PROCESADORES DIGITALES DE SEÑALES Transformada Z - VI Sistemas Electrónicos, EPSG Tema IV Transformada Z:

Contenido de la Sesión Dominio transformado: Ecuaciones en diferencias Función de transferencia Diagrama de ceros y polos Respuesta en frecuencia: Respuesta de amplitud y fase Retardo de fase y grupo Interpretación geométrica del efecto de los ceros y los polos

Dominio Transformado Un sistema LTI se puede caracterizar completamente en el dominio del tiempo mediante su respuesta al impulso h[n] La salida y[n] debida a una entrada x[n] se obtiene mediante la convolución:

Dominio (continuación...) Como la respuesta al impulso y la respuesta en frecuencia son un par transformado... La respuesta en frecuencia, suponiendo que exista, proporcionará también una caracterización completa de un sistema LTI:

Dominio (continuación...) Sistemas LTI para los cuales la relación entre la entrada y la salida se expresa por una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes: Se analizan mejor en el dominio de la TZ...

Dominio (continuación...) Expresión algebraica de H(z) H(z) como un cociente de polinomios en z...

Dominio (continuación...) Expresión factorizada de H(z) Inmediato pasar de H(z) a la ecuación en diferencias H(z)=0 sólo cuando c k =1... H(z)=  sólo cuando d k =1...

Diagrama de Ceros y Polos... Práctica # 4 Transformada Z, Ejercicio 3.3.1

Dominio (continuación...) La expresión factorizada es de interés cuando se consideran: Condiciones de causalidad y estabilidad Evolución de la respuesta al impulso Condiciones de existencia del sistema inverso causal y estable Diseño de respuestas en frecuencia Condiciones de un sistema pasatodo Diagrama de ceros y polos...

Respuesta en Frecuencia La respuesta en frecuencia H(e jw ) de un sistema LTI es la ganancia compleja, o autovalor, que el sistema aplica a una exponencial compleja a su entrada e jwn, autofunción: Respuestas o “distorsiones” de Amplitud y de Fase...

Respuestas de Amplitud y de Fase... Práctica # 4 Transformada Z, Ejercicio 3.3.1

Respuesta (continuación...) Efectos de la amplitud y la fase: Deseables, si la señal de entrada se modifica de una forma útil...; indeseables, si la señal de entrada se deteriora... Efectos de la amplitud: Amplifica o suprime ciertas frecuencias... Efectos de la fase: Retardo de fase y retardo de grupo...

Retardos de Fase y Grupo Sistema de retardo ideal Respuesta en frecuencia Amplitud Fase

Retardos (continuación...) La respuesta de fase de un sistema LTI es una función continua de w Si la respuesta de fase es lineal, el único efecto será un retardo a la salida del sistema LTI: Fase

Retardos (continuación...) Una medida conveniente de la linealidad de la fase es lo que se conoce como retardo de grupo La desviación del retardo de grupo es una constante que nos indicará el grado de no linealidad de la respuesta de fase El retardo puede ser entero o fraccionario...

Retardo de Grupo... Práctica # 4 Transformada Z, Ejercicio 3.3.1

Ejemplo Amplitud y Fase Ejemplo 5.1 pp. 244 Oppenheim Efectos de la atenuación y del retardo de grupo Figs. 5.1, 5.2 y 5.3

Retardo de Grupo y Respuesta en Frecuencia... Fig. 5.1

Señal de entrada x[n] y |X(e jw )|... Fig. 5.2

Señal de Salida y[n]... Fig. 5.3

Ejemplo (continuación...) La señal de entrada x[n] consiste en tres pulsos de banda estrecha, w=0.85 , w= 0.25  y w=0.5  La señal de salida y[n]: Pulso en w=0.85  muy atenuado Pulso en w=0.25  se retrasa 200 muestras Pulso en w=0.5  se retrasa 50 muestras Figs. 5.1, 5.2 y 5.3

Ejemplo (continuación...) En muchas aplicaciones, la distorsión de retardo se considera una forma suave de distorsión de fase Sólo desplaza la secuencia en el tiempo Se compensa fácilmente introduciendo retardos en otras partes del sistema, si el mismo es un sistema complejo Figs. 5.1, 5.2 y 5.3

Retardos de Fase y Grupo Aplicaciones... Sincronización de módems digitales Cambio de la frecuencia de muestreo por un factor no racional Mejoras en la codificación de la voz Modelado de instrumentos musicales, etc

Números Complejos Forma cartesiana Forma polar Ecuaciones de transformación

Representación en el Plano Complejo... Práctica # 4 Transformada Z, Ejercicio 3.2.1

Números (continuación...) Suma y resta de números complejos Multiplicación y división de números complejos

Respuesta en Frecuencia Si un sistema LTI y estable tiene una H(z) racional, su entrada y su salida satisfacen una ecuación en diferencias, su respuesta en frecuencia será la H(z) evaluada en la circunferencia unidad:

Respuesta (continuación...) Para determinar el módulo, la fase y el retardo de grupo asociados a H(e jw ), resulta útil expresarla en función de los ceros y los polos:

Respuesta (continuación...) Módulo o respuesta de amplitud H(e jw )=0 sólo cuando c k =1... H(e jw )=  sólo cuando d k =1...

Respuesta (continuación...) Respuesta de fase Retardo de grupo  ()=0 sólo cuando c k =1 y d k =1...

Respuesta (continuación...) Ejemplo 1 Dada una exponencial compleja causal, obtener el diagrama de ceros y polos así como la respuesta en frecuencia

Respuesta (continuación...) Diagrama de ceros y polos...

Respuesta (continuación...) Asíntota vertical debido al polo...

Respuesta (continuación...) Ejemplo 2 Dada una H(z) formada por un cero y un polo, cómo sería la respuesta en frecuencia

Respuesta (continuación...) Diagrama de ceros y polos y respuesta de frecuencia

Respuesta (continuación...) La forma de la respuesta en frecuencia dependerá de la posición de los ceros y los polos en el plano z: La amplitud decrementa cerca del cero y aumenta cerca del polo Se logra un mínimo en el ángulo del cero y un máximo en el ángulo del polo Controlando la posición de los ceros y los polos se puede controlar la forma de H(e jw )

Respuesta (continuación...) “Zonas” de frecuencia de la circunferencia unidad...

Interpretación Geométrica Construcción geométrica simple: Dibujar la respuesta en frecuencia a partir del diagrama de ceros y polos La respuesta en frecuencia es la función de transferencia evaluada en la circunferencia unidad del plano z El valor complejo de cada cero o polo se representa como un vector que va desde el cero o el polo hasta un punto en la circunferencia unidad

Interpretación (continuación...) Interpretación geométrica...

Respuestas de Amplitud y Fase...

Interpretación (continuación...) Demora de grupo...

Interpretación (continuación...) Interpretación geométrica...

Respuestas de Amplitud y Fase...

Interpretación (continuación...) Demora de grupo...

Interpretación (continuación...) Ejemplos de sistema LTI diseñados a partir del control de su diagrama de ceros y polos: Filtro pasa bajos Filtro resonador Filtro ecualizador

Filtro Pasa Bajos Diagrama de ceros y polos, respuesta de frecuencia...

Filtro Resonador Diagrama de ceros y polos, respuesta de frecuencia...

Filtro Ecualizador Diagrama de ceros y polos, respuesta de frecuencia...