Ideas tomadas del capítulo V del libro Semiosis y Pensamiento Humano de Raymond Duval. Por Jorge Galeano

Problema 1 ABCD es un paralelogramo de centro O. M y J son los puntos medios de AD y DC, respectivamente. Demostrar que las rectas AJ, CM y BD son concurrentes.

REDACCIÓN O es el centro del paralelogramo ABCD. Este es el punto donde se encuentran las diagonales DB y AC y que es su punto medio (enunciado anteriormente). O es entonces el punto medio de AC y DO es una mediana del triángulo ADC. Pero como O está sobre DB, DO y DB son la misma recta. Siendo M el punto medio de AD, CM es una mediana del triángulo ADC. Y siendo J el punto medio de DC, AJ es una mediana del triángulo ADC. Las tres rectas DB, CM y AJ, siendo las tres medianas del triángulo ADC son concurrentes (enunciado anterior).

O es el centro del paralelogramo ABCD. Este es el punto donde se encuentran las diagonales DB y AC y que es su punto medio (enunciado anteriormente). O es entonces el punto medio de AC y DO es una mediana del triángulo ADC. Pero como O está sobre DB, DO y DB son la misma recta. Siendo M el punto medio de AD, CM es una mediana del triángulo ADC. Y siendo J el punto medio de DC, AJ es una mediana del triángulo ADC. Las tres rectas DB, CM y AJ, siendo las tres medianas del triángulo ADC son concurrentes (enunciado anterior).

Problema 2 ABC es un triángulo. Sobre AB, se colocan I y J tales que: mAI = mIJ = mJB. Sobre AC, se colocan K y L tales que: mAK = mKL = mLC. Mostrar que los segmentos IK, JL y BC son paralelos.

Solución Pruebo que IK // JL Me ubico en el triángulo AJL. Sabiendo que I es el punto medio de AJ y que K es el punto medio de AL, por el teorema MMM concluyo que IK // JL. Pruebo que M es el punto medio de KB Trazo KB y llamo M a la intersección de éste segmento y de JL. Me ubico en el triángulo IKB. Sabiendo que IK es paralelo a JL y que J es el punto medio de IB, por el reciproco del teorema MMM, concluyo que M es el punto medio de KB. Pruebo que JL // BC Me ubico en el triángulo KBC. Sabiendo que M es el punto medio de KB y que L es el punto medio de KC, por el teorema MMM, concluyo que ML // BC. Pruebo que IK // JL // BC Sabiendo que IK // JL y que JL //BC, por el teorema de Euclides (una recta paralela a otra, y esta paralela a una tercera, la primera es paralela a la tercera) puedo concluir que IK // JL // BC.

ABC es un triángulo. Sobre AB, se colocan I y J tales que: mAI = mIJ = mJB. Sobre AC, se colocan K y L tales que: mAK = mKL = mLC. Mostrar que los segmentos IK, JL y BC son paralelos. Pruebo que IK // JL Me ubico en el triángulo AJL. Sabiendo que I es el punto medio de AJ y que K es el punto medio de AL, por el teorema MMM concluyo que IK // JL. Pruebo que M es el punto medio de KB Trazo KB y llamo M a la intersección de éste segmento y de JL. Me ubico en el triángulo IKB. Sabiendo que IK es paralelo a JL y que J es el punto medio de IB, por el reciproco del teorema MMM, concluyo que M es el punto medio de KB. Pruebo que JL // BC Me ubico en el triángulo KBC. Sabiendo que M es el punto medio de KB y que L es el punto medio de KC, por el teorema MMM, concluyo que ML // BC. Pruebo que IK // JL // BC Sabiendo que IK // JL y que JL //BC, por el teorema de Euclides (una recta paralela a otra, y esta paralela a una tercera, la primera es paralela a la tercera) puedo concluir que IK // JL // BC.

Si se triseca la cuerda correspondiente a un arco de circunferencia (esto es, la cuerda que tiene el mismo punto inicial y final que el arco), las semirectas que, partiendo del origen, pasan por los puntos de división de la cuerda no dividen en tres partes iguales al arco. Escriba la demostración y el grafo correspondiente al siguiente problema.