Integrales dobles: Áreas plana Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber. Albert Einstein

Algunas Aplicaciones Área región plana: Coordenadas Rectangulares Área región plana: Coordenadas Polares.

Área de una región plana Secciones transversales verticales: La región D está limitada por las gráficas de f1 y f2 en el intervalo [a, b]. Si D es descrita por: D: { (x , y) R2 / a  x  b , f1(x)  y  f2(x) } ∈ a b D x y

Área de una región plana Secciones transversales horizontales: La región D está limitada por las gráficas de g1 y g2 en el intervalo [c, d]. Si D es descrita por: D: { (x , y) R2 / c  y  d , g1(y)  x  g2(y) } ∈ c d D x y

Área de una región plana Ejemplo 1: Hallar el área de la región D acotada por la recta y la parábola Solución: Los primero es dibujar la región, para lo cual se requiere hacer las operaciones algebraicas como igualación o sustitución, que permitan obtener los puntos de intersección de ambas curvas. x y (-1,-2) (5,4) -3 D Excusas para no hacer los deberes de matemáticas : 1) Se cómo probarlo, pero este margen es demasiado pequeño. 2) Tengo una calculadora solar, pero estaba nublado. 3) Metí los deberes en la carpeta y la cerré, pero un perro tetradimensional los cogió y se los comió . 4) Juraría que los guarde en una botella de Klein, pero esta mañana no estaban dentro. 5) Estuve viendo el partido de fútbol y se me ocurrió intentar demostrar que convergió y claro, no tuve tiempo de hacer los deberes.

Área de una región plana Secciones horizontales x y (-1,-2) (5,4) -3 Secciones verticales x y (-1,-2) (5,4) -3 D Se observa , que la división de la región D mediante secciones horizontales sugiere que el cálculo puede ser menos complejo que con las secciones verticales.

Área de una región plana Cuando se hace el planteamiento vertical, la región D queda dividida en: x y (-1,-2) (5,4) -3 Secciones verticales Quedando la Integral Doble como:

Área de una región plana x y (-1,-2) (5,4) -3 Secciones horizontales D Cuando se hace el planteamiento horizontal, la región D queda en: Quedando la Integral Doble como:

EJEMPLO Secciones horizontales D Para este problema, resolvemos por secciones horizontales. Secciones horizontales x y (-1,-2) (5,4) -3 D

Área de una región plana Ejemplo 2: Hallar el área de la región D acotada por las ; y Solución: Los primero es dibujar la región, para lo cual se requiere hacer las operaciones algebraicas como igualación o sustitución, que permitan obtener los puntos de intersección de ambas curvas. D x y

Área de una región plana Secciones horizontales D x y Secciones verticales D x y Se observa , que la división de la región D mediante secciones verticales sugiere que el cálculo puede ser menos complejo que con las secciones horizontales.

Área de una región plana Cuando se hace el planteamiento vertical, la región D queda dividida en: Secciones verticales D1 x y D2 Quedando la Integral Doble como:

Área de una región plana Secciones horizontales x y Cuando se hace el planteamiento horizontal, la región D queda dividida en: Quedando la Integral Doble como:

Área de una región plana Este problema se resuelve por verticales Secciones verticales D1 x y D2

Área de una región plana Coordenadas Polares El plano cartesiano es un sistema rectangular, debido a que las coordenadas de un punto (x,y) describen geométricamente un rectángulo. Si hacemos que ese punto represente un vector de magnitud r que parte desde el origen y que tiene ángulo de giro θ, tendremos otra forma de definir el punto a la forma (r,θ). Así, como se muestra en el dibujo Y al hacer uso de trigonometría tenemos las siguientes relaciones: P=(x,y) y θ r x P=(r,θ) π/2 Eje Polar

Área de una región plana Coordenadas Polares GRAFICAS ESPECIALES Rosas CARDIOIDES donde

Área de una región plana Coordenadas Polares GRAFICAS ESPECIALES Circulos Lemniscata

Área de una región plana Coordenadas Polares Definición 1: Sea f continua y no negativa en el intervalo [α,ß] entonces, el área de la región acotada por la gráfica r = f (θ) entre las rectas radiales θ = α y θ = ß está dada por

Área de una región plana Coordenadas Polares Definición 2: Sean f y g continuas y no negativas en el intervalo [α,ß] entonces, el área de la región acotada por las gráficas r = f (θ) y r = g (θ) entre las rectas radiales θ = α y θ = ß está dada por PI  = 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510

Área de una región plana Coordenadas Polares Ejemplo: Sean las ecuaciones Las cuales representan un cardioide y un círculo respectivamente. Al realizar las operaciones algebraicas correspondiente tenemos que se interceptan en los ángulos: θ= π/3 y θ= 5π/3, como se muestra en la figura. En dicha figura, podemos calcular tres regiones distintas. Como se indicará a continuación. θ= π/3 θ=5 π/3

Área de una región plana Coordenadas Polares El área fuera del cardioide y dentro del círculo. El área fuera del círculo y dentro del cardioide. El área común entre el cardioide y el círculo.

Área de una región plana Coordenadas Polares Calcular el área fuera del cardioide y dentro del círculo. Solución: Para esta área podemos aplicar simetría y decir, que los ángulos para el cálculo son: α= 0 y ß= π/3 . La ecuación más externa corresponde al círculo y la más interna el cardioide. Por lo tanto, la integral queda: θ= π/3 θ=5 π/3

Área de una región plana Coordenadas Polares θ= π/3 θ=5 π/3 Resolviendo:

Área de una región plana Coordenadas Polares El área fuera del círculo y dentro del cardioide. Solución: Para esta área podemos aplicar simetría. En cuanto, a los ángulos tenemos: α= π/3 y ß= π/2 para el área donde la ecuación más exterior es el cardioide. y la más interna el círculo. Y α= π/2 y ß= π donde es sólo cardioide θ= π/3 θ=5 π/3 θ= π/2

Área de una región plana Coordenadas Polares Resolviendo:

Área de una región plana Coordenadas Polares concluyendo: El área común es : θ= π/3 θ=5 π/3 θ= π/2

Área de una región plana Coordenadas Polares El área común entre el círculo y el cardioide. Solución: Para esta área podemos aplicar simetría. Los ángulos para el cálculo son: α= 0 y ß= π/3 (cardioide) ; α= π/3 y ß= π (círculo). θ= π/3 θ=5 π/3

Área de una región plana Coordenadas Polares concluyendo:

Área de una región plana Coordenadas Polares Resolviendo: El área común es : θ= π/3 θ=5 π/3

Curiosidades ¿Sabía que… …Abraham de Moivre, matemático francés, predijo exactamente la fecha de su propia muerte? Se dio cuenta de que cada día dormía 15 minutos más que el día anterior. A partir de ahí conjeturó que moriría el día que durmiera durante 24 horas. Ese día, calculado por él mismo, era el 27 de noviembre de 1754.