Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden. Tema # 1

Sumario: Problema de Cauchy. EDO de Variables Separables y reducibles a ellas. Núcleos Temáticos EDO homogéneas y no homogéneas EDO Exactas y reducibles a ellas

Ecuación diferencial Se desea conocer la función y = f (x), tal que su primera derivada sea igual a 2x.

La solución de este problema, equivale a un conocido problema del cálculo diferencial Dada la derivada f ’(x) de una funciòn, determinar la funciòn f(x)

SOLUCIÒN y = x 2 y = x y = x (II)

Obsérvese que el conjunto de todas las soluciones de nuestro problema se puede expresar como: y = x 2 + C (III) En ambiente DERIVE podemos representar algunas de las parábolas del conjunto y = x 2 + C VECTOR (x 2 + C, C, -10, 10)

En general al proceso de determinación de las soluciones de una EDO se le denomina, integración de la EDO. Y a cada una de las curvas de las funciones que son solución, curva integral.

Un estudio sistemático de las ED empezó en la época de Newton y Leibniz y continúa hoy día. Su estudio había comenzado en el siglo XVII y no fue hasta el siglo XIX que se concluyó que muy pocas ED podían resolverse por métodos elementales.

Si de inicio nos hubiéramos propuesto determinar una de las parábolas particulares del conjunto (III), bastaría con agregar una condición inicial a la ecuación (I) Problema de Cauchy

y (0) = 2 (IV)

Es decir, luego de determinar el conjunto de todas las funciones y = x 2 + C y(0) = C = 2 C = 2 y = x El problema (IV) se denomina, problema con condiciones iniciales o Problema de Cauchy

Conceptos, definiciones y teoremas fundamentales

DEFINICIÓN E C U A C I Ó N DIFERENCIAL (ED) a toda ecuación que contenga una o más derivadas de una o más variables dependientes respecto a una o más variables independientes.

OBSERVACIÓN Cuando la ED contiene sólo una variable dependiente y una sola variable independiente la ecuación se denomina: ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA. (EDO)

FORMA GENERAL

Una función f(x) = ψ(x) cualquiera, definida en cierto intervalo I, es SOLUCIÓN de una ED, si al sustituirla junto con sus derivadas en dicha ecuación, la satisface idénticamente.

EJEMPLO Es fácil comprobar que la función: Es una solución para la EDO

Se llama SOLUCIÓN GENERAL de la ED (I) a una función en la forma Se llama SOLUCIÓN GENERAL de la ED (I) a una función en la forma DEFINICIÓN la cual tiene “n” constantes arbitrarias esenciales. la cual tiene “n” constantes arbitrarias esenciales.

Toda solución obtenida a partir de (II) dando valores fijos “ a i ” a dichas constantes, se denomina SOLUCIÓN PARTICULAR. Toda solución obtenida a partir de (II) dando valores fijos “ a i ” a dichas constantes, se denomina SOLUCIÓN PARTICULAR. DEFINICIÓN

OBSERVACIÓN A veces una ED tiene una solución que no puede obtenerse dando valores específicos de los parámetros en la solución general. A este tipo de solución se le denomina solución SINGULAR.

Existen ED a las cuales no se les atribuye ningún grado como : Existen ED a las cuales no se les atribuye ningún grado como : IMPORTANTE a) b)

1. Si en la ecuación aparecen derivadas o diferenciales de una función de una variable real, entonces se denomina ecuación diferencial ordinaria (EDO). OBSERVACIONES 2. Si en la ecuación aparecen derivadas parciales, entonces se llama ecuación diferencial en derivadas parciales (EDP).

EJEMPLOS 1. xy’’- 3y’ + x 2 y = x - 1 EDO 2. x sen (y+1) dx + e x dy = 0 EDO 3. (y’’’) 2 + xy’’ – x(y’) 3 = 0 EDO EDP

El orden de una ecuación diferencial está dado por el de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación DEFINICIÓN

EJEMPLOS (orden) 1. xy’’- 3y’ + x 2 y = x - 1 2do 2. x sen (y+1) dx + e x dy = 0 1er 3. (y’’’) 2 + xy’’ – x(y’) 3 = 0 3er 1er

El grado de una EDO algebraica respecto a las derivadas sucesivas es el grado algebraico de su derivada de mayor orden. DEFINICIÓN

EJEMPLOS (grado) 1. xy’’- 3y’ + x 2 y = x - 1 1er 2. x sen (y+1) dx + e x dy = 0 1er 3. (y’’’) 2 + xy’’ – x(y’) 3 = 0 2do 1er

Se llama solución de una ecuación diferencial a una función que sustituida en la ecuación la convierte en una identidad. DEFINICIÓN

EJEMPLO La función y = 3e x + 6e -2x + x 2 + x es una solución de y’’ + y’ - 2y = 3 – 2 x 2

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden resueltas respecto a la derivada.

Sea la EDO de 1er orden, F(x,y,y’) = 0 (V)

Supongamos que se puede resolver respecto a y’, entonces:

Así (VI) pudiera escribirse como: dy – f(x,y) dx = 0 (VII) y por último, haciendo

escribimos p(x,y) dx + q(x,y) dy = 0 (VIII) FORMA DIFERENCIAL de las EDO de 1er orden.

Debe tenerse en cuenta que las ecuaciones (V) – (VIII), tienen las mismas soluciones, ya que se han obtenido una de otra mediante un procedimiento algebraico

Las EDO F(x,y,y´)=0 y G(x,y,y´)=0 se llaman equivalentes en un cierto dominio de definición de las funciones F y G siempre que cualquier solución de una es solución de la otra. DEFINICIÓN

Analicemos a continuación un importante teorema que ofrece condiciones sobre la existencia y la unicidad de la solución de una EDO de 1er orden

Teorema de existencia y unicidad Sea la EDO y’ = f(x,y), donde la funciòn f(x,y) està definida en una regiòn S  R 2 Si existe un entorno V del punto P 0 (x 0,y o )  S donde f(x,y)

 es continua  tiene derivada parcial  f /  y acotada Entonces se encontrará un intervalo [x 0 -h, x 0 +h] en el cual existirá una única solución de y’ = f(x,y) y que cumple que y(x o )=y 0

Observaciones: 1. Una interpretación geométrica del mismo nos indica que por el punto P 0 (x 0, y 0 ) pasa una única curva integral de y’ = f(x, y) 2. Tiene un carácter local, pues solo garantiza la existencia y unicidad de la solución, en un entorno de x 0 del problema de Cauchy y’ = f(x, y) y(x 0 ) = y 0

3. El teorema confirma que la ecuación y’ = f(x, y) tiene infinitas soluciones.

Se llama solución general de la ecuación y’ = f(x,y), a la familia uniparamètrica y = φ(x, C) que satisface las siguientes condiciones: 1. y’ = f(x, y), se satisface para cualquier valor real de C. 2. Cualquiera sea la condición inicial y(x o ) = y 0, se puede hallar C 0 tal que la función y = φ(x, C 0 ) satisfaga la condición inicial dada. DEFINICIÓN

Ejemplo. La función Es la solución general de la función: y’ + 2y = e x.

En efecto, y’ = -2Ce -2x + e x /3 y sustituyendo en la ecuación diferencial: -2Ce -2x + e x /3 + 2(Ce -2x + e x /3) = e x e x = e x

La ecuación φ(x, y, C) = 0, recibe el nombre de integral general de la EDO.

Toda función y = φ(x, C 0 ) deducida de la solución general y = φ(x, C), calculando C = C 0, se llama solución particular. Φ(x, y, C 0 ) = 0 se llama integral particular.

Ejemplos de Soluciones a EDO

Ejemplo # 1 y(1) = 2

Solución general

Para y(1) = 2 K = 2

y(1) = 2 Solución particular:

Geométricamente

Los métodos analíticos Utilizan operaciones algebraicas. Primero se halla la solución general y después la solución particular a partir de las condiciones iniciales y de frontera.

Los métodos analíticos Cada método analítico se ocupa de un tipo especial de ecuación diferencial y no es aplicable a otros tipos. La mayoría de las ecuaciones diferenciales no puede resolverse por esta vía.

Ejemplo: El péndulo simple t = 0

Ejemplo

 t > 0

Ejemplo  x y t > 0

Ejemplo  x y T mg t > 0

Ejemplo  x y T mg t > 0

Ejemplo  x y T mg t > 0

Ejemplo  x y T mg t > 0

Ejemplo  x y T mg t > 0

Un cable colgante

y x

y x x s

y x x T2T2 T1T1 ws s

Un cable colgante y x x T2T2 T1T1 ws s

Un cable colgante y x x T2T2 T1T1 ws s y(0) = 0 y’(0) = 0

E. D. de primer orden y(x 0 ) = y 0

Campo de direcciones

El campo de direcciones es un esquema en el cual, para un conjunto regular de puntos del plano xy se dibujan pequeños segmentos de recta cuya pendiente es f(x, y)

Campo de direcciones x y

pendiente: f(x, y) x y

Campo de direcciones pendiente: f(x, y) x y Una solución

Ejemplo