UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA COORDINACIÓN DE MATERIAS PROPEDÉUTICAS INGENIERÍA ELECTRÓNICA ASIGNATURA: MÉTODOS NUMÉRICOS Ajuste no lineal Regresión exponencial MARÍA DE LOS ANGELES CONTRERAS FLORES ABRIL 2015

Contenido O Guía explicativa O Objetivos O Introducción O Ajuste por mínimos cuadrados O Regresión exponencial mediante el principio de los mínimos cuadrados O Ejemplo O Bibliografía

Guía explicativa O Este material ha sido elaborado para el curso de Métodos Numéricos impartido en el la Facultad de Ingeniería. O El tema que aquí se presenta “Regresión Exponencial”, es visto en la Unidad III y corresponde a la parte de Ajuste de Curvas. O Su propósito es presentar un procedimiento diseñado para calcular el ajuste por mínimos cuadrados de una ecuación con datos que no tienen una tendencial lineal. O Para una adecuada comprensión del tema, es necesario que los alumnos tengan conocimientos previos de ajuste de funciones aplicando regresión por mínimos cuadrados.

Objetivos O Entender la deducción de la regresión lineal por mínimos cuadrados y ser capaz de evaluar la confiabilidad del ajuste mediante evaluaciones gráficas y cuantitativas. O Saber como linealizar datos empleando transformaciones. O Entender en que situaciones son apropiadas las regresiones no lineales.

Objetivos O Mejorar la capacidad para ajustar curvas a los datos. O Dominar técnicas y aprender a valorar la confiabilidad de los resultados. O Aplicar el método para solucionar cualquier problema específico.

Introducción O Cuando los datos analizados presentan errores sustanciales, no es adecuado aplicar interpolación polinomial, ya que al utilizar la función obtenida para predecir valores, los resultados pueden ser poco satisfactorios. Generalmente los datos experimentales son de este tipo. (Chapra, 2008)

Introducción O En estos casos, la estrategia más adecuada consiste en obtener una función de aproximación que se ajuste a la forma o a la tendencia general de los datos, sin coincidir necesariamente en todos los puntos. Figura 1. Datos que muestran un comportamiento no lineal

Ajuste por mínimos cuadrados Una forma para determinar la línea que se ajuste a los datos, es inspeccionar de manera visual los datos graficados y después trazar una “mejor” línea a través de los puntos. La desventaja de este procedimiento es que se apela al sentido común y solo son válidos para cálculos superficiales, razón por la cual llegan a ser deficientes. (Chapra, 2008) Figura 2. Ajuste de datos a una función no lineal

Ajuste por mínimos cuadrados O Para eliminar esta subjetividad, se debe obtener una curva que minimice la discrepancia entre los puntos y la curva. Una técnica apropiada es la regresión por mínimos cuadrados. O En la figura 3 se muestran algunos ejemplos de curvas adaptados a un conjuntos de datos, en esta imagen se aprecian ajustes tanto bien como mal adecuados.

Figura 3. Representación gráfica de ajustes de datos

Regresión no lineal Existen muchos casos en la Ingeniería donde los modelos no lineales deben ser ajustados a un conjunto de datos. Figura 4. Ejemplos de ajustes con comportamiento no lineal

Regresión exponencial mediante el principio de los mínimos cuadrados Fue Francis Galton ( ) quien utilizó por primera vez el término regresión para indicar que, aunque influida por la estatura de sus padres, la estatura de los hijos "regresaba" a la media general. La regresión examina la relación entre dos variables, pero restringiendo una de ellas con el objeto de estudiar las variaciones de una variable cuando la otra permanece constante. En otras palabras, la regresión es un método que se emplea para predecir el valor de una variable en función de valores dados a la otra variable. Francis Galton

Regresión exponencial mediante el principio de los mínimos cuadrados O En todos los casos de regresión existe una dependencia funcional entre las variables. O Cuando se tienen dos variables, una de ellas (X) es la variable independiente y la otra (Y) la dependiente. En este caso se habla de una regresión de Y sobre X.

O En el tema que se esta presentando, la idea principal para llevar a cabo un nuevo ajuste consiste en transformar la curva exponencial en una recta a través de los logaritmos neperianos (Figura 5):

Linealización de una función no lineal Figura 5. Representación gráfica de la transformación de una función exponencial a una función lineal

Ejemplo de variable dependiente O Un caso se tiene con los ingenieros forestales, quiénes utilizan la regresión de la altura de los árboles sobre su diámetro, esto significa que midiendo el diámetro (variable independiente) y reemplazando su valor en una relación definida según la clase de árbol se obtiene la altura, aun sin necesidad de cálculos aprecian la altura utilizando gráficas de la función de dependencia: altura = función del diámetro

(1) (2)

(I)(I)

Ejemplo

Problema O Las cifras siguientes son datos sobre el porcentaje de llantas radiales producidas por cierto fabricante que aún pueden usarse después de recorrer cierto número de millas: Tabla 1. Porcentaje de llantas con vida útil y millas recorridas. Miles de Millas recorridas (X) Porcentaje útil (Y)

1. Elaborar el diagrama de dispersión. 2. Ajustar una curva exponencial aplicando el método de mínimos cuadrados. 3. Calcular la ecuación predictora. 4. Graficar la ecuación predictora. 5. Estimar qué porcentaje de las llantas radiales del fabricante durarán 50,000 millas.

Solución

1.Graficar los puntos dados en la tabla 1 para obtener el diagrama de dispersión. Gráfica 1. Miles de millas recorridas y porcentaje de vida útil.

Ajustar una curva exponencial aplicando el método de mínimos cuadrados. Obtener los valores indicados en el sistema de ecuaciones I y ordenarlos en la siguiente tabla:

2.1. Reemplazar los valores obtenidos en el sistema de ecuaciones I

2.2. Resolver el sistema de ecuaciones lineales para obtener los coeficientes:

3. Obtener la ecuación predictora, reemplazando los resultados del paso anterior en la siguiente ecuación:

4. Graficar la ecuación predictora. Se calculan los valores de y para el ajuste exponencial obtenido y los valores de x dados: xy= *(0.952^x)

Gráfica 1. Ecuación predictora

5. La estimación del porcentaje de llantas radiales que durarán millas se obtiene reemplazando en la ecuación predictora el valor de X = 50

Bibliografía 1. Gutiérrez R. José, (2010), “Análisis Numérico”, McGrawHill, 1ª. Edición. 2. Richard L. Burden, J. Douglas Faires, (2009g), “Análisis Numérico”, Thomson, 7ª Edición. 3. Steven C. Chapra, Raymod P. Canale, (2007), “Métodos Numéricos para Ingenieros”, Mc Graw Hill, 5ª Edición exponencial-metodo-minimos-cuadrados/regresion- exponencial-metodo-minimos- cuadrados.shtml#ixzz3DFtoH9ge exponencial-metodo-minimos-cuadrados/regresion- exponencial-metodo-minimos- cuadrados.shtml#ixzz3DFtoH9ge