabe como solucionarlo.

17 ALGORITHMS FOR COMPUTING GEOMETRIC MEASURES OF MELODIC SIMILARITYCAMO Conclusiones Se han propuesto varios algoritmos eficientes para calcular el área mínima entre 2 melodías. Estos algoritmos no tienen ninguna restricción en la diferencia en alturas ni tampoco en la duración temporal. Se asume que las melodías son monotónicas. Extender estos algoritmos a melodías polifónicas será una tarea interesante para el futuro.