Estadística Administrativa I 2016-1 Elementos de muestreo

Métodos de muestreo Herramienta para inferir sobre una población. Métodos para seleccionar una muestra de una población.

Métodos de muestreo El propósito de la estadística inferencial consiste en determinar algo sobre una población a partir de una muestra. Una muestra es una porción o parte de la población objeto de estudio. El muestreo resulta mucho más accesible que si se realiza un estudio a toda la población.

Razones para muestrear Lo difícil que resulta establecer contacto con toda la población, el tiempo que se tendría que invertir en demasiado largo. Los costo para estudiar todos los elementos de una población resultara prohibitivo. Es imposible verificar de manera física todos los elementos de la población. Algunas pruebas son de naturaleza destructiva. Los resultados de una muestra bien obtenida son adecuados.

Tipos de muestreo No aleatorio Aleatorio

Intencional o de juicio Muestreo no aleatorio Conveniencia Cuota Intencional o de juicio En este tipo de muestreo no exacto o de carácter confiable, los elementos de la muestra son elegidos por criterio del investigador o por conveniencia de la misma. No se garantiza que sea una muestra que contenga todos los tipos de datos relevantes de la población.

Muestreo aleatorios Aleatorio simple Aleatorio sistemático Aleatorio estratificado Conglomerados

Muestreo aleatorio simple Muestra seleccionada de manera que cada elemento o individuo de la población tiene las mismas posibilidades de que sea elegido.

Este es el método clásico del muestreo aleatorio simple. Ejemplo 8.1 . . . Una empresa distribuidora de productos alimenticios tiene 845 empleados a nivel nacional. Va a entrevistar a 52 empleados para determinar sus necesidades de capacitación. El Departamento de Recursos Humanos escribe el nombre de cada empleado en un papel y lo deposita en una caja. Después de mezclarlos, se efectúa la primera selección tomando un papel sin mirarlo. Se repite el mismo proceso hasta completar 52 selecciones y escribe sus nombres. Este es el método clásico del muestreo aleatorio simple.

Muestreo aleatorio simple Un método más conveniente para seleccionar una muestra aleatoria consiste en utilizar un número de identificación para cada empleado y una tabla de números aleatorios (puede ser generada por computadora). La probabilidad de 0, 1, 2, … 9 es la misma para cada dígito de un número. Con este método, todos los elementos tienen la misma probabilidad de ser elegidos.

Números aleatorios Muestra de la mitad de una tabla de números aleatorios para seleccionar elementos para una muestra.

Muestreo aleatorio sistemático Se selecciona un punto aleatorio de inicio y posteriormente se elige cada k-ésimo miembro de la población.

Cuando el muestreo aleatorio simple no es la respuesta. Ejemplo 8.2 . . . Cuando el muestreo aleatorio simple no es la respuesta. Suponga que la división de ventas de Jetstereo necesita calcular rápidamente el ingreso medio por ventas en el mes pasado. La división de ventas sabe que se registraron 5,000 ventas y se almacenaron en cajones de archivo y se decidió seleccionar 100 recibos para calcular el ingreso promedio. El muestreo aleatorio simple requiere que se extraiga el numero recibo de cada uno antes de utilizar la tabla de números aleatorios. Este proceso de numeración puede tardar mucho tiempo. En su lugar se aplica el muestreo aleatorio sistemático.

Muestreo aleatorio sistemático Determinar el tamaño de la población. Divide el tamaño de la población entre el número de elementos que desea en la muestra al que llamaremos k Elegir al azar el primer elemento. Al resultado del primer elemento se le suma el valor de K para obtener el segundo el elemento. Los demás se elementos de obtienen de la misma manera hasta completar la muestra.

Ejemplo 8.3 . . . La división de ventas de Jetstereo necesita calcular el ingreso medio por ventas en el mes pasado. El mes pasado se registraron 5,000 ventas y se almacenaron en cajones de archivo. Se va a seleccionar 100 recibos para calcular el ingreso promedio. El conteo será de 5000 100 =50 o sea de 50 en 50. Se elige un número cualquiera como primer recibo. Puede ser 2847. El segundo elemento será el 2847+50 = 2897 El tercero 2897+50 = 2947 El elemento 100 será el 7797.

Muestreo aleatorio estratificado Una población se divide en sub-grupos denominados estratos y se selecciona al azar una muestra de cada estrato.

Muestreo aleatorio estratificado Una población se divide en grupos con ciertas características. Se aplica este método con el fin de garantizar que cada grupo se encuentre representado en la muestra. A los grupos se les llama estratos. Se extrae una muestra de cada estrato con el método aleatorio simple y se unen en una sola muestra. Ofrece la ventaja de reflejar mayor fidelidad de las características de la población que los demás tipos.

Ejemplo 8.4 . . . El departamento de mercadeo de la Corporación MINER desea conocer la aceptación que podría tener un cambio de logo de su empresa distribuidora. Actualmente cuenta con 6 sucursales distribuidas en todo el País y se giran instrucciones para que cada región tome su lista de clientes y haga las consultas al 10% de ellos. Cada sucursal es un estrato que levantará la encuesta en su región. Una vez finalizada la encuesta, se enviará a la casa matriz todas las encuestas para unirlas y formar una sola muestra.

Muestreo por conglomerados La población se divide en conglomerados a partir de los límites naturales, geográficos o demográficos. A continuación se seleccionan los conglomerados al azar y luego se toma la muestra aleatoria con elementos de cada grupo.

Muestreo por conglomerados Método usualmente elegido para reducir el costo de muestrear una población dispersa en cierta área geográfica. Se elige el área en la cual se desea hacer el muestreo. Se divide en secciones o regiones. Aleatoriamente se eligen unas cuantas regiones. Se extrae una muestra de cada región elegida utilizando el aleatorio simple o el sistemático. Se unen todas las sub-muestras para formar la muestra.

Ejemplo 8.5 . . . La secretaria de Agricultura desea conocer la cantidad de producción de maíz que se puede esperar para el próximo año. La Secretaría envía a cada región departamental las encuestas para que, tomando en cuenta el tamaño de la población de cada departamento, aplique la encuesta para determinar la cantidad de sembradío que tiene cada agricultor. Cada región departamental toma una muestra utilizando el método aleatorio simple y las envía a la Secretaría de Tegucigalpa para hacer una sola muestra.

Herramienta para hacer ajustes en los resultados de una muestra. Error de muestreo Herramienta para hacer ajustes en los resultados de una muestra.

Error de muestreo La selección de cualquier muestra de determinado tamaño en una población tiene una probabilidad conocida; esta constituye otra forma de describir un método de muestreo sin sesgo. Aunque la muestra forma parte o es una porción representativa de la población, es poco probable que la media de la muestra sea exactamente igual a la media poblacional. 𝜇≠ 𝑋

Ejemplo 8.6 . . . 𝜇=29.17 𝑋 =27.8 Error de muestreo = 1.37 Se aplicó una encuesta a los estudiantes de una sección de la clase de Estadística I para conocer las edades de este tipo de población. Luego se extrajo una muestra de 10 estudiantes. 𝜇=29.17 𝑋 =27.8 Error de muestreo = 1.37 Las medias son parecidas; pero, no iguales.

Ejemplo 8.6 . . . 𝜇=29.17 𝑋 =33.8 Error de muestreo = -4.629 Si en lugar de la muestra anterior se hubiera elegido otra (puede ser del mismo tamaño o no), es bien posible que el error de muestreo sea diferente. Esto no significa que la muestra no esté bien. 𝜇=29.17 𝑋 =33.8 Error de muestreo = -4.629 Las medias son parecidas; pero, no iguales.

Distribución muestral de la media Distribución de probabilidad de todas las posibles medias de las muestras de una determinada población.

Distribución muestral de la media Las medias muestrales varían de una a otra muestra; aunque se haya obtenido de una misma población. Si se organizan las medias de todas las muestras en una distribución de probabilidad, se obtiene la distribución muestral de la media.

Ejemplo 8.7 . . . Se tiene una población de 10 elementos. Recolectar 5 muestras que no sean iguales y calcular la media aritmética de cada una. 𝜇=5.6 𝑋 1 =5.75 𝑋 2 =4.75 𝑋 3 =5.0 𝑋 4 =6.5 𝑋 5 =6.0 Las medias son parecidas; pero, no iguales.

Muestras por población En toda población, existe la posibilidad de establecer el número de muestras que se pueden obtener a partir de una población específica. Si una población cuenta con n elementos y se pretende recolectar muestras de tamaño r, existen nCr formas de realizarlo. El conjunto de todas las muestras es una distribución muestral

Ejemplo 8.8… En una población de 10 elementos, se va a recolectar una muestra de 4 elementos. ¿Cuántas muestras diferentes se pueden obtener de la población? 10 𝐶 4 = 10! 4! 10−4 ! = 10! 4!6! 10 𝐶 4 =210 El conjunto de todas las medias es una distribución muestral

Ejemplo 8.8 . . . En la sección de estadística se realizó una prueba corta en grupo por valor de10 puntos, los resultados que se obtuvieron se muestran en la tabla. Con esta información calcular: ¿Cuál es la media de la población? ¿Cuál es el total de muestras que se pueden obtener? ¿Cuál es la distribución muestral de las medias para muestras de tamaño 2? Grupo NOTA 1 7 2 3 8 4 5 6 10

. . . Ejemplo 8.8 Media Poblacional 𝜇= 5+6+6+8+8+10 6 =7.33=7.3 Tamaño de la distribución muestral de medias 6 𝐶 2 = 6! 2! 6−2 ! = 6𝑥5𝑥4! 2!4! = 6𝑥5 2 =15 Distribución muestral de la media La distribución muestral de medias está formada por 15 muestras de 2 elementos cada una.

Listado de muestras posibles Distribución muestral de medias … Ejemplo 8.8 Listado de muestras posibles Distribución muestral de medias

Media de distribución muestral La media de la distribución muestral de medias, es la media aritmética de todas las medias calculadas. 𝜇 𝑋 = 𝑋 ∗ 𝐹 𝑗 𝑁 Cada media se multiplica por el número de veces que se repite en la distribución (Frecuencia) y la suma de todos los productos se divide entre el total de muestras. El resultado obtenido se compara con la media poblacional.

Ejemplo 8.9 . . . A partir de la distribución de medias de una sección de Estadística I, calcular el aproximado de la media poblacional 𝜇 𝑋 = 1200 15 𝜇 𝑋 =80 𝜇=80

Teorema del Límite Central Si todas las muestras de un tamaño en particular que se seleccionan en cualquier distribución muestral de medias se aproxima a una distribución normal. Esta aproximación mejora con muestras grandes.

Teorema del Límite Central Si la población tiene una forma sin sesgo, entonces, en el caso de cualquier tamaño de muestra, la distribución muestral de las medidas, también será sin sesgo. Si se tiene una población con algún tipo de sesgo, utilizando más de 30 muestras se podrá generar una distribución de medias sin sesgo. NOTA: Este concepto es útil para el desarrollo de los temas de Intervalos de confianza y Prueba de hipótesis.

Teorema del Límite Central El cálculo de la Media para la Distribución de Medias genera un resultado bastante aproximado con relación a la Media Poblacional. Para establecer el error de estas diferencias, se utiliza una fórmula que recibe el nombre de “error estándar de la media” que se basa en la desviación estándar. 𝜇=7.33 𝜇 𝑋 =7.26

Error estándar de la media 𝜎 𝑋 Error estándar de la media El nombre completo de esta medida es “Desviación estándar de la distribución muestral de medias”, significa que calcula la desviación estándar de las medias resultantes en todas las muestras.

Error estándar de la media 𝜎 𝑋 = 𝜎 𝑛 Cuando se incrementa el número de muestras, el error estándar de la media se reduce debido a la mejor aproximación.

Ejemplo 8.10 . . . Scrapper Elevator Co. Tiene 20 ejecutivos de ventas que distribuyen su producto en Estados Unidos y Canadá. La cantidad de elevadores vendidos el mes pasado se muestran en la tabla siguiente: VENDE-DOR VENTAS Juan 2 Pedro 3 Raquel Yesenia Marcia Roberto 4 Rebeca Elías Fernando Marvin 7 Francisco Leonardo Antonia 5 Tomás Rubén Esteban Ramiro Teresa Lucrecia Cruz

Ejemplo 8.10 . . . Con los datos de la población que corresponde a las ventas totales de elevadores ejecutar los siguientes cálculos: Calcular la media de la población Calcular la varianza y desviación estándar de la población Construir una distribución de medias con 5 muestras elegidas aleatoriamente. Calcular la media de la distribución de medias Calcular el error estándar de la media

… Ejemplo 8.10 𝜇= 𝑥 𝑖 𝑁 𝜇= 66 20 =3.3 𝜎 2 = 𝑥−𝜇 2 𝑁 a) Media Poblacional 𝜇= 𝑥 𝑖 𝑁 𝜇= 66 20 =3.3 b) Varianza y desviación estándar Poblacional 𝜎 2 = 𝑥−𝜇 2 𝑁 𝜎 2 = 34.2 20 =1.71 𝜎= 𝜎 2 𝜎= 1.71 =1.31

𝜇=3.3 … Ejemplo 8.10 𝜎=1.31 5 muestras aleatorias de 5 elementos (ejecutivos) cada muestra Media de la distribución de medias Error estándar de la media 𝜎 𝑋 = 𝜎 𝑛 = 1.31 5 =0.5848 𝜇 𝑋 = 18.8 5 =3.76

Uso de la distribución muestral de las medias Para utilizar la distribución muestral de medias, se debe conocer la población; solo es de extraer muestras y asumir que la distribución seguirá el comportamiento de la distribución de probabilidad normal con dos condiciones.

Condiciones Cuando se sabe que las muestras se toman de poblaciones regidas por la distribución normal, el tamaño de la muestra no constituye un factor relevante. Cuando se desconoce la forma de la distribución de población o se sabe que no es normal; pero, la muestra contiene por lo menos 30 observaciones, el teorema del límite central garantiza que la distribución muestral de las medias sigue una distribución normal.

Valor Z y 𝜎 conocida 𝑧= 𝑋 −𝜇 𝜎 𝑛 Si la desviación estándar de la población es conocida, el valor de z es el resultado del cociente entre la variación de la media aritmética de la muestra y la media de la población, entre el error estándar. 𝑧= 𝑋 −𝜇 𝜎 𝑛

𝑧= 𝑋 −𝜇 𝜎 𝑛 Ejemplo 8.11. . . Una población normal tiene una media de 60 y una desviación estándar de 12. Usted selecciona una muestra aleatoria de tamaño 9 para calcular la probabilidad de que la media muestral sea mayor que 63. 𝑃 𝑋 >63 =𝑃 𝑧> 63−60 12 9 =𝑃 𝑧> 3 4 𝑃 𝑋 >63 =𝑃 𝑧>0.75 𝑃 𝑋 >63 =0.5−2734 0.2266 𝑃 𝑋 >63 =0.2266 23% es la probabilidad de que la media sea mayor que 63.

Ejemplo 8.11 . . . Una población normal tiene 75 de media y desviación estándar de 5. Usted selecciona una muestra aleatoria de tamaño 40. Calcular la probabilidad de que la media muestral sea menor que 74. 𝑃 𝑋 <74 =𝑃 𝑧< 74−75 5 40 =𝑃 𝑧< −1 0.791 𝑃 𝑋 <74 =𝑃 𝑧<−1.26 𝑃 𝑋 <74 =0.5−3962 𝑃 𝑋 <74 =0.1038 10% es la probabilidad de que la media muestral sea menor que 74.

Estimación e Intervalo de confianza Intervalo de confianza de media artimética

Estimador puntual Es un valor deducido de una muestra para estimar un valor de una población.

Ejemplo 8.12….. Se elige una muestra de 50 ejecutivos de mandos intermedios y se le pregunta a cada uno la cantidad de horas que laboró la semana pasada en el campo. Se calcula la media de esta muestra de 50 y se utiliza el valor de la media muestral como un estimador puntual de la media poblacional desconocida. Un estimador puntual es solamente un valor. Aunque se espera que el estimador puntual se aproxime al parámetro poblacional, es conveniente medir cuán próximo se encuentra de la realidad.

Intervalo de confianza Es un conjunto de números deducidos de estimadores puntuales que se espera que estimen el parámetro poblacional.

Estimadores puntuales e intervalos de confianza de una media 𝜇 conocida, 𝜎 conocida. Estimador puntual: 𝜎 𝜇 desconocida, 𝜎 conocida. Estimador puntual: 𝜎 𝜇 desconocida, 𝜎 desconocida. Estimador puntual: 𝑠 𝜋 conocida Estimador puntual: 𝑝

Nivel de confianza Probabilidad de que la media poblacional se encuentre en un rango determinado. Nivel de confianza

Intervalo de confianza Es el rango que indica la mejor aproximación de la media poblacional a partir de la media aritmética de la muestra que se haya recolectado. Nivel de confianza Los intervalos más populares son los calculados en base a 85%, 90%, 95% y 99% de confianza

Intervalo de confianza El investigador elige el porcentaje que determina la confiabilidad de un intervalo; pero, existen algunas sugerencias según el tipo de estudio. 90% para estudios sobre política 95% para estudios relacionados con el comportamiento del consumidor. 99% para productos relacionados con salud o alimentación. Útil en control de calidad.

Valor de z y nivel de confianza A partir del nivel de confianza, se ubica el valor de z que corresponde a través del siguiente proceso: Determinar el nivel de confianza en formato de probabilidad. Dividir la probabilidad entre 2 para reducirlo al 50% de la distribución de probabilidad. Ubicar en la tabla de probabilidades de la curva normal el valor más aproximado a la división calculada. Ubicar en la columna de z y en la línea de encabezado para formar el valor de z.

Ejemplo 8.13….. Calcular el valor de z para el 95% de confianza. La probabilidad del 95% es 0.9500 Dividir 0.9500 / 2 = 0.4750 Ubicar en la tabla de probabilidades de la curva normal el valor más aproximado a la división calculada. Ubicar la fila que 1.9 y 0.06 en la columna. Sumar ambos resultados. 𝑧=1.9+0.06 𝑧=1.96

Ejemplo 8.13….. Calcular el valor de z para el 99% de confianza. La probabilidad del 99% es 0.9900 Dividir 0.9900 / 2 = 0.4950 Ubicar en la tabla de probabilidades de la curva normal el valor más aproximado a la división calculada (el mayor). Ubicar la fila 2.5 y la columna 0.08. Sumar ambos resultados. 𝑧=2.5+0.08 𝑧=2.58

Intervalo de confianza 𝜇 𝐼𝐶% = 𝑋 ±𝑧 𝜎 𝑋 𝜇 conocida 𝜎 conocida

Ejemplo 8.14 . . . Del Monte Foods envasa duraznos en trozos en latas de 4 onzas. Para asegurarse que cada lata contenga por lo menos la cantidad que se requiere, Del Monte establece que el proceso de llenado debe verter 4.01 onzas de duraznos y almíbar en cada lata. Suponer que la desviación estándar del proceso es de 0.02 onzas y que el proceso se rige por la distribución de probabilidad normal. Se selecciona una muestra aleatoria de 16 latas; la media de la muestra da como resultado un promedio de 4.025 onzas de duraznos y almíbar. 𝜇=4.01 𝜎=0.02 𝑛=16 𝑋 =4.025

. . . Ejemplo 8.14 𝜇=4.01 𝜎=0.02 𝑛=16 𝑋 =4.025 𝑋 =4.025 𝑧=? 𝜎 𝑋 =? Calcular el intervalo de confianza del 95% para determinar si el proceso se está cumpliendo de acuerdo al estándar establecido y la media poblacional se mantiene en 4.01. Datos 𝑋 =4.025 𝑧=? 𝜎 𝑋 =?

. . . Ejemplo 8.14 𝜇=4.01 𝜎=0.02 𝑛=16 𝑋 =4.025 Calcular el error estándar 𝜎 𝑋 = 𝜎 𝑛 = 0.02 16 =0.005 Calcular z para nivel de confianza del 95% 𝑃 𝑧 95% = 0.9500 2 𝑃(𝑧=?)=0.4750 𝑧=1.96

. . . Ejemplo 8.14 Calcular intervalo de confianza 𝑋 =4.025 𝜇 95% =4.025± 1.96 0.005 𝑧=1.96 𝜎 𝑋 =0.005 𝜇 95% =4.025±0.0098 𝜇 95% = 4.025−0.0098 4.025+0.0098 𝜇=4.01 𝜇 95% = 4.0152 4.0348 𝜇 95% = 4.015 4.035 𝜇 El promedio de lo envasado según la muestra es muy alto. 𝑋

Intervalo de confianza 𝜇 𝐼𝐶% = 𝑋 ±𝑧 𝜎 𝑋 𝜇 desconocida 𝜎 conocida

Ejemplo 8.14. . . Se toma una muestra de 49 observaciones de una población normal que tiene una desviación estándar de 10. La media aritmética de la muestra es de 55. Determinar el intervalo de confianza de 99% para la media poblacional. 𝑛=49 𝜎=10 𝑋 =55 𝜇 𝑋 = 𝑋 ±𝑧 𝜎 𝑋 Calcular el error estándar 𝜎 𝑥 = 𝜎 𝑛 = 10 49 = 10 7 =1.4286

Ejemplo 8.14. . . 𝜇 𝑋 =55±𝑧(1.4286) Determinar el valor de Z para el 99% 𝑃 𝑧 99% = 0.9900 2 𝑃(𝑧=?)=0.4950 𝑧=2.58 Calcular el intervalo de confianza 𝜇 99% =55±2.58 1.4286 𝜇 99% =55±3.6857 𝜇 99% = 55−3.6857 55+3.6857 Existe un 99% de confianza de que la media poblacional está entre 51.31 y 58.69 𝜇 99% = 51.3143 58.6857

Intervalo de confianza 𝜇 𝐼𝐶% = 𝑋 ±𝑡 𝑠 𝑋 𝜇 desconocida 𝜎 desconocida

Intervalo de confianza No es usual que en los estudios se conozca la desviación estándar de la población; por lo que se recurre a la desviación estándar de la muestra para estimar los resultados. La distribución que aplica en estos casos es la distribución t de Student que asume que la distribución en la población es normal; pero, con muestras pequeñas.

Intervalo de confianza La fórmula para el cálculo del intervalo de confianza se modifica de la siguiente manera: 𝑋 ±𝑡 𝑠 𝑋 𝑠 𝑋 = 𝑠 𝑛 𝜇 % = 𝑋 ±𝑡 𝑠 𝑛

Distribución t 𝑔𝑙=𝑛−1

Ejemplo 8.15 . . . El gerente general del centro comercial Multi-plaza desea estimar la cantidad de visitantes que se tienen por día en las primeras tres horas del día. El número de visitantes que se contaron en los últimos ocho días fueron los siguientes: Visitantes de 8 a 11 am 48 42 46 51 24 41 86 54 ¿Se puede estimar la cantidad media de visitantes que tiene el centro comercial con 95% de confianza?

. . . Ejemplo 8.15 Visitantes de 8 a 11 am 48 42 46 51 24 41 86 54 Calcular la media aritmética de la muestra 𝑋 = 392 8 =49 Calcular la desviación estándar de la muestra 𝑠= 2146 8−1 = 306.57 =17.51 Determinar el valor de t para 𝐼𝐶=95% 𝑛=8 𝑔𝑙=7 𝑡=2.365

. . . Ejemplo 8.15 𝜇 % = 𝑋 ±𝑡 𝑠 𝑛 Intervalo de confianza 𝜇 % = 𝑋 ±𝑡 𝑠 𝑛 . . . Ejemplo 8.15 Intervalo de confianza 𝜇 95% =49±2.365 17.51 8 𝑋 =49 𝑠=17.51 𝜇 95% =49±2.365∗6.1907 𝑛=8 𝑡=2.365 𝜇 95% =49±14.6410 𝜇 95% = 49−14.641 49+14.641 𝜇 95% = 34.36 63.64 Con 95% de confianza se puede estimar que el promedio de visitantes el centro comercial en las primeras horas de la mañana, está entre 34 y 64 personas.

Intervalos de confianza nominal Cuando los resultados posibles solamente son dos. Éxito o Fracaso Proporciones

Intervalo de confianza proporciones 𝑝±𝑧∗ 𝑝(1−𝑝) 𝑛 𝑝= 𝑋 𝑛 Proporción de la muestra

Ejemplo 8.16 . . . La junta directiva de HSBC considera la propuesta de fusión con Davivienda. De acuerdo al reglamento, por lo menos tres cuartas partes de los accionistas deben aprobar cualquier tipo de fusión. Una muestra aleatoria de 2,000 accionistas actuales revela que 1,400 planean votar por la propuesta. Determinar un intervalo de confianza del 95% para la proporción poblacional y estimar si será un hecho la fusión.

. . . Ejemplo 8.16 Tamaño de la muestra 𝑛=2,000 Proporción que planea votar por la propuesta 𝑝= 1,400 2,000 =0.7 Nivel de confianza 95%=0.9500 𝑃 𝑧=? = 0.9500 2 =0.4750 Valor de z 𝑧=1.96 Intervalo de confianza 𝑝±𝑧∗ 𝑝(1−𝑝) 𝑛 𝑝=0.7 𝑧=1.96

. . .Ejemplo 8.16 𝜋 95% =0.7±1.96∗ 0.7(1−0.7) 2000 𝜋 95% =0.7±1.96∗ 0.21 2000 𝜋 95% =0.7±1.96 0.10247 =0.7±0.0244 𝜋 95% = 0.7−0.0244 0.7+0.0244 𝜋 95% = 0.6756 0.7244 Con un 95% de confianza se puede estimar que entre el 68% y el 72% votarán a favor de la propuesta.

Tamaño de una muestra Distribución normal

Elección del tamaño de la muestra Un aspecto importante cuando se trabaja con intervalos de confianza es el tamaño de la muestra Consideraciones para su elección Margen de error que tolerará el investigador Nivel de confianza deseado Variabilidad o dispersión de la población que se estudia

Elección del tamaño de la muestra Población muy dispersa, muestra muy grande. Población muy densa u homogénea, muestra más pequeña

Margen de error Valor que se le suma y resta al intervalo de confianza para calcular la media poblacional. Margen de error se denota por E 𝐸=𝑧 𝜎 𝑋 𝜇= 𝑋 ±𝐸

Tamaño de muestra 𝑛= 𝑧𝜎 𝐸 2 n : Tamaño de la muestra 𝑛= 𝑧𝜎 𝐸 2 n : Tamaño de la muestra z : Valor z del nivel de confianza σ : Desviación estándar E : Margen de error

𝑛= 𝑧𝜎 𝐸 2 Ejemplo 8.17 . . . Para una población con desviación estándar de 10; estimar la media de la población con un error máximo admisible de 2 unidades, con un nivel de confianza de 95%. ¿De qué tamaño debe ser la muestra? 𝑛= 1.96∗10 2 2 𝜎=10 E = 2 IC = 95% 𝑧=1.96 𝑛=96.04 Se requiere una muestra de 97 personas para satisfacer las especificaciones.

𝑛= 𝑧𝜎 𝐸 2 . . . Ejemplo 8.17 El gerente general espera un informe el promedio de ventas del nuevo producto, durante el año y ha girado instrucciones que el error de la media deber ser inferior a L.100 con un nivel de confianza de 95%. Se utilizó un informe del año anterior que indica que la desviación estándar de la población es de L.1000. ¿Cuál es el tamaño de muestra que se requiere? ¿Y si pidiera la muestra con 99% de confiabilidad? 𝐸=100 𝑃 𝑧=? = 0.9500 2 𝜎=100 𝑃 𝑧=? = 0.9900 2

. . . Ejemplo 8.17 𝑛= 𝑧𝜎 𝐸 2 a.- Tamaño de la muestra 𝑛= 𝑧𝜎 𝐸 2 . . . Ejemplo 8.17 a.- Tamaño de la muestra 𝑃 𝑧=? = 0.9500 2 =0.4750 𝑃 𝑧=? =0.4750 𝑧=1.96 𝐸=100 𝜎=100 𝑛= 1.96∗1000 100 2 = 19.6 2 =384.16 𝑛=384.16 Se requiere una muestra de 385 facturas para satisfacer las especificaciones del gerente.

𝑛= 𝑧𝜎 𝐸 2 . . . Ejemplo 8.17 b.- Tamaño de la muestra para 99% de confiabilidad 𝑃 𝑧=? = 0.9900 2 =0.4950 𝑃 𝑧=? =0.4950 𝑧=2.58 𝐸=100 𝜎=100 𝑛= 2.58∗1000 100 2 = 25.8 2 =665.64 𝑛=665.64 Se requeriría muestra de 666 facturas para satisfacer las una especificaciones del gerente.

Proporción de una población Tamaño de una muestra Proporción de una población

Elección del tamaño de la muestra Consideraciones Margen de error que tolerará el investigador Nivel de confianza deseado Variabilidad o dispersión de la población que se estudia Si no existe una proporción confiable se utiliza 0.5

Margen de error Intervalo de confianza 𝜇=𝑝±𝐸 Margen de error 𝐸=𝑧∗ 𝑝(1−𝑝) 𝑛 𝐸=𝑧∗ 𝜋(1−𝜋) 𝑛

Tamaño de muestra 𝑛= 𝑝(1−𝑝) 𝑧 𝐸 2 n : Tamaño de la muestra 𝑝=𝜋 𝑛= 𝑝(1−𝑝) 𝑧 𝐸 2 n : Tamaño de la muestra z : Valor z del nivel de confianza p : Proporción de la población E : Margen de error

Ejemplo 8.18 . . . Encuestas anteriores revelan que 30% de los turistas que van a Las Vegas a jugar durante el fin de semana gasta más de $1 000. La gerencia desea actualizar este porcentaje. En en nuevo estudio se utilizará el nivel de confianza de 90% y el estimador estará a menos de 1% de la proporción de la población. ¿Cuál es el tamaño que se requiere para la muestra? 𝑝=0.3 𝑃 𝑧=? = 0.9000 2 =0.4500 𝐸=0.01

Ejemplo 8.18. . . 𝑛= 𝑝(1−𝑝) 𝑧 𝐸 2 𝑝=0.3 𝑃 𝑧=? = 0.9000 2 =0.4500 𝑛= 𝑝(1−𝑝) 𝑧 𝐸 2 Ejemplo 8.18. . . 𝑝=0.3 𝑃 𝑧=? = 0.9000 2 =0.4500 𝑧=1.65 𝑛=0.3 1−0.3 1.65 0.01 2 =0.3 0.7 27225 𝑛=5717.25 Se requiere una muestra de 5718 turistas para tener un 90% de confiabilidad en los resultados.

Prácticas

Práctica # 1 Elegir un elemento de muestreo aleatorio. Distribución muestral de la media Intervalo de confianza sigma conocido Intervalo de confianza proporción Tamaño de una muestra

Para más información leer la página web F i n a l Para más información leer la página web www.lbanegas.com 𝐵𝑖𝑏𝑙𝑖𝑜𝑔𝑟𝑎𝑓í𝑎 Lind, D.A., Marchal, W.G., Wathen, S.A. (15). (2012). Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía. México: McGrawHill David M. Levine, Timothy C. Krehbiel, Mark L. Berenson. 2006. Estadística para Administración. (4° edición). Naucalpan de Juárez, México.: Pearson Prentice Hall