Econometría MSc. Daisy Espallargas Ibarra

Tema II Modelo Generalizado Método de los Mínimos Cuadrados Generalizados Bibliografía: Econometría, Damodar N. Gujarati. Páginas 253 a 258 Medidas Remediales para resolver: La existencia de autocorrelación

El Método de los mínimos cuadrados Generalizados, es aquel que utiliza un procedimiento de transformar las variables originales, de tal manera que las variables transformadas satisfagan los supuestos del modelo clásico y de aplicar a continuación el método de los Mínimos Cuadrados Ordinarios.

Se sabe que la matriz de covarianza de u t es igual a ( la varianza de U t por la matriz Identidad) y por tanto el estimador MCO es un estimador de varianza mínima, entre los estimadores lineales insesgados. Pero cuando la matriz de covarianza de u t es, digamos con implica que el estimador MCO ya no tiene varianza mínima, y esto ocurre porque existe Autocorrelación.

Bajo estas nuevas propiedades del término de error, hay que buscar un método que logre cualidades deseadas, es decir, habría que transformar el modelo econométrico en otro, cuyos coeficientes fuesen los mismos, pero el término de error tuvieses matriz de covarianza escalar.

Una matriz es escalar, si todos los elementos fuera de la diagonal principal son ceros y los elementos en la diagonal principal sean iguales entre si Lo que cumple la matriz

Se puede decir que el Método de los Mínimos Cuadrados Generalizados es el Método de los Mínimos Cuadrados Ordinarios, aplicado sobre las variables transformadas que satisfagan los supuestos tradicionales de los mínimos cuadrados. Así los estimadores obtenidos de esta forma son los Mejores Estimadores Lineales e Insesgados y de Varianza Mínima.

Diferencia entre Mínimo Cuadrado Ordinario y Mínimo Cuadrado Generalizado En la práctica la diferencia entre los dos métodos estará en que el MMCG minimiza la Suma de cuadrado Residual ponderada, mientras que el MMCO, minimiza una suma de cuadrado residual no ponderada.

En el MMCG, la ponderación que se le asigna a cada observación es inversamente proporcional a su varianza. Observaciones provenientes de una población con mayores varianzas recibirán una ponderación relativamente menor que aquellas provenientes de una población con varianza proporcionalmente menores. Mientras que MMCO la importancia que se le asigna a cada observación es la misma. Todo lo cuál hace que MCG produzca mejores estimadores. Estimadores MELI y de varianza mínima.

Uso del Método MCG Vamos a utilizar este método para aplicar las medidas remediales en el incumplimiento de los supuestos de:  No Autocorrelación en los residuos  Homocedasticidad

Cumplimiento del supuesto de no Autocorrelación  Se sabe que debe existir independencia serial del término de las perturbaciones y que, además, deben ser variables independientes distribuidas con varianzas constantes

Hay muchas razones para que consideremos excesivamente restrictivo el supuesto de Autocorrelación en el término de perturbación, como son: La naturaleza de los datos, especificaciones del modelo o presencia de variables endógenas retardadas, constituyen entre otras, algunas de las causas que pueden dar origen a este problema. Y cuando esto ocurre los estimadores mínimo cuadráticos se volverán sensibles a las fluctuaciones muestrales y para una muestra en particular tenderían a dar una visión distorsionada de los verdaderos parámetros poblacionales.

Los estimadores MCO, continúan siendo lineales, insesgados y consistentes, pero dejan de ser eficientes. La varianza residual subestima el verdadero valor de  2 Es probable que se sobrestime R 2 Las pruebas tradicionales de t y F dejan de ser válidas. Si se aplican es probable que lleven a conclusiones erradas sobre la significación estadística de los coeficientes de regresión estimada.

Formas para solucionar la existencia de Autocorrelación La existencia de autocorrelación puede estar generada por diferentes causas entre las más habituales que generan este problema está: La de una incorrecta especificación del modelo.

Soluciones para eliminar la existencia de Autocorrelación 1.- Como la causa más común es la incorrecta especificación del modelo. Se debe revisar primeramente esto, es decir, si se omitieron variables relevantes, incluirlas; Si la forma funcional no es la correcta, rectificarla etc. Si no se resuelve el problema de esta forma 2.- Entonces el segundo paso sería Aplicando el Método de los Mínimos Cuadrados Generalizados, es decir transformando el modelo.

Para analizar la corrección del incumplimiento del supuesto de No Autocorrelación, es necesario trabajar con la perturbación aleatoria. Partiremos suponiendo que la misma (U t) se genera a partir del siguiente modelo

Y bajo este esquema el modelo se puede ajustar eficientemente mediante el método de Cochrane Orcutt, que parte considerando que si se tiene un modelo en el período “t”, este será válido en el período “t-1”, esto es: Si lo multiplicamos por  y esta ecuación la restamos del modelo anterior

El modelo transformado sería:

Y esta ecuación anterior se conoce como Ecuación de diferencias generalizadas, ya que involucra la regresión de “y” en “x”, no en la forma original sino en forma de diferencias, las cuales se obtiene restando una proporción igual a del valor de una variable en el previo período, del valor en el actual período de tiempo. Una vez calculada esta ecuación transformada se obtendrán estimadores eficientes de  i.

Esta ecuación de diferencias generalizadas es fácil de aplicar pero por lo general es difícil de estimar, debido a que en la práctica muy pocas veces se conoce el valor de, para estimarlo hay diferentes métodos: A partir del estadístico “d” de Durbin d = 2 (1 - ) lo que implica que = 1- d/2 pero sólo es válido en muestras grandes. O a través del Método de Cochrane Orcutt Estamos hablando de muestras que su tamaño este comprendido al menos entre 60 y 70 observaciones

A partir del procedimiento iterativo de Cochrane Orcutt: Si consideramos un modelo de 2 variables, el procedimiento sería: Estimar el modelo de 2 variables a partir de MCO para obtener los residuos (e t ) Utilizando los residuos estimados llevar a cabo la siguiente regresión: Estimador sesgado, pero consistente de,  que a medida que aumenta “n” indefinidamente converge hacia el verdadero valor de .

Se utiliza el en la Ecuación de diferencias: Se obtienen los nuevos residuos Se estima la siguiente regresión: se obtiene el nuevo

El EView automáticamente realiza estas iteraciones, proporcionando un resultado óptimo, a través de las siguientes instrucciones: QUICK / ESTIMATE ECUATION / Y C X AR(1) Se debe significar que al plantear AR(1) se estará logrando la transformación que plantea el método, y el coeficiente que lo acompaña es el valor de.

El valor del coeficiente de Determinación obtenido en esta última salida no es comparable ya que corresponde a variables dependientes diferentes con variabilidad diferentes.

Vamos a ver dos ejemplos donde se puedan ejemplificar las dos situaciones que hemos planteado: Rectificando la especificación del modelo Transformando el modelo

A partir de los datos siguientes, se va a estimar la función de demanda del sector de bienes de equipo de un país. En concreto se va a analizar en qué medida el valor añadido por el sector de bienes de equipo nacional (VA t ) está determinado por el nivel de inversión (I t ) y los precios en estos bienes (P). Para ello, se formulará el siguiente modelo lineal: Donde: VA t = Valor añadido bruto del sector de producción de bienes de equipo, en millones de unidades monetarias constantes según I t = Inversión nacional en bienes de equipo, en millones de unidades monetarias constantes. P t = Precios industriales de bienes de equipos, a escala nacional según 1980.

VAIPX

Dependent Variable: VA Method: Least Squares Sample: Included observations: 18 VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C I P R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regresión Akaike info criterion Sum squared resid8.52E+08 Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Para n = 18 k = 2 d L = 0.93 y d U = 140 d = 1.33 Por lo que podemos decir que cae en la zona de duda o incertidumbre, por lo que consideraremos que se incumple el supuesto de No Autocorrelación

Partiremos que hubo una mala especificación del modelo  Se dejó de incluir una variable que era relevante en este análisis es decir:  Las exportaciones netas de bienes de equipo, y que sabemos a partir de los especialistas que influye en el Valor Añadido y tenemos las posibilidades de obtener esta observación en la información base que se tiene. Vamos a denominarla X t

Dependent Variable: VA Method: Least Squares Sample: 1 18 Included observations: 18 VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C I P X R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid4.62E+08 Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) n = 18 k = 3  = 0.05 d L = 0.82 y d U = 1.56  4 – d U = 2.44 d = 1.87 d = 1.87  1.56  2.44 Por tanto no Rechazo H 0 No existe Autoco

Si el comportamiento del gráfico es no aleatorio, esto implica, posible existencia de autocorrelación. Si el comportamiento del gráfico es aleatorio, esto implica, posible ausencia de autocorrelación En este caso se observa aleatoriedad Por tanto podemos decir: Posible ausencia de Autocorrelación

Supongamos que se tienen los datos sobre las importaciones (M) y el Producto Nacional Bruto (PNB) de un determinado país. Supongamos, además, que se desea ajustar una función de importación. Ambas variables vienen expresadas en unidades monetarias. Veamos otro Ejemplo

Al aplicar las instrucciones del Eviews, QUICK / ESTIMATE ECUATION / Y C X Dependent Variable: M Method: Least Squares Date: 11/18/02 Time: 18:30 Sample: 1 20 Included observations: 20 VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C PNB R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

El p(valor) = <  = 0.05 el modelo es significativo. El estadístico d, de Durbin-Watson tiene un valor de , dicho valor al compararlo con el obtenido en la tabla para k’ variables explicatorias (sin tener en cuenta el parámetro independiente) y n observaciones con el nivel de significación fijado(0.05) Indica que se debe rechazar H 0, y por tanto se admite la presencia de autocorrelación serial positiva. H 0 :  =0 Hay Autocorrelación H 1 :   0 No hay Autocorrelación Según Tabla : Para n = 20 y k’ = 1 dL = 1.08 y dU = 1.28

Al aplicar Cochrane Orcutt: QUICK / ESTIMATE ECUATION / Y C X AR(1) Dependent Variable: M Method: Least Squares Date: 11/18/02 Time: 20:42 Sample(adjusted): 2 20 Included observations: 19 after adjusting endpoints Convergence achieved after 7 iterations VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C PNB AR(1) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Inverted AR Roots.65

Al aplicar el Cochcrane-Orcutt El modelo estimado con las variables transformadas vemos que es significativo, p (valor)F = <  = 0.05 Además los coeficientes que se obtienen son las estimaciones eficientes de los parámetros Ahora aplicando Breusch, comprobamos si se eliminó la presencia de Autocorrelación en los residuos. Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: F-statistic Probability Obs*R-squa Probability Y el P-valor de n*R 2 =   = 0.05por lo tanto concluimos que no existe autocorrelación serial de 2do orden

Al utilizar el MMCG se obtendrán estimadores MELI, ya que este método incorpora cualquier información adicional con que se cuente directamente en el proceso de estimación, transformando las variables, de hecho en este caso se incorpora el parámetro de autocorrelación (  ) en la fórmula de estimación. Mientras que el MMCO si existiera información adicional no la toma directamente en consideración y no tiene este parámetro en su formulación.

Un aspecto importante a tener en cuenta es sobre el Coeficiente de Determinación (R 2 ) que los mismos no son comparables, porque corresponden a variables dependientes diferentes, con variabilidad diferentes.

La presencia de autocorrelación no debe corregirse siempre por este método, porque con frecuencia la autocorrelación es debido a errores de especificación en el modelo y consecuentemente en estos casos la estrategia a seguir debe ser corregir estos errores. En este ejercicio que se acaba de hacer no se hizo por no contar con elementos para hacerlo CUIDADO