MÍNIMOS CUADRADOS

Sistema Inconsistente A mxn A x = b Sistema Inconsistente

A x = b consistente b está en CA A x = b inconsistente b no está en CA

b

A x* es un vector del espacio columna CA A x* = proy CAb A x* = b* Sistema Consistente

b – A x* mínima

x* es una solución de A x* = b* aproximación de A x = b

A fin de encontrar x* a partir de A x* = b* podríamos partir de A x* = proyCAb

Existe una mejor manera de conseguirlo ( b – A x* ) es ortogonal a cada vector de CA

Por lo tanto, ( b – A x* ) es ortogonal a cada vector columna de A

c1 . ( b – A x* ) = 0 c2 . ( b – A x* ) = 0 c1T . ( b – A x* ) = 0 c2T . ( b – A x* ) = 0

AT . ( b – A x* ) = 0 AT b – ATA x* = 0 ATA x* = AT b

ATA x* = AT b Ecuaciones Normales

A AT matriz nxn simétrica

A mxn y b en Rm A x = b siempre tiene al menos una solución por mínimos cuadrados ( o por aproximación ) x*

x* es una solución por mínimos cuadrados de A x = b si y sólo si x* es una solución de las ecuaciones normales ATA x* = AT b

A tiene columnas LI si y sólo si ATA es Invertible En este caso la solución de aproximación de A x = b es única y está dada por

x* = ( AT A )-1ATb seudoinversa de A

x - y = 0 x + y = 0 SEL y = 1 Inconsistente A x = b =

Columnas de A LI ATA = Invertible x* única solución por aproximación

x* = ( AT A )-1ATb x* =

x* solución por mínimos cuadrados de A x = b b – A x* error de mínimos cuadrados

 = b – A x* vector de error de mínimos cuadrados

vector de error de mínimos cuadrados 1 - 2 3 = b - A x* = 

error de mínimos cuadrados  =b – A x* 0,2721655

Observar las ecuaciones del sistema x - y = 0 0 – ( 0 -1/3 ) = 1/3 1 x + y = 0 0 – ( 0 +1/3 ) = -1/3 2 y = 1 1 – ( 0 +1/3 ) = 2/3 3

Columnas de A LD ATA No es Invertible las ecuaciones normales ATA x* = AT b tienen un número infinito de soluciones

Buscaremos entonces la solución x* de menor longitud (la más cercana al origen)

Ajuste de Curvas por Mínimos Cuadrados APLICACIONES Ajuste de Curvas por Mínimos Cuadrados

Curvas que se ajustan aproximadamente a los datos

Encontrar la recta que da el mejor ajuste para los puntos (1,4) , (-2,5), (3,-1) y (4,1) y = b + mx

Sistema Inconsistente 4 = b + m 5 = b - 2m -1 = b + 3m 1 = b + 4m Sistema Inconsistente

Columnas de A LI ATA Invertible x* única solución por aproximación = Columnas de A LI ATA Invertible x* única solución por aproximación

x* = ( AT A )-1ATy x* = y = 3,57 – 0,88 x

vector de error de mínimos cuadrados = _  _ A x* y =

error de mínimos cuadrados  =b – A x* 2,579224

Observar la primera ecuación del sistema 4 = b + m 4 = 3,57 + (- 0,88) 4 – 2,69 = 1,31= 1 (primer componente del vector )

Encontrar el mejor ajuste cuadrático para los puntos (1,4) , (-2,5), (3,-1) y (4,1) y = a + bx + cx2

Sistema Inconsistente 4 = a + b + c 5 = a - 2b + 4c -1 = a + 3b + 9c 1 = a + 4b + 16c Sistema Inconsistente

Columnas de A LI ATA Invertible x* única solución por aproximación = Columnas de A LI ATA Invertible x* única solución por aproximación

x* = ( AT A )-1ATy x* = y = 3,75 – 0,81 x – 0,04 x2

vector de error de mínimos cuadrados _ = _  y x* A =

error de mínimos cuadrados  =b – A x* 2,5244009

Observar la primera ecuación del sistema 4 = a + b + c 4 = 3,75 +(- 0,81)+(- 0,04) 4 – 2,9 = 1,1= 1 (primer componente del vector )

Curvas de Luz de Cometas

El estudio de las curvas de luz visuales de los cometas nos pueden dar información sobre el tamaño aproximado que tiene el núcleo, la composición química del cometa, la razón gas-polvo, si el agua domina o no la actividad gaseosa del núcleo y otros parámetros físico-químicos más complejos del cometa

Los astrónomos profesionales diferencian entre dos tipos de curvas de luz : Visuales, proporcionan información sobre el agua y la actividad molecular. - CCD, proporcionan información acerca de la actividad del polvo en el cometa. Debido a las cámaras CCD actuales, se puede conocer la tasa de producción de polvo del cometa.

Las curvas de luz de los cometas suelen representarse gráficamente a lo largo de 2 ejes: eje x Tiempo eje y Magnitud visual o CCD Cada punto representa una unidad Visual.

( ignorando la atracción gravitacional de los planetas ). Según la primera ley de Kepler, un cometa debe tener una órbita elíptica, parabólica o hiperbólica ( ignorando la atracción gravitacional de los planetas ).

r = β - e ( r cos θ ) En coordenadas polares adecuadas, la posición ( r, θ ) de un cometa satisface una ecuación de la forma: r = β - e ( r cos θ )

r = β - e ( r cos θ ) β es una constante donde : β es una constante e es la excentricidad de la órbita : 0  e < 1 para una elipse e = 1 para una parábola e > 1 para una hipérbola.

Suponga que las observaciones de un cometa recientemente descubierto proporcionan los datos siguientes: θ 0,88 1,10 1,42 1,77 2,14 r 3,00 2,30 1,65 1,25 1,01

Determine el tipo de órbita y pronostique dónde estará el cometa cuando θ = 4,6 (radianes).

r = β - e ( r cos θ ) Posiciones del cometa ( 3,00 , 0,88 ) ( 2.30 , 1,10) ( 1,65 , 1,42 ) ( 1,25 , 1,77 ) ( 1,01 , 2,14 )

3 = β - 1,911453 e 2,30 = β - 1,043273 e 1,65 = β - 0,247872 e 1,25 = β + 0,247360 e 1,01 = β + 0,544350 e

= A x b

x* = ( AT A )-1ATy x* = 0  e < 1 La órbita es una elipse β e

1,45 0,81 r = β - e ( r cos θ ) r = 1,45 / 1 + 0,81 cos θ Produce r = 1,33 cuando θ = 4,6 radianes

FIN

APLICACIONES Ajuste de Curvas Por Mínimos Cuadrados