MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS LTI Bibliografía: K. Ogata, Ingeniería de Control Moderna Capítulos 1, 2, 3 Introducción a Sistemas de Control Transformada de Laplace Modelado Matemático de Sistemas Dinámicos Control Industrial - 2015

Mecánicos Eléctricos Sistemas dinámicos Etc. Térmicos Modelización de sistemas dinámicos LTI (lineales e invariantes en el tiempo) Mecánicos Eléctricos Térmicos Etc. Sistemas dinámicos Péndulo invertido Control de posición Control de velocidad Fuentes Filtros Amplificadores Horno Heladera Protección contra sobrecalentamiento Control Industrial - 2014

Sistema Invariante en el Tiempo Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo – Linear Time-Invariant Systems Sistema Lineal x1(t) y1(t) a*x1(t) + b*x2(t) a*y1(t) + b*y2(t) x2(t) y2(t) Sistema Invariante en el Tiempo x(t) y(t) Sistemas LTI Se los puede describir con ecuaciones diferenciales lineales e invariantes con el tiempo x(t-T) y(t-T) Control Industrial - 2014

Simplicidad vs. Precisión Modelización de sistemas dinámicos LTI (lineales e invariantes en el tiempo) Sistema LTI (Planta) x(t) y(t) u x = A x + B u y = C x + D u y h(t) x - entrada y – salida u – matriz de entradas y – matriz de salidas x – matriz de variables de estado Parten de las mismas ecuaciones Diferentes interpretaciones Relacionados Simplicidad vs. Precisión Control Industrial - 2014

Función de Transferencia Modelización de sistemas dinámicos LTI (lineales e invariantes en el tiempo) Función de Transferencia Y(s) X(s) x(t) y(t) = conv(x(t), h(t)) Dominio del tiempo (t) Función de Transferencia H(s) = h(t) X(s) Y(s) = X(s)H(s) Dominio de Laplace (s) H(s) Útil para análisis de respuesta transitoria y en frecuencia Sistemas SISO (una entrada y una salida) Independiente de la función de entrada Sistemas distintos pueden tener la misma función de transferencia Control Industrial - 2014

TRANSFORMADA DE LAPLACE Se asume f(t) =0 para t<0 x(t) y(t) = x(t)*h(t) X(s) Y(s) = X(s)H(s) h(t) H(s) Ejemplos-funciones de interés: Escalón unitario u(t)  F(s) = 1/s Impulso (Dirac delta) δ(t)  F(s) = 1 Exponencial decreciente f(t) = A e-at  F(s) = A a s + a Control Industrial - 2014

TRANSFORMADA DE LAPLACE - Propiedades Derivación Si las condiciones iniciales son nulas (f(0) = 0, f´(0) =0) Integral Control Industrial - 2014

Función de Transferencia Sistema mecánico Y(s) (m s2 + b s + k) = U(s) Y(s) = 1 . U(s) (m s2 + b s + k) Y(s) . U(s) = ? Ingeniería de Control Moderna, K. Ogata, p. 73 Control Industrial - 2014

Función de Transferencia Circuito Eléctrico L s I(s) + R I(s) + 1/sC I(s) = Vi(s) I(s) (L s + R + 1/sC) = Vi(s) 1/sC I(s)= Vo(s) I(s) = Vo(s) sC Vo(s) (LC s2 + RCs + 1) = Vi(s) Ingeniería de Control Moderna, K. Ogata, p. 88 Vo(s) . Vi(s) = ? Vo(s) = 1 . Vi(s) (LC s2 + RC s + 1) Control Industrial - 2014

Función de Transferencia Sistema mecánico Circuito Eléctrico Ingeniería de Control Moderna, K. Ogata, p. 88 L s I(s) + R I(s) + 1/sC I(s) = Vi(s) I(s) (L s + R + 1/sC) = Vi(s) 1/sC I(s)= Vo(s) I(s) = Vo(s) sC Vo(s) (LC s2 + RCs + 1) = Vi(s) Ingeniería de Control Moderna, K. Ogata, p. 73 Y(s) (m s2 + b s + k) = U(s) Y(s) = 1 . U(s) (m s2 + b s + k) Vo(s) = 1 . Vi(s) (LC s2 + RC s + 1) Control Industrial - 2014

Obtener transferencia Y(s)/X(s) Modelización de sistemas dinámicos LTI (lineales e invariantes en el tiempo) Obtener transferencia Y(s)/X(s) Ingeniería de Control Moderna, K. Ogata, p. 114 Un carro de masa m se mueve sin fricción sobre un plano inclinado de ángulo θ, desde la posición de equilibrio θ = 0 Obtener la función de transferencia Y(s)/θ(s) En este caso es necesario considerar el peso, porque θ modifica su impacto en el sistema Control Industrial - 2014

Obtener el modelo para la transferencia Y(s)/X(s) Modelización de sistemas dinámicos LTI (lineales e invariantes en el tiempo) Obtener el modelo para la transferencia Y(s)/X(s) Resorte: kr (u-y) Amortiguador: ba (ú-ý) Móvil externo (gris) tiene masa despreciable Ingeniería de Control Moderna, K. Ogata, p. 83 Control Industrial - 2014

Obtener el modelo para la transferencia Y(s)/X(s) Modelización de sistemas dinámicos LTI (lineales e invariantes en el tiempo) Obtener el modelo para la transferencia Y(s)/X(s) Version alternativa ejercicio B-3-9 Ingeniería de Control Moderna, K. Ogata, p 131 Control Industrial - 2014

Respuesta de sistemas a lazo abierto Modelización de sistemas dinámicos LTI (lineales e invariantes en el tiempo) Respuesta de sistemas a lazo abierto Es deseable ser capaz de controlar la salida de una planta (control de temperatura, velocidad, ángulo, posición, tensión, etc.) Para esto, es necesario conocer la respuesta del sistema a una entrada x(t) Entrada x(t) escalón unitario Salida X(s) Y(s) H(s) 0.135 35% H(s) = 1 . (s2 + 2 s + 10) Control Industrial - 2014

H(s) define la respuesta del sistema a cualquier entrada Modelización de sistemas dinámicos LTI (lineales e invariantes en el tiempo) H(s) define la respuesta del sistema a cualquier entrada Raíces del numerador de H(s) Ceros del sistema Raíces del denominador de H(s) Polos del sistema Polos y ceros de una planta relacionados con su respuesta en régimen transitorio y estacionario Características destacadas de respuesta Estabilidad en general Régimen transitorio - Rise Time - Settling time - Sobrepaso porcentual Régimen estacionario - Valor estable de la salida (cuando existe) Control Industrial - 2014

ANALISIS DE RESPUESTA TRANSITORIA Respuesta de sistema a entrada x(t) X(s) Y(s) = X(s)H(s) H(s) Obtener X(s), a partir de la definición de la entrada Obtener Y(s) Descomponer en fracciones simples Y(s) = ............................... = A + B + ..... (s+a) (s+b)...(s+...) (s+a) (s+b) Transformada Inversa de Laplace para obtener y(t) ANALISIS DE RESPUESTA ESTACIONARIA Teorema del valor final Valor estacionario para cualquier función Control Industrial - 2014

U(s) = 1/s Respuesta transitoria Modelización de sistemas dinámicos LTI (lineales e invariantes en el tiempo) Respuesta transitoria Para m = 1 kg, k = 8 N/m y b = 6 N.s / m con condiciones iniciales nulas Respuesta transitoria a U(s) = 1/s Ingeniería de Control Moderna, K. Ogata, p. 83 Y(s) = 6 s + 8 . U(s) (s2 + 6 s + 8) Y(s) = 6 s + 8 . U(s) (s + 2)(s + 4) Y(s) = 6 s + 8 . s (s + 2)(s + 4) Y(s) = A + B + C . s (s + 2) (s + 4) Y(s) = 1 + 1 + (-2) . s (s + 2) (s + 4) Transformada Inversa de Laplace de cada fracción simple, para obtener y(t) Control Industrial - 2014

Para el siguiente sistema Modelización de sistemas dinámicos LTI (lineales e invariantes en el tiempo) Para el siguiente sistema Ingeniería de Control Moderna, K. Ogata, p. 83 Para m = 2 kg, k = 5 N/m y b = 1 N.s / m con condiciones iniciales nulas Obtener el valor estacionario de la salida, para una entrada escalón unitario U(s) = 1/s Control Industrial - 2014

Modelización y Análisis de Sistemas LTI La función de transferencia de un sistema LTI incluye Ganancia K Ceros zn Polos pm Determinan la respuesta del sistema a cualquier entrada s es un número complejo s = σ + jω σ parte real ω parte imaginaria Es posible graficar los polos y los ceros de la planta en un plano – plano S, e interpretar la respuesta transitoria, sin controlar y controlada, de forma gráfica Control Industrial - 2014

Qué hacer cuando las características de un sistema son desconocidas? Modelización de sistemas dinámicos LTI (lineales e invariantes en el tiempo) Qué hacer cuando las características de un sistema son desconocidas? ? Control Industrial - 2014

DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL Planteo: Suele ser deseable controlar la salida de un sistema con una señal de entrada Qué ocurre cuando la planta original no responde en forma aceptable? Reemplazarla por otra? Diseñar una planta nueva? Qué ocurre cuando la planta es inestable? (péndulo invertido, etc.) No siempre es posible modificar-reemplazar una planta, y lograr cualquier respuesta Alternativa – Sistema de Control Control Industrial - 2014

DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL Sistema de control manipula una variable o más para controlar otra variable Planta El sistema que se va a controlar Variable controlada La cantidad o condición que se mide y controla Suele ser la salida de la planta Variable manipulada Cantidad o condición que el controlador modifica, para afectar a la variable controlada Sistema de control de lazo abierto La salida no afecta la acción de control La precisión del sistema depende de la calibración NO CONFUNDIR CONTROL DE LAZO ABIERTO CON SISTEMA A LAZO ABIERTO Sistema de control realimentado Mantiene una relación determinada entre una entrada de referencia y una salida Más insensible a perturbaciones y a variaciones en parámetros del sistema Pueden seguir cumpliendo ante variaciones impredecibles Control Industrial - 2014

DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL Estrategia de control a lazo cerrado Acciones Básicas de Control La acción de control (salida del controlador C) puede estar relacionada con su señal de entrada de diferentes formas. Ejemplos básicos son: -Control On-Off -Control Proporcional (P) -Control Integral (I) -Control Derivativo (D) Control PI PD PID -En función de C(s), se logra una nueva respuesta a lazo cerrado Y(s)/R(s), dadas una planta original G(s) y un realimentador H(s) Control Industrial - 2014