Pulso de onda Ecuación de ondas v Movimiento sentido positivo de x Y(x,t) = f(x-vt) Sin disipación -v Movimiento sentido negativo de x Y(x,t) = f(x+vt) Ecuación de ondas 1

¿Qué sucede frente a un cambio en las condiciones de propagación? Sea una cuerda compuesta por dos sectores de distinta densidad lineal vi = v1 1 2 2 > 1 Pulso incidente vt = v2 (v2 < v1) vr = v1 1 2 Pulso transmitido Pulso reflejado Potinc= Pottrans+Potref Se invierte Cambia la amplitud No se invierte Nunca se invierte Cambia la amplitud vi = v1 1 2 2 < 1 Pulso incidente ¿Vínculo entre amplitudes? vt = v2 (v2 > v1) vr = v1 1 2 Pulso reflejado Pulso transmitido 2

Pulso de onda viajando hacia la izquierda en un resorte liviano y que es parcialmente reflejado y parcialmente transmitido al encontrarse con un resorte más denso Pulso de onda que viaja hacia la derecha en un resorte denso y que es parcialmente reflejado y parcialmente transmitido al encontrarse con un resorte menos denso Las fotos están tomadas a intervalos regulares, se puede apreciar la diferencia de velocidad del pulso para distinta densidad 3

Ejemplos con frontera fija Onda circular reflejada en una frontera fija Pulso de onda viajando, a la izquierda inicialmente, en un resorte y reflejado en una frontera fija 4

Barrera Extremo fijo =0 Tercera Ley de Newton Se invierte Casos extremos. vi = v1 Barrera Pulso incidente El pulso ejerce una fuerza ascendente sobre el soporte 2   1 2 Extremo fijo =0 Tercera Ley de Newton 1 Pulso reflejado El soporte ejerce una fuerza descendente sobre el pulso vr = v1 Se invierte Cambia la fase en  Anillo muy ligero sin fricción 1 vi = v1 Pulso incidente Ejerce una fuerza sobre el elemento de cuerda, éste se acelera, como un péndulo, va mas allá del eq., “dispara” con demasiada potencia y ejerce una fuerza de reacción en la cuerda. El pulso regresa 2  0 2 vr = v1 Pulso reflejado Extremo libre x=0 1 No se invierte No hay cambio de fase 5

Superposición de ondas ¿Qué pasa si en vez de un pulso de onda es una onda propagante arbitraria la que llega a la frontera? ¿Qué sucede cuando coincidan en el tiempo y el espacio la onda incidente y la onda reflejada? O, en general, ¿qué sucede cuando coinciden dos o más ondas en el tiempo y el espacio? Superposición de ondas 6

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN LINEAL Sistema Sistema S2 E1 S1 E2 S1 E1 Sistema S=S1+S2 E=E1+E2 + + E2 S2 S=c1S1+c2S2 E=c1E1+c2E2 SISTEMA LINEAL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN LINEAL 7

Vale el Principio de Superposición Lineal para las ondas ¿Qué pasa con las ondas? Vale el Principio de Superposición Lineal para las ondas (I) Linealidad de la derivación; (II) Por satisfacer la ecuación de ondas 8

Caso de superposición de dos pulsos de onda que viajan en un mismo eje con distintos sentidos y a la misma rapidez. Observación inicial. 9

Caso de superposición de dos ondas armónicas de igual frecuencia e igual amplitud que se propagan en el mismo eje x pero en distintos sentidos Principio de Superposición Lineal 10

Superposición lineal de dos ondas armónicas viajeras = + ¿ x  vt ? ¿ x + vt ? No es un onda viajera Superposición lineal de dos ondas armónicas viajeras ONDA ESTACIONARIA Para cada x, el movimiento es armónico simple con frecuencia angular  pero diferente amplitud |2Asen(kx)| Amplitud mínima nula Amplitud máxima 2A sen(kx)=0 |sen(kx)|=1 kx=0, , 2, 3,... kx=/2, 3/2, 5/2,... k=2/ k=2/ Número entero de medias longitudes de onda Número semientero de medias longitudes de onda n/2,t)=0 t NODOS ANTINODOS 11

t = 0 t = T/4 t = T/2 t = 3T/4 t = T Nodos 12

t = 0 t = (1/3)T/4 t = (2/3)T/4 t = T/4 t = (4/3)T/4 t = (5/3)T/4 13

Energía mecánica para un dx en una onda estacionaria En el tiempo en que K(dx) tiene su máximo, U(dx) tiene su mínimo y viceversa Para un dx en un x fijo… K(dx) = U(dx) ? ¿Se conserva la energía mecánica para dx? Sólo se conserva si donde vale A mitad de camino entre un nodo y un antinodo 14

La energía cinética es siempre nula Para los nodos: La energía cinética es siempre nula La energía potencial varía de 0 a su valor máximo Para los antinodos: La energía cinética varía de 0 a su valor máximo La energía potencial es siempre nula (el dx sobre un antinodo está siempre estirado) 15

Onda Propagante Armónica Onda Estacionaria x fijo x fijo Movimiento armónico simple Movimiento armónico simple (excepto nodos) Frecuencia angular de vibración  Frecuencia angular de vibración  Idéntica amplitud A (todos los puntos pasan por las mismas posiciones a distintos tiempos) Amplitud dependiente de la posición 2A|sen(kx+)| Transporta energía La energía no se transporta (no puede fluir más allá de los nodos) Para cada elemento dx Alternancia entre energía cinética y potencial (Máx. desplazamiento, mín. energía cinética; mín. desplazamiento, Máx. energía cinética) Para cada elemento dx Energía cinética=energía potencial (Máximo de una es máximo de la otra, mínimo de una es mínimo de la otra) 16

ONDAS ESTACIONARIAS Y RESONANCIAS Onda estacionaria en una cuerda fija por ambos extremos x = 0 x = L 1 k=2/>0, L>0  sN L=n/k f1 frecuencia fundamental; {fn} espectro de frecuencias de resonancia 17

n-ésimo armónico x = 0 x = L t = 0 t1 t2 t3 t4 t5 (modo de vibración) 18

ONDAS ESTACIONARIAS Y RESONANCIAS Onda estacionaria en una cuerda fija por un extremo y libre por el otro x = 0 x = L 1 k=2/>0, L>0  sN f1 frecuencia fundamental; {fn} espectro de frecuencias de resonancia 19

x = L x = 0 t = 0 t1 t2 t3 t4 t5 20

ONDAS ESTACIONARIAS Y RESONANCIAS Onda estacionaria en un tubo de aire (ondas longitudinales) p(x,t): presión del aire dentro del tubo; p0: presión de referencia Extremo abierto Extremo abierto Extremo abierto Extremo cerrado x = 0 x = L x = 0 x = L p0=Patm p0=Patm p0=Patm Nodo Antinodo Nodo Nodo 21

¿Cómo resulta la superpoción lineal de …? Interferencia ¿Cómo resulta la superpoción lineal de …? Batidos 22