Tercer Encuentro 2º MOMENTO Análisis de un Problema PROYECTO DE MEJORA DE FORMACIÓN EN CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES EN LA ESCUELA SECUNDARIA

En un plano formado por dos ejes graduados, ortogonales, i)Interesan los puntos del plano cuyas coordenadas están definidas por la relación: Se denomina E al conjunto formado por estos puntos. a)Proponer 5 pares de coordenadas correspondientes a puntos de E, y 5 pares de coordenadas correspondientes a puntos que no pertenezcan a E. b)Representar gráficamente la mayor cantidad posible de puntos de E. c)Hay puntos de E sobre el eje de las abscisas? ¿Y sobre el eje de las ordenadas? Si es así, dar las coordenadas de esos puntos. Si no, decir por qué. d)¿Hay puntos de E que tengan la misma abscisa? ¿Y otros que tengan la misma ordenada? Si sí, dar ejemplos; si no, decir por qué. EL PROBLEMA

ii)Interesa ahora el conjunto de puntos del plano cuyas coordenadas estén definidas por la relación:. Se denomina F al conjunto formado por estos puntos (Responder a las mismas preguntas que se formularon al punto i). iii) ¿Hay puntos comunes entre E y F? Si sí, dar las posibles coordenadas de estos puntos. EL PROBLEMA

LA SOLUCIÓN

No realizan una inspección de los símbolos a-priori (antes de comenzar a manipular los símbolos, necesarios, para lograr tener el sentido del problema y de su significado. Puesto en evidencia en las siguientes conductas: o Teniendo la expresión factoreada, la desarrollan y vuelven a buscar las raices (Alumnos 2). o Necesitan desarrollar la expresión factoreada para establecer punto de corte con el eje “y” (Alumnos 5 y 6). o No proponen valores convenientes para “x”, sinó cualesquiera a pesar de que se complican los cálculos y los lleva a cometer errores (Alumno 6). ERRORES DETECTADOS

No realizan una inspección de los símbolos a-priori (antes de comenzar a manipular los símbolos, necesarios, para lograr tener el sentido del problema y de su significado. Puesto en evidencia en las siguientes conductas: o Trabajan con la expresión desarrollada que resulta más compleja para obtener pares de valores que cumplen con la primera relación. o Resuelven una ecuación de segundo grado porque no advierten la posibilidad de trabajar con la expresión factoreada y simplificar la expresiones. ERRORES DETECTADOS

 El conocimiento de la situación en un marco (gráfico/algebraico) no le sirve de guía ni control de en el otro o Alumno 1: En la primera relación, la expresión algebraica no le permite anticipar el gráfico (puede deberse a la imposibilidad de anticipar el resultado del producto) la gráfica de la primer relación no tiene aspecto de una parábola En la segunda relación, a pesar de la expresión cuadrática explícita, no dibuja la parábola completa ERRORES DETECTADOS

 El conocimiento de la situación en un marco (gráfico/álgebraico) no le sirve de guía ni control de en el otro o Alumno 3: A nivel algebraico encuentra que los puntos sobre el eje “x” son x=-3 y x=16, sin embargo no completa el gráfico (puede deberse a que la escala elegida no es la más adecuada). o Alumno 6: Propone como punto que pertenece a E el par (0,39/2) y el gráfico muestra punto de cote con el eje “y” en 24. ERRORES DETECTADOS No buscan la coherencia entre los resultados obtenidos en marcos distintos

ANÁLISIS DIDÁCTICO DEL PROBLEMA

Cuestiones a tener en cuenta al elegir una Actividad: Contenido Matemático Objetivos de la actividad Dificultades con las que se puede encontrar el alumno Posibles procedimiento de resolución Variables Didácticas Posibilidad de validar las respuestas Proceso de aprendizaje Duración temporal ANÁLISIS DEL PROBLEMA

Establecer: ¿Cuáles son las competencias que supuestamente deben poseer los estudiantes para abordar el problema?. Analizar en cada uno de los marcos: gráfico, algebraico y numérico ¿Cuáles son las competencias algebraicas que sin duda deben estar disponibles,? ¿Cuáles serán los conocimientos que aparecerán a partir de la resolución del problema? ANÁLISIS DEL PROBLEMA

Objetivos del Problema Coordinar temas que se abordan y se tratan de forma separada, pero que desde el punto de vista matemático sostienen relaciones de significado. Dar a los estudiantes medios para ejercer un control de tipo científico sobre lo que hacen o dicen. Crear nuevos objetos. La resolución debe desembocar en un nuevo conocimiento que tenga significado para los estudiantes y que el profesor pueda institucionalizar en la clase.. ANÁLISIS DEL PROBLEMA

Competencia que entran en juego Las que supuestamente deben poseer los estudiantes para abordar el problema ANÁLISIS DEL PROBLEMA En el cuadro gráfico: o Trazar ejes ortogonales y saber graduarlos o Ubicar los puntos cuyas coordenadas se conocen o Leer las coordenadas de puntos marcados o Utilizar correctamente las palabras marca, ejes ortogonales, graduación, coordenadas, abscisa, ordenada. En el cuadro algebraico: o Sustituir los valores numéricos por letras en la expresión algebraica y calcular su valor

Competencia que entran en juego Y en el cuadro numérico: o Calcular correctamente con enteros naturales o Calcular de forma más o menos adecuada con los enteros, los decimales y las fracciones o Utilizar una calculadora como ayuda para los cálculos ANÁLISIS DEL PROBLEMA Las competencias algebraicas que sin duda deben estar disponibles, que ayudarán o obstaculizarán: o Desarrollar expresiones algebraicas polinomiales de primer o segundo grado donde intervienen los productos de factores o Factorizar en casos muy particulares o Resolver una ecuación de primer grado con una incógnita

Las asociadas con relaciones algebraicas: o El grado: 2 o 3 o La expresión escrita: factorizada o desarrollada o El orden de los monomios: en una lectura de izquierda a derecha, primero el término en x o primero la constante o Los coeficientes numéricos: enteros, no enteros, positivos, negativos, etc. o Los valores de anulación Las variables del Problema Las asociadas con el cuadro gráfico: o El número de puntos a marcar: finito o infinito o La posición de los puntos a seleccionar: no importa dónde, sobre uno de los ejes dentro de los límites materiales de la gráfica o fuera de esos límites, por fuera de los ejes pero con una condición restrictiva.

Las asociadas con el cuadro numérico: o Recopilación y tratamiento de una información numérica pertinente o Uso o no de una calculadora. Si se usa una calculadora sencilla o programable. Esto determina qué tan diferente pueda ser el tratamiento de un problema Las variables del Problema

La selección de las parábolas: o con concavidad de sentido opuesto, o vértices no muy alejados (facilita la convicción de existencia geométrica de los puntos de intersección). La relación algebraica escogida: o está escrita en la forma de un producto de dos factores de primer grado para facilitar la búsqueda de los valores de x que anulan y. Los coeficientes se escogen de tal forma que: o una de las raíces sea igual a un entero pequeño y pueda encontrarse después de algunos ensayos de valores enteros de x; y que la otra tome un valor lo suficientemente grande como para escaparse a los ensayos y corresponda a un punto por fuera de la hoja donde está dibujado el gráfico. Las selecciones didácticas

Las selecciones para la parte ii) del problema se pide algo análogo a lo anterior, pero a partir de una relación algebraica que es una expresión frecuente como la “diferencia de dos cuadrados”. En la parte parte iii) del problema se pide encontrar los puntos comunes a los dos conjuntos descritos respectivamente en A) y B). Esto requiere: o la traducción a la traducción algebraica de la pregunta. o será indispensable que el signo “=” tome otro significado diferente al que ha tenido en el estudio de las partes precedentes. o la resolución de una ecuación de segundo grado que tiene términos de a ambos lados Las selecciones didácticas

Condiciones que debe tener: o Con sus conocimientos, no puede solucionar completamente el problema. Las razones pueden ser diversas. Es posible que las nociones matemáticas no formen explícitamente parte del conocimiento del estudiante. No se trata de una simple aplicación de las nociones o métodos conocidos. El puede tener algunas ideas para abordar el problema y con eso puede arrancar. PROBLEMA Fuente y oportunidad de aprendizaje

Con sus conocimientos, no puede solucionar completamente el problema … o Esto es lo que sucede en la pregunta b) de las parte i) y ii), donde función es la noción apropiada. Puede suceder que el estudiante disponga de estas nociones, pero en otro contexto y pueda tener dificultades para adaptarlas al nuevo. Esto sucede en la parte iii) donde la factorización de los dos miembros de la ecuación es la herramienta adaptada para resolverla. PROBLEMA Fuente y oportunidad de aprendizaje

Condiciones que debe tener: o Los objetos de enseñanza, aquello que el profesor quiere que los estudiantes aprendan y retengan, son herramientas adaptadas a la resolución de un problema. En el problema propuesto, la factorización es la herramienta de resolución de ecuaciones de segundo grado. PROBLEMA Fuente y oportunidad de aprendizaje o El problema se expresa en al menos dos cuadros. Aquí, los cuadros gráfico y algebraico interactúan para hacer avanzar el estudio porque sugiere procedimientos y controla los efectos.