@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.1 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO U.D. 10 * 2º BCT

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.2 POSICIÓN RELATIVA DE RECTAS Y PLANOS U.D * 2º BCT

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.3 POSICIONES DE RECTA Y PLANO POSICIONES DE RECTA Y PLANO. Las posiciones que pueden adoptar una recta y un plano en el espacio son:  Recta y plano secantes. Tienen un punto en común.  Recta y plano paralelos. No tienen ningún punto en común.  Recta contenida en el plano. Todos los puntos de la recta pertenecen al plano.

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.4 POSICIÓN RECTA Y PLANO ESTUDIO ANALÍTICO Consideremos la recta r:{Ax+By+Cz+D=0, A’x+B’y+C’z+D’=0} y el plano π  A''x+B''y+C''z+D''=0. Estudiar su posición equivale discutir el sistema formado por sus ecuaciones. Para ello consideramos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada. A B C A B C D A = A’ B’ C’ A/M = A’ B’ C’ D’ A” B” C” A” B” C” D” El rango de r vale 2, ya que los planos que determinan la recta son secantes. Pueden presentarse los siguientes casos entre recta y plano:...

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.5 POSICIÓN RECTA Y PLANO 1.Rang A = Rang A/B = 3  S.C.D. Solución única. Los tres planos se cortan en un punto. Es decir, la recta y el plano son secantes. Las coordenadas del punto se obtienen resolviendo el sistema. 2.Rang A <>Rang A/B  S.I. Los tres planos no tienen ningún punto en común. Es decir, la recta y el plano son paralelos. 3.Rang A = Rang A/B = 2  S.C.I. Las infinitas soluciones dependen de un parámetro. Los tres planos tienen una recta en común. Es decir, la recta está contenida en el plano. El tercer plano pasa por la recta determinada por los dos primeros.

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.6 Ejercicio 1 Estudia la posición relativa de la recta r: {x=2.t, y = 1+3.t ; z = t} y el plano π  3x+2y-11z-5=0. Solución Las ecuaciones implícitas de la recta son: x = 2z, y = 1 + 3z  r: { x – 2z = 0, y – 3z = 1} Estudiar su posición equivale discutir el sistema formado por: 1 0 – – 2 0 A = 0 1 – 3 A/M = 0 1 – – – 11 5 Rango (A) >= 2, pues hay un determinante de orden 2 no nulo. |A| = – = 1 <> 0  Rango (A) = 3 El rango de (AM) no puede ser 4, luego Rango (AM) = 3 Rg (A) = Rg (AM) = 3  La recta y el plano son secantes. 1 0 – – – – 3 1 = 0 1 – 3 1 = 0 1 – 3 1  z = 3, y = 10, x = –

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.7 Ejercicio 2 Estudia la posición relativa de la recta r: {x = t, y = 2+ t ; z = 2t} y el plano π  2x+y-z-3=0. Solución Las ecuaciones implícitas de la recta son: x = – (y – 2 ), z = 2.(y – 2 )  r: { x – 3y = – 7, 2y – z = 4} Estudiar su posición equivale discutir el sistema formado por: 1 – – 3 0 – 7 A = 0 2 – 1 A/M = 0 2 – – – 1 3 Rango (A) >= 2, pues hay un determinante de orden 2 no nulo. |A| = – = 5 <> 0  Rango (A) = 3 El rango de (AM) no puede ser 4, luego Rango (AM) = 3 Rg (A) = Rg (AM) = 3  La recta y el plano son secantes. 1 – 3 0 – 7 1 – 3 0 – 7 1 – 3 0 – – 1 4 = 0 2 – 1 4 = 0 1 – 0,5 2  z = – 2, y = 1, x = – – 5 – – 3,5 7

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.8 Ejercicio 3 Se consideran la recta r  { x – 2y – 2z = 0, x + 5y – z = 0 } y el plano π  2x+y+mz=n. a)¿Para qué valores de m y n, r y π son secantes? b)¿Y paralelos? c) ¿Y que π contiene a la recta r? Solución Estudiar su posición equivale discutir el sistema formado por: 1 – 2 – 2 1 – 2 – 2 0 A = 1 5 – 1 A/M = 1 5 – m 2 1 m n Rango (A) >= 2, pues hay un determinante de orden 2 no nulo. |A| = 5m + 4 – m = 7m + 23  7m + 23 = 0  m = – 23/7 Si m = - 23/7 |A| = 0  Rango (A) = 2 Si m <> - 23/7 |A| <> 0  Rango (A) = 3 El rango de (AM) no puede ser 4, luego estudiemos si vale 3.

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.9 …Ejercicio 3 …Solución Si m = - 23/7 |A| = 0  Rango (A) = 2 Si m <> - 23/7 |A| <> 0  Rango (A) = 3 Estudiemos el rango de (AM): 0 – 2 – 2 Ax = 0 5 – 1 = 2n + 10n = 12.n n 1 m 1 0 – 2 Ay = 1 0 – 1 = – 2n + n = – n 2 n m 1 – 2 0 Ax = = 5n + 2n = 7.n 2 1 n Si m = – 23/7 y n = 0  Rango (A) = 2, Rango (AM) = 2  CASO 1 Si m = – 23/7 y n <> 0  Rango (A) = 2, Rango (AM) = 3  CASO 2 Si m <> – 23/7 y n = 0  Rango (A) = 3, Rango (AM) = 3  CASO 3

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.10 …Ejercicio 3 …Solución Si m = – 23/7 y n = 0  Rango (A) = 2, Rango (AM) = 2  CASO 1 Si m = – 23/7 y n <> 0  Rango (A) = 2, Rango (AM) = 3  CASO 2 Si m <> – 23/7  Rango (A) = 3, Rango (AM) = 3  CASO 3 CASO 1 Sistema compatible e indeterminado. Recta contenida en plano. x – 2y – 2z = 0  x – 2y = 2z x + 5y – z = 0  x + 5y = z  7y = – z  y = – z / 7 x = 2z + 2y = 2z – 2z /7 = (12/7)z Punto de intersección: P(12z/7, - z/7, z) CASO 2 Sistema Incompatible. Recta y plano paralelos.

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.11 …Ejercicio 3 …Solución CASO 3 Sistema Compatible y Determinado. Recta corta al plano en un punto. 1 – 2 – – 2 – – 2 – – 1 0 = = 0 1 1/7 0 = 2 1 m n 0 5 m+4 n 0 0 m+4-5/7 n /7 0 =  z = n / (m + 23/7)  y = – n / 7.(m + 23/7) 0 0 m+23/7 n  x = – 12.n / (m+23/7) Punto de corte P(– 12.n / (m+23/7), – n / 7.(m + 23/7), n / (m + 23/7) )

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.12 Ejercicio 4 Se consideran la recta r  { (x – 1)/2 = (y + 1) = z } y el plano π  x + y + z – 4 = 0. Hallar la ecuación de la recta s, proyección ortogonal de r sobre π. Solución Por estar r y s en el mismo plano sus vectores directores, u, v y N son linealmente dependientes. u= (x – 1, y +1, z); v =(2,1, 1) ; N= (1, 1, 1) x – 1 y + 1 z = x – 1 + y z – x + 1 – 2y – 2 – z = 0 – y + z – 1 = 0 Ecuación de s: s  {– y + z – 1 = 0, x + y + z – 4 = 0 } r s A(1,–1,0) A’ π π’π’

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.13 Ejercicio 5 Dado el punto A(1, 1, 1) y el plano π  x + 2y + 2z = 1. Hallar las coordenadas del pie de la perpendicular trazada desde A a ese plano. Solución El vector normal del plano N(1,2,2) es el vector director de la recta que pasa por A y por su pie A’. Recta r: (x,y,z) = (1,1,1) + k.(1,2,2) x=1+k, y = 1+2k, z= 1+2k Sustituyendo en la ecuación del plano: x + 2y + 2z = k + 2.(1 + 2k) + 2.(1 + 2k) = k k k = 1 9k = – 4  k = – 4/9 El punto A’, la proyección, perteneciente al plano: x = 1 – 4/9, y = 1 – 8/9, z = 1 – 8/9 A’(5/9, 1/9, 1/9) r A(1,1,1) A’ π N