Conferencia Dependencia lineal. Generador de un espacio. Base y dimensión. 1

Sumario Definición de dependencia lineal de un sistema finito de vectores. Número máximo de vectores linealmente independientes. Teoremas sobre la dependencia lineal de vectores. Subespacio vectorial generado por un sistema de vectores. 2

Sumario Definición de sistema generador de un espacio vectorial. Teoremas sobre sistema generador. Base de un espacio y de un subespacio vectorial. Teoremas sobre base. Dimensión de un espacio y de un subespacio vectorial 3

Objetivos Definir los conceptos de: dependencia lineal de un sistema de vectores. generador de un espacio y de un subespacio vectorial. base de un espacio y de un subespacio vectorial. dimensión de un espacio vectorial Algoritmizar un procedimiento para determinar el subespacio vectorial generado por un sistema de vectores. 4

5 ¿Se podrá expresar algún vector del sistema A cómo combinación lineal de los vectores del sistema A?

6 Como se cumple que: r(A)= r(A, B) = 3 n = 3 El sistema es compatible determinado, tiene solución única. Luego el vector seleccionado se puede expresar como combinación lineal de los restantes vectores y de forma única

7 Dado un espacio vectorial real E, un sistema de k vectores de E es linealmente dependiente, si al menos un vector de A se puede expresar como combinación lineal de los restantes vectores de A. Definición de dependencia lineal de un sistema finito de vectores

8 Es decir, A es linealmente dependiente si existen escalares λ 1, λ 2,..., λ k tales que al menos un vector de A se pueda expresar como combinación lineal de los restantes vectores de A, o sea, λ 1 a 1 +λ 2 a λ i-1 a i-1 +λ i+1 a i λ k a k =a i

Dependencia lineal de un sistema finito de vectores Relación de dependencia lineal entre los vectores del sistema A. En general, dados un sistema y escalares a la relación se le denomina relación de dependencia lineal entre los vectores del sistema A. 9

10 Ejemplo En el ejemplo anterior la relación de dependencia entre los vectores es,, después de resolver el sistema de ecuaciones se llega a que λ 1 = -1/2 λ 4 ; λ 2 = λ 4 ; λ 3 = -2 λ 4 ; λ 4 , entonces para λ 4 = 2 se tiene una relación de dependencia lineal - a 1 +2a 2 -4a 3 + 2a 4 = 0

11 Teorema (Caracterización) Sea E un espacio vectorial y un sistema de vectores de E. Entonces A es linealmente dependiente, si y sólo si, existe una relación de dependencia no trivial entre los vectores del sistema A

12 Ejemplo 1 B = {(1, 3, 1), (0, 2, 1), (1, 1, 0)}   3 apliquemos la caracterización. λ 1 (1,3,1) + λ 2 (0,2,1) + λ 3 (1,1,0)=(0,0,0) λ λ 3 = 0 λ λ 2 + λ 3 = 0 λ 1 + λ 2 + λ 3 = 0 Sea M la matriz del sistema, se obtiene que r(M) =2 y como n=3, el sistema de ecuaciones es compatible indeterminado

13 Ejemplo 2 Sea el sistema de vectores canónicos de  4, C = {e 1, e 2, e 3, e 4 }   4, aplicando la caracterización λ 1 (1, 0, 0, 0)+ λ 2 (0, 1,0, 0) + λ 3 (0, 0, 1,0) + λ 4 (0, 0, 0, 1) = ( 0, 0, 0, 0) En general el sistema de vectores canónicos es linealmente independiente

14 Definición de número máximo de vectores linealmente independiente Podemos concluir que para calcular el número máximo de vectores linealmente independientes de un sistema de vectores basta calcular el rango de la matriz que resulte de ordenar los vectores del sistema en las columnas de dicha matriz

15 Ejemplo

16 Ejemplo Como r(M) =2, entonces el número máximo de vectores linealmente independientes del sistema de vectores D es 2.

17 Teoremas sobre la dependencia lineal en sistemas de vectores Teorema 1 Si A es un sistema unitario, no nulo, de un espacio vectorial E, entonces A es linealmente independiente. Teorema 2 Todo sistema de vectores ampliado de un sistema linealmente dependiente, es linealmente dependiente

18 Teoremas sobre la dependencia lineal en sistemas de vectores Corolario 1: Todo sistema de vectores que contenga al vector nulo es linealmente dependiente. Corolario 2: Todo subsistema de un sistema de vectores linealmente independiente es linealmente independiente.

19 Teoremas sobre la dependencia lineal en sistemas de vectores Teorema 3: Todo sistema de vectores linealmente dependiente, que contenga al menos un vector no nulo, incluye un subsistema linealmente independiente.

20 Teoremas sobre la dependencia lineal en sistemas de vectores Teorema 4: Si un sistema de vectores A={a 1, a 2, …, a k } E, es linealmente independiente y, el vector x de E no se puede expresar como combinación lineal de los vectores de A entonces el sistema {a 1, a 2, …, a k, x} E es linealmente independiente. Teorema 5: Todo sistema de más de n vectores de R n es linealmente dependiente

21 Ejemplos M = {(1,1,2), (3,-1,2)}es linealmente independiente. El vector (1,3,0) no se puede expresar como combinación lineal de los vectores del sistema M, entonces, N = {(1,1,2), (3,-1,2), (1,3, 0)} es linealmente independiente. L={(1,1,2), (3,-1,2), (1,3, 0),(2,1,-7)} es linealmente dependiente

22 Definición subespacio vectorial generado por A Al conjunto S formado por todas las combinaciones lineales de los vectores de A se le da el nombre de subespacio vectorial generado por A y se escribe S(A) S = {xE / x = 1 a a 2 +…+ n a n, con 1, 2, …, n   }

23 Generador del espacio vectorial Si S (A ) = E, se dice que A genera a todo el espacio o que A es un generador del espacio vectorial E. Ejemplo: Hallar el subespacio vectorial generado por A = {(1; -1); (2; 1)}  2.

24 Ejemplo (a; b)= 1 (1; -1)+ 2 (2; 1) = a = b este sistema siempre es compatible sean cualesquiera a y b (a; b) de  2 se puede expresar como combinación lineal de los vectores de A S(A) =  2 es decir, A es un generador de  2

25 Teoremas sobre sistema generador. El caso de  n Teorema 1 (Pág. 283): Si en un sistema generador A = {a 1,a 2,…a n } de un espacio vectorial E, al menos un vector a i de A, se puede expresar como combinación lineal de los demás, entonces, el sistema de vectores que resulta al suprimir el vector a i es también generador de E.

26 Definición de base El caso de  n Sea E un espacio vectorial real. Se denomina una base de E a un sistema de vectores que es a la vez linealmente independiente y un generador del espacio. Ejemplo: Base canónica de  n

27 Teoremas sobre Base y Dimensión. El caso de  n Teorema 1 Todo espacio vectorial de dimensión finita admite una base Teorema 2: Un sistema de vectores A = {a 1, a 2, …, a n } es una base de un espacio vectorial E si y solo si todo vector x de E se expresa como combinación lineal de los vectores de A en forma única.

28 Teoremas sobre sistema generador. El caso de  n Teorema 1 (Pág. 283): Si en un sistema generador A = {a 1,a 2,…a n } de un espacio vectorial E, al menos un vector a i de A, se puede expresar como combinación lineal de los demás, entonces, el sistema de vectores que resulta al suprimir el vector a i es también generador de E.

Teoremas sobre sistema generador. El caso de  n Teorema 2: Un sistema de vectores A = {a 1, a 2, …, a n } es una base de un espacio vectorial E si y solo si todo vector x de E se expresa como combinación lineal de los vectores de A en forma única. 29

30 Teorema 3: Si A ={a 1, a 2, …, a k } es linealmente independiente en un espacio vectorial real E de dimensión finita, es posible hallar en E vectores a k+1, a k+2,…, a n tales que B ={a 1, a 2, …, a k,a k+1,a k+2,…,a n } sea una base de E. Teoremas sobre sistema generador. El caso de  n

31 Teorema 4: Todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo número de vectores Todo sistema linealmente independiente de n vectores de  n es una base  n Teoremas sobre sistema generador. El caso de  n

32 Definición dimensión de un espacio vectorial La dimensión de un espacio vectorial E es el número de vectores de cualquier base de E Ejemplo: La dimensión del espacio vectorial  n es n.

33 Base y dimensión de un subespacio vectorial Teorema 5 La dimensión de un subespacio vectorial S de un espacio vectorial E, es siempre, menor o igual que la dimensión de E.

34 S = {(a,b,c)   3 :a +b +c = 0, 2b +c= 0} El número de variables libres del conjunto solución del sistema es igual a n – k que coincide con el número máximo de vectores linealmente independientes Por lo tanto la dimensión de S es igual a, n – k, siendo n la dimensión del espacio y k el rango de la matriz del SEL homogéneo. Base y dimensión de un subespacio vectorial

Estudio independiente Estudie los ejercicios resueltos pág. 257 (1,2,3,4,5,6) pág. 315 (1,2,3,4,5,6,7) Resuelva de los ejercicios propuestos: pág desde el A hasta el G, 2 a, b pág. 330 (1 a y b,2 c, 6 a, b y c) 35